VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Форнула ааребол проходящей через три точки с координатами (а; У(а)), (ср У(с)) и (Ъ; У(Ь)), где с = (а+ Ь)/2 — середина отрезка ~а, Ь]. Такая замена соответствуе г кваоратичной (трехточечной) интерполяиии функции У(х) на этом отрезке.
Коэффициенты о,,д и у в (10.19) находим из решения системы линейных алгеораичесних уравнений а(а — с)~+,9(а — с) + у = У(а), у = У(с), а(ь — с) +,8(ь — с) + 7 = У(ь), получаемой последовательной подстановкой в (10.19) координат всех трех указанных точек. Это решение единственно, так как через три заданные точки можно провести лишь одну параболу ~П], которая, очевидно, переходит в прямую, если эти точки расположены на одной прямой. В итоге вместо (10.19) имеем у(х) = У(с)+ (х — с)+ У(Ь) — У(а) У(Ь) — 2У(с) + У(а) $2 (х — с)~, (10.20) где й = Ь вЂ” а — длина отрезка ~а, Ь].
Площадь криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок ~а,Ь] и ограниченной этой параболой, равна У= у(х)ах= в У(Ь) -У(а) я У(Ь) 2У(с)+У(а) з ~У(а)+4У(с)+ У(ь) и, 1 6 464 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Нетрудно установить аналогию (10.21) с формулой Симпсона для вычисления объема тела по трем значениям площади поперечного сечения этого тела. Заменяя площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Дх) (см. рис. 10.1), площадью криволинейной трапеции, ограниченной параболой, получаем для вычисления интеграла (10.1) квадратурную формулу 6 с+Ч2 ~(,)~, д ЬУ(а)+41(с)+у(Ь) (10.22) б ~(х) ах = а с-й/2 которал соответствует формуле Симпсона. Сравнивая (10.22) с (10.6), нетрудно установить, что в данном случае и = = 2, Ао — — Ах — — Ь/6, А1 — — 4Ь/б и Ао+ А1+ Аз — — Ь = Ь вЂ” а, т.е. обусловленность задачи вычисления интеграла (10.1) не ухудшена.
Погрешность квадратурной формулы (10.22) представим как функцию аргумента и= Ь/2: В® =1-3= Ях) йх -т~ . (10.23) 3 В'(ц) = ~(с+ц)+Дс- ц)— Яс — и) + 4Яс) + ~(с+ и) — Яс — и) + ~~Р(с+ и) 3 Ч 3 Ф Пусть функция ~(х) трижды непрерывно дифференцируема на отрезке [а, Ц и имеет непрерывную четвертую производную ~'"(х) Чх Е (а, о). Учитывая теорему 6.16 о дифференцировании интеграла по переменному верхнему пределу и дифференцируя (10.22) трижды по и, после применения теоремы Лагранжа 111] получаем 466 10.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ (Ь = 2Ь„) и в итоге получить ~формулу иарабол ь Ь„ У= ~(х)Юхан.7= —" (~р, ~+4~2; 1+,5~;) = 3 . 1=1 Ь„ т тв-1 = — (~о+Ь~+4~' Ь;-1+2~~' Уг;) (1024) в=1 в=1 с погрешностью (10.25) поскольку правая часть в этом равенстве ограничена наименьшим и наибольшим значениями функции ~'"(х) на ~а,6~. Тогда вместо (10.25) получим Ь5 В=- — У (()=- — Ь'„У (4) 4Е~а о1. 90 180 и (10.26) Если же ~Г'"(х) разрывна на отрезке ~а, Ь), но ф"(х)~ ( ( М4 Чх Е (а, Ь), то возникающую при использовании (10.24) погрешность можно оценить так: М ~ ~Ьи™4 ° 180 (10.27) Итак, абсолютная величина погрешности формулы парабол при равномерном разбиении отрезка интегрирования пропорциональна Ь4, т.е. (10.24) имеет четвертый порядок точности, Если ~'~(х) непрерывна на отрезке [а, Ц, то на нем существу- ет точка ~, в которой 4б9 10.4.
Формулы прямоугольников (10.29) к каждому частичному отпрезху [х; 1, х;3 С 1а, 6~ этого разбиения, придем к формуле прлмоуаольниное 6 1= ~(х)Мхи.7= (х; — х; 1Ц 1)г Ы1 (10.32) с погрешностью (10.33) При равномерном разбиении х; — х; 1 — — Ь„= (6 — а)/и = = сопвй и вместо (10.32) и (10.33) получим ь и Ьз Ях) бх а,У = Ь„Д 1~г, В = —" Ун®). (10.34) 1=1 за Если ~н(х) непрерывна на отрезке 1а,6~, то на нем найдется точка ~, для которой справедливо равенство (10.16), так что получим (10.35) Если 1н(х) имеет на отрезке 1а,6~ точки разрыва, но ~,~н(х)~ ( ( Мг Ух Е (а, 6), то при равномерном разбиении для абсолют- ной величины погрешности имеем !В~ '- Ь„Мг.
(10.36) Оценку (10.3б) можно использовать и при неравномерном разбиении, если в качестве Ь„взять его макси))4алькый шаг Ь,. Наряду с выражением (10.32), называемым иногда формулой центральных прямоугольников (или коротко формулой средних), можно построить формулы левых и ираеых 470 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВА НИЕ прямоугольников соответственно в г=2~~,-*,,)Л „~=~=~ ~~<-*,,1у;. (10.з71 При равномерном разбиении они приобретают вид Эти формулы редко используют, поскольку они имеют лишь первый порядок точности, тогда как формула (10.32) имеет второй порядок точности. Замечание 10.3.
Кеадратпурные суммы формул прямоугольников совпадают с интегральными суммами функции Дх) на отрезке 1а, 6), которые для интегрируемой функции У(х) стремятся к одному и тому же значению интеграла при стремлении к нулю максимального шага разбиения Ь,. Подстановка же конечного значения Ь„в различные формулы прямоугольников приводит к различным результатам. Отметим, что площадь прямоугольника, вычисляемая по (10.29), совпадает с площадью трапеции, одна из боковых сторон которой является касательной к графику функции ~(х) в точке (с; ~(с)) (см. рис. 10.1). Поэтому можно считать, что (10.29) построена на основе интерполяции функции Дх) не многочленом Р0(х) = ~(с) нулевой степени, а линейной функцией Р1(х) = ~Г(с)+~'(с)(х-с), т.е. точка с является кратпным узлом иниерлоляиии.
Благодаря выбору этого узла в середине отрезка слагаемое, содержащее значение ~'(с) производной, исчезает при интегрировании и это значение не входит ни в (10.29), ни в (10.31). По этой причине точность вычислений по (10.32) выше, чем по (10.37), причем порядок точности формулы (10.32) и формулы (10.13) трапеций одинаков, но оценки абсолютных величин погрешности вычислений по этим формулам в (10.36) и (10.18) соответственно отличаются в 2 раза. 471 10.5. Приближение многочленами высшкх степеней 10.5.
Приближение многочленами высших степеней Сравнение между собой квадратпуркых формул прямоугольников, тпрапеций и парабол показывает, что порядок их тпочкости связан со стпепенью многочлена, используемого при интперполировании подынтпегральной функции. Так, переход от линейкой интперполяции к квадратпичной привел к росту порядка точности сразу на две единицы.
Поэтому возникает естественное стремление повышать порядок точности квадратурных формул путем использования иктперполяциоккых многочленов более высоких степеней. Однако не все в этой ситуации столь очевидно. Например, замена на отрезке ~а,6] функции ~(х) кубической параболой у(х) при условии совпадения значений ,~(х) и у(х) в точках х = а, а+ Ь„, а+ 2Ь„, а+ ЗЬ„(Ь„= (6 — а)/3) приводит к квадрапьурной формуле Нъютпона 1 = ~ /(х) йх а 1 = -Ь„Ц(а) + 3~(а + Й„) + 3/(а + 2Й„) + Дб) ) 3 Ф (так называемому „правилу трех восьмых") с погрешностью Д и Р~(~) ~~- ( 6) ЗЬ'„,„ 80 (для четырежды дифференцируемой на этом отрезке функции), т.е.
эта формула имеет тот же порядок точности, что и формула (10.22) параболы, хотя и требует вычисления значения функции еще в одном узле квадратпурной формулы. Причина этого та же, что и в случае с формулой прямоугольника, когда узел квадратурной формулы совпадает или не совпадает с серединой отрезка ~а, Ц. Выбор средней точки с= (а+6)/2 отрезка в качестве одного из трех узлов квадратурной формулы (в'формуле Симпсона) позволяет рассматривать его как кратный узел интерполяции, в котором 472 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВА НИЕ помимо значения функции Дс) задано еще и значение ~"'(с).
Соответствующий интерполяционный многочлен будет уже не квадратной параболой (10.20), а кубической ( ) у(,) У(Ь)-У( ) У(Ь)-2У( )+У( ) + ~'"(с) (х — а)(х — с) (х — Ь), (10.38) где Ь = Ь вЂ” а — длина отрезка [а, Ц. Последнее слагаемое в (10.38), обращаясь в нуль в каждом узле и являясь нечетной функцией аргумента х — с, при интегрировании не даст вклада в квадратурную формулу, так что конечный результат совпадет с (10.21). Отметим, что (10.38) описывает все кубические параболы, проходящие через три заданные с постоянным шагом точки. Поэтому (10.22) точна, если Дх) = Р„(х) при п(3. Если при интегрировании в (10.21) использовать квадратную параболу, совпадающую с интерполируемой функцией ~(х) на концах отрезка и в любой его внутренней точке, отличной от его середины, то получим квадратурную формулу, имеющую порядок точности на единицу меньше.
Напомним, что также на единицу уменьшается порядок точности квадратурной формулы прямоугольника, если узел не совпадает с серединой отрезка. Ясно, что любое разбиение отпрезха ~а, Ц вида (10.12) при четном а=2т, симметричное относительно узла х в середине отрезка, позволяет к интерполяционному многочлену Р„(х) степени а, совпадающему с интерполируемой функцией ~(х) в (и,+1)-м узле, добавить слагаемое У (хт) (х х0) . (х хт-1) (х хт) (х хтв+1) ° ° ° (х хв).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
