VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Особенности вмчисленил неопрелеленкых интегралов 497 Таким образом, приближенное значение исходного интеграла не превышает 1,8202. Выбор у(х) = 1 — х~/2+ х4/24 обеспечит функции Ь(х) = = (совх — 1+ х~/2 — хе/24)/~Д, доопределенной в точке х = 0 значением Ь(0) = О, непрерывность на отрезке 10, 11 четвертой производной, Это позволит для вычисления первого интеграла в правой части (10.59) использовать формулу парабол четвертого порядка точности. При шаге 1/2 получим примерно — 0,00024, а при шаге 1/4 вклад первого интеграла по абсолютной величине не превысит 2 ° 10 4. Поэтому с такой точностью в качестве приближенного значения интеграла 1 можно взять значение второго интеграла в правой части (10.59): 1 1и — <Ь = (Ь 2 + в 18092 у(х) 1 — х~/2+ х4/24 1 1 Д 5 9 ° 12 10.10.
Особенности вычисления неопределенных интегралов Пусть функция ~(х) определена и ограничена в некотором промежутке Х и в этом промежутке необходимо численным интегрированием найти приближенные значения Р(х;) ее первообразнои Р(х) на конечном множестве точек х; Е Х, ю = 1, и. В этом случае можно говорить о приближенном вычислении значений Е(х;)+С неопределенного интеграла (С— произвольная постоянная).
Значения неопределенного интеграла вычисляют по тем же квадратурным формулам, что и значения определенного интеграла. При этом нижнему пределу придают некоторое фиксированное значение хо Е Х, которому отвечает нулевое значение первоооразной Р(х), т.е. Р(хо) = О, и находят числовое значение этой первообразной, соответствующее каждому значению 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 498 (з = 1,п) верхнего предела.
Точки х; целесообразно перенумеровать так, чтобы значения х; возрастали, и вести численное интегрирование последовательно на частичных отрезках ~х; 1,х;1, приняв хо < х1, т.е. использовать свойство аддитивности определенного интеграла в виде х1 Дх)<Ь, ~=1,в. Г(х;) =Р(х; 1)+ (10.60) Х$1 Следует иметь в виду, что в этом случае будут накапливаться ошибки округления, связанные с представлением чисел в ЭВМ ограниченным количеством разрядов. Кроме того, погрешность вычисления каждого иэ значений Р(х;) будет зависеть от положения точки х; на отрезке ~хв, х„~. Распространенным на практике является случай, когда зна чения подынтегральной функции ~(х) заданы таблицей на том же множестве точек х; Е Х (1= 1,п).
В этом случае для вычисления интеграла в (10.60) непосредственно можно использовать лишь формулу трапеции, которая может и не обеспечить необходимоЙ точности вычислениЙ, поскольку использует лишь линейное представление функции ~(х) на отрезке ~х; 1, х;~. Точность представления Дх) на каждом частичном отрезке можно повысить при помощи интерполяционного многочлена более высокой степени, использующего значения функции Дх) за пределами этого отрезка. При этом целесообразно привлечь табличные значения функции Дх) в ближайших к рассматриваемому частичному отрезку узлах, взяв (по воэможности) одинаковое число узлов с каждой стороны отрезка.
Однако для частичных отрезков вблизи концов промежутка Х такой возможности нет, поэтому следует использовать интерполяционныб многоиаен Ньютона для интерполирования вперед или наэад. Посколькудляпервообразной Р(х) функции ~(х) справедливо соотношение .Р(х) = ~(х), которое можно рассматривать Во,просы и задачи как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, то нахождение первообразной равносильно решению этого уравнения. Поэтому для приближенного вычисления значениЙ первообразной можно использовать численные методы решения такого уравнения [ИЩ. Вопросы и задачи 10.1. Вычислить по формулам трапеций, парабол и прямоугольников интеграл 1 от функции 1/(1+х~) наотрезке [О, Ц (точное значение 1 = я/4), разбив отрезок интегрирования на пять равных частей. Испольэовать формулу Гаусса при Ж = 5.
Провести сравнение результатов и оценить погрешность вычислений. 10.2. Вычислить с точностью 10 4 по формулам трапеций, парабол и прямоугольников несобственный интеграл от функции 1па1пх на отрезке [О, я1, используя равенство 1па1пх = = 1п х+ 1п(ып х/х). 10.3. Вычислить с точностью 10 4 несобственный интеграл от фуикции 1/~~ — ле ие отрезке ) — 1, 1), исполззуи линейную интерполяцию функции 1/~/Г+~х на частичных отрезках. 10.4. Вычислить с точностью 10 4 несобственные интегра лы от функций 1/(~/х (1+ х)) и 1п х/(1 — х~) на отрезке [О, Ц.
ПРИЛОЖЕНИЕ ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ' Интегралы от алгебраических функций (ах+ Ь)'+1 (ах+ Ь)'(Ь = ' а(а+ 1) сЬ 1 — = -1д)ад+Ц. ах+ Ь а Йр-Й 3". х" (ах+ Ь)" ах = ~ х~+~+ . -~.(. ).,++ 4. х (ах+Ь)"~Ь= — (Ф-Ь) Рй, 8=ах+Ь (см. ииа'"+1 теграл 3). ти+и-2 Сл ( а) л +Ь ю-Й-1 х~(ахЩ" 5~в+"-' ~-~ т-Й-1 д ьо Х 'В формулах длл краткости опущена постолннел интегрировании.
Па раметры тв и н принимают натуральные значенил (еь, и б Х), остальные параметры принимают действительные значенил (исключал те значеиил, при которых выраиенил в формулах не определены). В некоторых случалх область изменевил параметров спепиально оговорена. "Если р Е (-и — 1, -1] — целое, то в формуле слагаемое для Й = -р — 1 и! следует дамевать ва — а ь" ~ )д)а). и(вз-й)! Интегралы от алгебраических 4)уикций 501 ( ах+ 6) ах ах 6с — аа Э вЂ” + 1п ~сх+ И~. сх+ а' с !в~ +'~, ~ ФЫ; ах Ьс- аа ах+6 (ах+ 6)(сх+ И) 1 с(ах+ 6) ' х дх Ып ~х+ 6| — сйп [х+ И~ (х+ Ь)(х+ Ы) Ь вЂ” Ы х0х И Ь +Ь| (х+ 6)(х+ а) (Ь вЂ” а)(х+ а) (Ь вЂ” а) х+ а хз Ь 4З (х+ЬН + )з (4-6)(х+4 ~ Ьз1п ~х+ Ь|+ (аз — 2Ы) 1п ~х+ Ы~ (И- 6)з ~ хах 1 Ь Ы 6+И, х+Ь (х+6)з(х+Й)з (Ь-Ю)з х+Ь х+Ы Ь-В х+Н ~ хзйх -1 Ьз У 2Ы х+Ь (х+6)з(х+а$)з (Ь-Ы)з х+Ь х+Ы Ь-с8 х+й с6х 1 Ьх 13. = — агсФд —.
* аз+ Ьзхз аЬ а Их 1 ~ а+Ьх аз — Ьзхз 2аЬ 1а — Ьх ƒ ~Ь х 2к-1 Ых 15. ~ +— (аЗ =Е ЬЗХЗ)в+1 2ааЗ(аЗ =Е ЬЗХЗ)в 2ПаЗ (аЗ =Е ЬЗХЗ)в Зев+1 ~ 1 ~тв ф (аЗ ~.ХЗ)в — 2 (аЗ~.~)в хЗах х 17. = х — аагс~ —. ~аЗ хЗ а 502 Прилохение. Таблица неонределенмых интегралов х аах а !а+х! 18. = — х+ — 1п~ — ~. а~ — х~ 2 !а — х~ х2Нх х 1 19.
(а~:Ь х~) "+1 2ю(а~ 3= х~)" 2я Их 1 1 х 20. | — агсЫ-. хЯ(аг+ ха) агх аз а ах 1 х~(а~+ х~)~ а4х 2а4(а~+ х~) | (а.4 ! х~)66' 3 х 5 а,гсф~ —. 2ав а 4 Ь с (сх+И)2 2г х 22. — 1п + — агсФф(сх+а)(а~+ х~) 2(а~с~+ЬР) а~+х~ ас а Ых 1 1 а+х 23. =- — + — 1п— х~(а~ — х~) а~х 2аз а — х ах 1 х 3 ~а+х~ 24. + + 1~ — ~. х~(а~ — х~) ~ а4х 2а4(а~ — х~) 4аб ! а — х ! 2ах+ Ь а,гейбл ~/4ас66 4ас) Ь~; 2аа+6-с/Ьа-4ас 2 8. ~Ь ах~+Ьх+с 1 1п ~/Ьс — 4ас 4ас< Ь~; 2аа+Ь+~6~-4ас 4ас= Р. 2ах+ Ь' ~ Ь 2ах+ Ь (ах~+ Ьх+ с)"+1 я(4ас — У)(ах~+ Ьх+ с)" + 2(2я-1)а ~ ах ть(4ас- Р) 1 (ах~+Ьх+с)" 28.
хИх 1 ~ Ь сЬ = — 1п!ах +Ьх+с~ —— ах~+Ьх+с 2а 2а ах~+ Ьх+с Йх с ~ (сх+Й) ~ ~~ а+х ~'~ (сх+а)(а~ — х~) 2(а~с~ — У) ~ !а~ — х~~ ас а-х ~( * 2 ~ | 503 Интекумчлы от влгебранческых фуикцый хах бх+ 2с (ах2+ Ьх+ с)и+1 п(4ас — Ь2)(ах2+ бх+ с)л (2 — 1)б 1 Ь п(4ас — Ь2) / (ах2+бх+с)"' еь-1 ~ ( -т)б (2п — т — 1) а./ (ах2+ бх+ с)" х2в-1нх 1 2л-3 ц 31. (ах2+ бх+ с)п а (ах2+ Ьх+ с)л 1 х2в-3 ~х б х2и-2~ (ах2+бх+с)" а (ах2+бх+с)"' -У Их 1 х2 Ь 32. — — 1п х(ах2+ бх+ с) 2с ах2+ бх+ с 2с ах2+ бх+ с' ЗЗ. х(ах2+ бх+ с)~+1 2пс(ах2+бх+ с)и ~Ь 1 ~~ ~Ь (ах2+ Ьх+ с)"+1 с / х(ах2+ Ьх+ с)" Ь 2с Их 1 х~(ах2+ бх + с)п (т 1) сх~в-1( 2+ Ь + (2п+т — 3)а 1 ~Ь (т 1) с / хе~-2(ах2+ бх + с)и (и+т-2)б х -1(ах2+Ьх+с)"' (т — 1) с 3 0. х ах тв-1 — -+ (ах2+ Ьх+ с)™ (2п — т — 1) а(ах2+ Ьх+ с)" 1 + (т — 1)с 1 х -2Ь (2п — т — 1)а,~ (ах2+бх+с)и Праыомение.
Таблкцв неопределенных мытетраюв (2и — 3) Ь 1 + Ь ~Ь =2 +6 ~/~аж+ 6)" ~пв (2т — и, — 2) а 2тЬ ~пи+1 2 а а>0, 6~-,64ас; а>0, Ь =4ас; а<0, Ь )4ас. 2аю+ Ь Ий =— 4а 4ас- 62 Ь 8а 1 — 1п 2аз+Ь+2 ~Га вдп(2аж+ 6) 1п ~2аж+ Ц, ~/а -1 . 2аю+ Ь = агсе1п Й, 1 = ~аз+ 6, т, в Е Е. 507 Интеграаи от алгебраических функций 2(2ах+ Ь) 63, (4ас — Р) 2(2ах+Ь) 64. вв.
/ (т-2а+2) а х 1ах (2т — 2и+ 1) Ь 2(т — 2а+ 2) а х ~ах (т — 1)с (т — 2я+ 2) а Х 222-3 (2я-3) а Х22ь-4 ~ +-'/ 4 а)1. ВТ. -1 Ьх+ 2с+ 2 — 1п ~/с х с) О, Ь~ф4ас; адс(Ьз+2с) с ~/с Ьс+ 2с ' 1 . Ьх+2с — агс81п ~/-с )с)~Ьс — 4ас с) О, Ь =4ас; с<0, Ь~) 4ас, с=О. Ьх з С -1),Ь 66. (2а — 1) (4ас-И) 8(я-1)а (2 -1)(4 -Р),( 509 Интегралы от алгебраических Функций (2и — 2т+1)Ь ]' 2тс,/ х'" (2п — т+ 1) а + тс Хтв-1 2 Их= (2 — 2т — 1)Ьх +1 + + 2(т — 2п) а (2и — 2т — 1) Ь.~ а+ ~ха+ а2 7 6. Ых 2 = — — 1П „„/..и+ д1 ва 77.
/ 2щ~п х а агссов —. па /хм 78. = — агсап 79. х~(ах" + Ь)" сЬ = х"'+'(ах "+Ь)Р ирь + ~~(ах~+ Ь) 1'-,1х тп+ пр+1 т+ пр+1 (ах +Ь) т+п+пр+1 п(р+1) Ь и(р+1) Ь,7 ' +'( "+Ь) +' ( + + р+1)а +„ (т+1) Ь (т+1) Ь тв-в+1( хи+ Ь)у+1 ( + 1) Ь х "(ах" +Ь)" Ых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
