VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если в выражении для Вр~ выделить сомножитель 6 — а, равный длине отрезка интегрирования, и ввести максимальный шаг Ь раэбиения этого отпрезка, то порядок точности этой формулы будет равен 2№ 482 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Все весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса положительны, что не ухудшает обусловленностпь задачи вычисления интеграла, сохраняя абсолютное число обусловленности этой формулы равным длине отрезка интегрирования. Некоторое неудобство применения формулы Гаусса связано лишь с иррациональностью чисел 1; и (в общем случае) а;, что, однако, не имеет принципиального значения при вычислениях на ЭВМ. Ни один из узлов квадратурной формулы Гаусса не совпадает с концами отрезка [-1, Ц.
Поэтому она может быть использована для вычисления интеграла от функции, определенной лишь в интервале (-1,1). Русский математик А.А. Марков (1856-1922) несколько изменил постановку задачи поиска значений $; и а; в (10.47), дополнительно потребовав, чтобы один из Ф узлов совпадал с концом отрезка. Полученные им квадратурные формулы точны для многочленов степени ~~ 2Ж вЂ” 2.
Точную для многочленов степени ( 2Ф вЂ” 3 квадратурную формулу с Ф = и+ 1 узлами, два иэ которых совпада ют с концами отрезка интегрирования, построил голландский математик Р. Лобатто (1797-1866). При Ф = 2 она идентична формуле (10.8) шрапеиии, а при У = 3 — формуле (10.22) параболы. Формула Лобатто при И=4 на отрезке ~-1, Ц имеет 11,4 —— =Р1, 8з,з — — -р1/5, а1,4 — — 1/6, аз,4 — — 5/6 и точна для многочленов до пятой степени, тогда как квадратпуркая формула Ньютона с равномерно расположенными четырьмя узлами точна лишь для многочленов не выше третьей степени. 10.7. Практическая оценка погрешности численного интегрирования Полученные выше выражения для погрешностпи квадратпуркыю формул, имеющих й-й порядок точности, содержат зна чение производной ~®(~) подынтпегралькой фурии Дю) в точке ~, положение которой на отрезке интегрирования 1а, 6), вообще говоря, не известно.
Оценка же абсолютной величины 10Х Практическаа оценка погрешности интегрирования 483 1-,1 = СЬ~+ о(Ь~), (10.52) где С ф. 0 и не зависит от Ь. Напомним, что символ „о малое" обозначает бесконечно малую функцию более высокого порядка малости, чем ее аргумент (в данном случае Ь~) при Ь -+ 0 ~1-10.1~.
Если теперь по той же квадратурной формуле провести вычисление интеграла (10.1) с шагом Ь1 — — Ь/г, то получим значение 11 и вместо (10.52) запишем 1 †.11 — — С(Ь(г)~+ о(Ь ). (10.53) Вычитая (10.52) из (10.53), для главной части погрешности значений ,1 и ,11 получаем соответственно У -,11 ,У вЂ .7~ 1 .11 —,1 СЬ =, С(Ь/г) = 1/г~ — 1 1/гй 1 гй гй этой погрешности по наибольшей абсолютной величине М~ производной ~®(к) может оказаться слишком грубой, да и не всегда возможной из-за отсутствия информации о значении Ма.
На практике используют ряд подходов, позволяющих, в частности, строить вычислительные процедуры на ЭВМ с автоматическим выбором рационального раэбиения отпрезка ~а, 6~. Если есть уверенность, что подынтпегралъная функция Дк) имеет на отрезке интегрирования ~а,Ц непрерывную производную к-го порядка, значение которой входит в выражение для погрешности применяемой квадратурной формулы, то главная часть погрешности этой формулы имеет ворлдок малости к при стремлении максимального шага Ь разбиения отрезка ~а,6) к нулю. Это позволяет для количественной оценки возникающей погрешности применить метод Рунге, приводящий в случае численного интегрирования к следующей процедуре. Пусть по применяемой квадратурной формуле к-го порядка точности при равномерном разбиении отрезка ~а,6~ с шагом Ь вычислено значение У интеграла 1 (10.1). Тогда возникшую погрешность можно представить в виде 484 10.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ и более точную формулу для вычисления значения искомого интеграла г~.У вЂ”,У Х =11+ — +о(Ь~) = +о(Ь~). ~10.54) гй 1 гй Для формул тпрапеций и прямоугольников й = 2, а для формулы параоол Й = 4, так что при дроблении шага разбиения отрезка [а,6~ пополам (г=2) из (10.54) находим соответственно ,у1 —.у ,У1 — У 3 и 1 а,У1+ 15 При последующем дроблении шага разбиения поправка к значению,У1, вычисленному при меньшем шаге, должна уменьшаться по абсолютной величине. Вычисления прекращают на том этапе дробления шага, когда будет выполнено условие ~У1 —,УЯ2~ — 1) < е, т.е. поправка станет меньше заданной максимальнодопустимой погрешности е вычисления интеграла У. Если же, начиная с некоторого этапа дробления, поправка не уменьшается или даже возрастает по абсолютной величине, то это, как правило, означает, что заданная точность не достижима из-за влияния вычислительной погрешности.
Метод Рунге можно применить не только для количественной оценки главной части погрешности, но и для получения более точных квадратурных формул. Например, на отрезке 1а, 6) для формулы трапеции имеем ,Г(а) + у(Ь) 2 Первый этап дробления шага пополам приведет к значению у(а) + 2У(с) + Дб) а+ 6 4 а последующее уточнение за счет поправки даст формулу Симпсона: .У1 — У Да) + 4Дс) + Дб) И.7.
Пракчическаа оценка погрешности ннтегрнрованнв 485 Метод Рунге не применим, если подынтегральная функция ~(ю) не имеет производной нужного порядка, непрерывной на отрезке интегрирования ~а, 61, так как это не позволяет выделить главную часть погрешности квадратурной формулы. В случае кусочно непрерывной и ограниченной на [а, Ц производной ~®(ж) при известном наибольшем значении М~ ее абсолютной величины возможна лишь упомянутая выше грубая оценка абсолютной величины погрешности. Если функция Дм) имеет на ~а,Ц ограниченную и кусочно непрерывную производную порядка р < Й, то это, как правило, снижает порядок точности квадратурной формулы до значения р. Для этого случая в табл.
10.2 приведены оценки абсолютной величины погрешности некоторых квадратурных формул с использованием наибольшего на ~а, 6~ значения Мр абсолютной величины соответствующей кусочно непрерывной производной. Стрелки в таблице означают перенос оценки из столбца слева, т.е. наличие у функции Дж) производной более высокого порядка, чем Й, не улучшает оценку. Таблица 10.3 Из табл. 10.2 видно, что для функций, имеющих лишь первую или вторую производную, лучшие результаты дает формула (10.34) арлмоуголькиков, а для функций, имеющих производные высоких порядков, выгоднее применять квадратурную формулу Гаусса. В ситуации, когда отсутствует информация о производных подынтегральной функции на отрезке интегрирования или же 10.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ производные не ограничены, можно формально предположить, что существует главная часть погрешности применяемой квадратурной формулы в виде ф=СЬ~, где С и д не зависят от шага Ь разбиения отрезка и постоянны для конкретной зада чи вычисления интеграла У (10,1). Если выбрать три варианта разбиения отрезка ~а,Ь~ с шагами Ь1 — — Ь, Ьг —- гЬ, Ьз — -ггЬ и вычислить соответствующие приближенные значения,У1, .Уг, ,Уз интеграла Х, то можно составить систему трех уравнений: ,У вЂ” У1 — — А У вЂ .Уг — — ~3г~,,У вЂ”,Уз =!Згг~, (10.55) где,У вЂ” искомое уточненное значение У. Исключая отсюда,д и г~, получаем (У1 — Уг) 2 Уг - У1 - Уз (10.56) Второе слагаемое в правой части (10.56) является поправкой, в которой числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок малости, что не приводит к заметной погрешности вычислений.
Поэтому, чтобы избежать потери точности, при вычислениях не целесообразно приводить правую часть (10.56) к общему знаменателю. Попарным вычитанием уравнений (10.55) можно прийти к выражению для эффективного порядка точности применяемой квадратурной формулы в виде 1 Уз- Уг а= — 1п 1п г Уг — У1 (10.57) Рассмотренный прием использования трех расчетов (в отличие от двух расчетов в методе Рунге) предложен английским математиком А. Эйткеном (1895-1967) для ускорения сходи- мости итерационной последовательности, когда погрешность убывает примерно со скоростью геометрической прогрессии.
Это отвечает в данном случае постоянной кратности г дробления шага разбиения отрезка интегрирования на каждом этапе вычислений. 10.У. Практическая оценка погрешности интегрирования 487 Пример 10.1. Определенный интеграл на отрезке [О, 1] от функции Дх) = ~/х равен 2/3 и 0,6667. Если для вычисления этого интеграла использовать квадратурные формулы, то применить полученные оценки погрешности не удастся из-за того, что в точке х = 0 производная ~'(х) = 1/(2~/х) подынтегральной функции не ограничена.
По значениям ДО) = = 0,0000, Д1/4) = 0,5000, У'(1/2) = 0,7071, ДЗ/4) = 0,8660 и ~(1) = 1,0000, используя формулу (10.15) трапеций, вычислим значения ,Уд — — 0,6433, .У2 = 0,6036, .Уз — — 0,5000 соответственно при шагах разбиения отрезка Ьд — 1/4, Ьз — — 1/2, Ьз-— 1 и по (10.56) найдем уточненное значение интеграла,У = 0,6680, отличающееся от точного менее чем на с = 0,0015. В данном случае эффективный порядок точности формулы трапеций, согласно (10.57), у а 1,38 ( Й = 2, т.е.
он меныпе установленного для дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке подынтегральиой функции и не является натуральным числом. Поэтому метод Рунге, строго говоря, не применим и может дать непригодные результаты. В самом деле, при уточнении методом Рунге получаем значения ,У® = У + = 0,6381, .У® =.Уд+ = 0,6565, 3 ' ' 3 эквивалентные вычисленным по формуле парабол с шагами Ьз и Ьд соответственно, а при уточнении, в свою очередь, эна чения,У® приходим к поправке (.У® —,У®)/15 = 0,0012 ( е, согласно которой в качестве конечного результата с погрешностью не выше е можно принять 0,6577. Но отличие этого значения от точного составляет 0,0090 = 6е. Если при шаге Ьо -— 1/8 вычислить по формуле парабол У® = 0,6631 и испольэовать его как третье значение наряду с Фд и,У®, то, согласно (10.56), получим уточненное значение интеграла 0,6668, а эффективный порядок точности формулы парабол в соответствии с (10.57) составит дт1,48 < Й =4.
Столь существенное отклонение эффективного порядка точности от теоретического является следствием особенности в 488 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВА НИЕ поведении на отрезке интегрирования производной подынтегральной функции и объясняет непригодность в данном случае результатов уточнения методом Рунге. Отметим, что в отсутствие особенностей это отклонение обычно мало, оно вызвано вкладом в погрешность квадратурной формулы не только главной части и исчезает при Ь-+ О.
Это обстоятельство позволяет контролировать правильность программ численного интегрирования на ЗВМ, поскольку большое отличие эффективного порядка точности от теоретического при интегрировании функции, имеющей непрерывную производную нужного порядка Й, свидетельствует об ошибке в программе. 10.8. Учет особенностей поведения подынтегральной функции Пример 10.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
