VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Это слагаемое также обращается в нуль во всех узлах и, являясь нечетной функцией аргумента х-х,„, не дает вклада при интегрировании, но обеспечивает (я+2)-й порядок точности квадратурной формулы, тогда как использование произвольного 10.5. Приближение иногочленами высших степеней 473 интерполяционного многочлена степени и гарантирует лишь (и+1)-й порядок точности.
Таким образом, предпочтительнее использовать квадратурные формулы, соответствующие симметричному разбиению отрезка интегрирования на четное число и частичных отрезков. Квадратурные формулы, построенные по интерполяционным многочленам на равномерном разбиении отрезка ~а,61 интегрирования, называют формулами Нъютиона — Коизеса (Р. Котес (1682-1716) — английский математик, ученик И. Ньютона). При длине Ь=(6-а)/и частичного отрезка разбиения, обозначив В; = А;/Ь, е =О,и, вместо (10.4) и (10.6) запишем 1 В;=— Ь (10.39) у;(х) ах, где ~р;(х) — многочлены степени не выше иб И и Д=~(х;). В качестве ~р;(х) выберем интериоллпионные многочлены Ла- гранжа степени и: х — х~ '~*) = П .
О хз-хэ 1,~ =О,и. (10.40) Отметим, что многочлен ~р;(х) равен единице в узле с номером ~, а в остальных узлах равен нулю, т.е. у;(х;) = 1, х; = а+ ~Ь, и ~р;(х ) =О, ~ ф.1. Используем замену х = а+$Ь (ах = Ьй). Тогда узловым значениям х; будут соответствовать значения 8; =1, «=О,и, а для коэффициентов В; в (10.39) с учетом (10.40) получим Ясно, что коэффициенты В;, ~ = О, и, называемые коэффтщиемтиами Коевеса, являются рациональными числами, которые 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ при фиксированном п можно привести к общему знаменателю У и представить в виде В; =Я;/Ф, где Я'; б Е. В табл.
10.1 приведены значения У и Я'; для п=1,10 (в силу симметрии Ж вЂ” ла-1) Таблица 10.1 Первая строка этой таблицы отвечает формуле (10.8) тпрапеции, а две последующие строки — формулам (10.22) параболы и Ньютона соответственно. Нетрудно проверить, что для формул Ньютона — Котеса справедливо равенство А; Ь-а ажО До и = 7 включительно все коэффициенты Котеса положительны, так что условие (10.7) сохранения обусловленности задачи вычисления интеграла (10.1) выполнено. Но при п > 8 некоторые коэффициенты становятся отрицательными, что приводит к неравенству (10.41) 1жО и=О и повышает абсолюптое число обусловленностпи квадратурной формулы, т.е. ухудшает обусловленность этой задачи.
Так, 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ где Д=~(х;), х;=а+т',й„, Д=~'(а) и Д=Г(Ь). Этаформула имеет погрешность В = (6- а)Ь~~'"®)/720 и соответствует интерполяции функции Дх) наотрезке ~а,о1 фундаментальным кубическим сплавном. Если значения ~'(а) и ~'(в) не заданы, то их можно найти численным дифференцированием, причем для сохранения четвертого порядка точности квадратурной формулы необходимо использовать формулы второго порядка точности 1Щ: ~'( ) '" ~'(6) '" " " " (10.45) 2й ' 2й Если же производные в (10.44) заменить соответственно на правую и левую конечные разности ~'(а) и (~1 — ~~)/Ь„и ~'(о) а (~„- ~„1)/Ь„, имеющие лишь первый порядок точности, то (10.44) будет иметь только третий порядок точности.
Интересно отметить, что при и = 2 замена в (10.44) производных при помощи (10.45) приведет к формуле (10.22) параболы, причем такал замена изменит выражение для погрешности и, вообще говоря, сместит положение точки (' Е (а, 0), для которой следует взять значение ~'"((). Именно путем такой замены шотландский математик и астроном Д. Грегори (1638-1675) еще в 1668 г. вывел формулу параболы, вновь полученную Т. Симпсоном лишь в 1743 г. 10.6. Квадратурнал формула Гаусса Рассмотренные выше квадратпурные формулы построены исходя из заранее принятого разбиения отрезна ~а, 6], на котором необходимо вычислить интеграл (10.1).
При этом оказалось, что вне зависимости от расположения на отрезке узлов нвадратурной формулы она является точной, если подынтпегральной функцией является любой многочлен, степень которого на единицу меньше числа этих узлов. Но если есть возможность выбора расположения на этом отрезке некоторого фиксированного числа Ф узлов, то ее целесообразно использовать для 10.6. Киадратурнан формула Гаусса построения формулы, точной для многочленов возможно более высокой степени. Формулу, удовлетворяющую такому условию, называют квадрапьурной формулой Гаусса.
Путем замены переменного интегрирования х = (а+ б)/2+ + (в — а)1/2 интеграл (10.1) можно привести к интегралу на отрезке ~ — 1, Ц, записав квадратурную формулу в виде Ь вЂ” а У(х) сЬ =— 2 в — ~~ а;~( — + — $;) . (10.46) 2 ., ' 2 2 Именно для этого отрезка находят расположение узлов б [ — 1, 1] и значения весовых коэффициентпов а;, при которых она является точной для многочлена Р,„(1) возможно более высокой степени т, т.е. (10.47) Сразу отметим, что не существует набора коэффициентов а;, 1= 1, У, обеспечивающих выполнение (10.47) для любого многочлена степени т = 2Ф и выше.
В самом деле, рассмотрим многочлен Р (~) = И ~1) И аз) (а степени т = 2Ф, для которого узлы квадратурной формулы являются нулями кратности 2. При подстановке этого много- члена в (10.47) слева получим положительное число, а справа— нуль. В силу линейности определенного интеграла для выполнения равенства в (10.47) необходимо и достаточно, чтобы оно 478 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ было верным для степенной функции 1", к = О, т. Отсюда по- лучаем т+ 1 условие 1 ~Й+1 1 1 ( 1)1+1 1~й= — = =~аД, Й=О,пь.
(10.48) к+1 1+1 -1 2 а1$, +аг1г =, пА+вг~г = О, г г 3 г 3' в1+ вг — — 2, в1~1 + пгниг = О, решением которой будут значения а1 — — аг — 1, 11 — -1/ъ~З и $г — — 1/т/3. Следовательно, квадратурная формула Гаусса с двумя такими узлами (Ф = 2) точна для многочленов степени до т = 2Ф вЂ” 1 = 3 включительно, т.е. в этом смысле равноценна формуле (10.22) Симпсона с тремя узлами. Для произвольного Ф Е И решение системы (10.48) можно получить при помощи многочменов (полиномов) Лежандра 1 И" (Р— 1)" Ра(~) у ~, н=Оз 1з2з ° ° ° ф (10.49) названных по имени французского математика А. Лежандра (1752-1833).
Из (10.49) следует, что Ро(1) = 1, Р~ (1) = ~. Далее Эти условия образуют систему нелинейных уравнений относительно 2Ф неизвестных значений Ц и а;, ~=1,М. Однако пока не ясно, существует ли решение этой системы для любого У, и если существует, то все ли искомые значения являются действительными числами и все ли значения 1; принадлежат отрезку 1-1, 1]. В случае И=1 имеем двауравнения а1 — — 2 и а111 — — О, из которых находим а1 — — 2 и 11=0, т.е. квадратурной формулой Гаусса при Ф = 1 является формула (10.29) прямоугольника с центральным узлом на отрезке ~-1,1] длиной Ь = 2, точная для линейной подынтегральной функции (т=1).
При Ф =2 из (10.48) следует система четырех уравнений 479 10.6. Каадратурнаи формула Гаусса можно использовать рекуррентное соотношение иР»(~) = (2и — 1) 1Р» 1(~) — (и — 1) Р»-2(~)' (10.50) Графики Р„(8) до и=4 на отрезке ~-1, Ц изображены О на рис. 10.2. Многочлен Р„(г) 1 имеет наэтом отрезке и дей- Р ствительных простых нулей. Рг Многочлены Лежандра с чет- Р~ ным номером являются чет- 1х ными функциями, а с нечетным — нечетными. Поэтому для любого нечетного и всегда 1~„~у2 — — О, а остальные -1 узлы расположены на отрезке Рис. 10.3 ~ — 1, Ц симметрично. Также симметрично расположены узлы и в случае четных и. Важнейшее свойство многочленов Лежандра состоит в том, что «» Ц2 11» сВ = 0 УЙ ( и. (10.51) ф» ~ Р„(~)й =— й и!2» Действительно, интегрированием по частям находим 1 — — й ~~ 1 й.
«»-1(~2 1)» 1 «»-1(~2 1)» ,«~»-1 ,«~»-1 -1 -1 Так как многочлен («2 — 1)" имеет в точках $ = ~1 нули кратности и, то все его производные до порядка и-1 включительно обращаются в этих точках в нуль. Поэтому равен нулю первый член в правой части последнего равенства. Аналогично 480 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ последовательным интегрированием по частям получаем 1 1 ~и-1(~2 1) и и-2 (~2 1) и И=-(й — 1) ~" 2 й, Щи-1 ~фи-2 и-(/с-1) р2 1)и Й=— Щи-(Й-1) ~и-Й (~2 1) и Й=О, <~~и-1с Р (~) = Я ~(й)Р~~(~) + В(~), где Я р~(8) — частное от деления Ри($) на Рр~(1), а В(1)— остаток от этого деления, являющийся многочленом степени не выше У вЂ” 1, причем В(~;) =Ри(~;), г=1,Ф.
Тогдаполучим 1 М Р (~)й= Я ~(~)Р~(~)й+ В(~)й= с2;Р (~;), 1 -1 -1 с=1 поскольку в средней части равенства первый интеграл в силу (10.51) обращается в нуль, а второй интеграл от многочлена степени Ф вЂ” 1 можно точно выразить через Ф узловых значений этого многочлена, Для вычисления весовых коэффициентов а; в (10.47) рассмотрим многочлены степени д = У вЂ” 1 что убеждает в справедливости (10.51) при Й < и,. Если в качестве узлов 1; Е [ — 1,1], 1= 1,Ф, квадратурной формулы (10.47) взять Ф нулей многочлена Рр~(8) Лежандра, то можно найти такие значения а;, г = 1, У, что эта формула будет точна для любого многочленастепени до 2У-1 включительно.
Действительно, многочлен Ри(й) степени т(2Ф вЂ” 1 можно представить в виде 10.б. Каадрвтурыаа формула Гаусса 481 Подставляя многочлен Р,„(8) = Р2(1) степени т = 2Ф вЂ” 2 в (10.47), получаем Отсюда находим 1=1,Ф, а~= т.е. все весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса положительны, что ограничивает ее абсолютное число обуслоеленностпи. Кроме того, весовые коэффициенты в симметрично расположенных парах узлов одинаковы. Если функция ~(х) в (10.46) не является многочленом степени до 2Ф вЂ” 1 включительно, то квадратурная формула Гаусса с У узлами дает погрешность Вщ. Для функции Дх), непрерывно дифференцируемой 2Ф раэ на отрезке ~а,6], (у~) 4 Врг = ар~(6-а) ~ ~(~), ~ Е (а, 6), а)ч ((2У)!) (2У+ 1) Коэффициент ар~ быстро убывает с ростом У: а~ а4 10 2; а~а2 10 ~; азт5 10 ~; а4а6 10 'О, так что при интегрировании функций, имеющих не слишком большие по абсолютной величине производные достаточно высокого порядка, формула Гаусса обеспечивает хорошую точность уже при.небольшом числе узлов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
