VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Подынтегральную функцию представим на отрезке 1а, Ь1 линейкой комбинацией и Дз) ж ) Ди;)у;(х) + г(х) в=О (10.2) ~(х) ии = ~ А;Дх,) + л. (10.3) Подчеркнем, что значения коэффициентов А< — — / у;(х) сЬ, т = О, и, (10.4) называемых весовыми (иногда весами квадратпурной формулы), не зависят от вида функции Дх). На эти значения влияют только степень интерполяционного многочлена и расположение на отрезке ~а, 6] узлов интерполяции х;, называемых в данном случае узлами квадратпурной формулы, так как лишь от этого зависит вид каждого из многочленов (р;(х) в (10.2) и (10.4). Если в (10.3) иоерешностпъю квадратпурной формулы В = г(х) ах а (10.5) многочленов (р;(х) степени не выше и, где х; Е ~а, б1 — узлы интерполяции, а г(х) — возникающая при интерполировании погрешность, причем в узлах интерполяции г(х;) = О, 1 = О, и.
Тогда подстановка (10.2) в (10.1) приведет к так называемой квадратпурной формуле 10.1. Существо подхода и чисжиному интегрированию 457 пренебречь, то придем к приближенной рабочей формуле а Х~1=~ А;У(х<), ЫО которую часто называют также квадратурной. Выражение в правой части (10.6) называют квадратпурной суммой. Таким образом, рассмотренный подход к численному интегрированию приводит к квадратурной формуле в виде линейной комбинации значений подынтегральной функции в конечном числе узлов. Обычно наиболее трудоемкой операцией при использовании (10.6) является вычисление значений Дх;) подынтегральной функции в узлах квадратурной формулы, Поэтому при сравнении квадратурных формул предпочтение отдают той, которал позволяет вычислить интеграл с заданной погрешностью при меньшем числе узлов.
В связи с этим важной характеристикой квадратурной формулы является оценка ее погрешности, зависящей не только от степени а интерполяционного многочлена Р„(х), числа и расположения узлов, но и от вида подынтегральной функции. Для функции ~(х), имеющей на отрезке 1а,6) непрерывную производную ~~"+1~(х), погрешность интерполяции при равномерном его разбиении на а частичных отпреэков длиной Ь,„= (6 — а)/н пропорциональна Й'„'+1 [1Ц. При использовании Р„(х) для построения квадратурной формулы ее погрешность будет пропорциональна ~й'„'+~ = (6 — а) Й'„'+1. В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет (и+1)-й вор~едок пзочкостви.
Следует иметь в виду, что числовые значения Дх;) функции Дх) в узлах квадратурной формулы можно вычислить лишь с ограниченным количеством верных знаков. Это приводит к возникновению дополнительной вычислительной погрешности квадратурной формулы. Теоретически при вычислении определенного интеграла погрешность вычисления непрерывно 458 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Ь(х) Ь < 1Ь(х)3Их < (Ь- а)~.
Здесь Ь = шах ~Ь(х)~. Для любого е > 0 справедливо неразе[в,6) венство Ы < е, если выполняется условие Ь < 8(е) = е/(д — а). В данном случае Ь вЂ” а является абсааотиым числом обусловлемкосжи задачи вычисления интеграла, характеризующим чувствительность ее решения к погрешностям исходных данных.
Использование (10.6) для вычисления интеграла (10.1) не ухудшит о6условлекиость этой задачи, если ~А;~ з=О (10.7) так как даже в случае, когда в каждом узле х; значение Дх;) функции имеет наибольшую абсолютную погрешность Ь, ошибка Й1 при вычислении интеграла будет близка к (Ь вЂ” а) Ь: а лх~ы= ~ А;(7Ц-Дх4 в ( ~Ь~)А;) = зависит от отклонений в значениях подынтегральной функции. Действительно, если абсолютная погрешность вычисления значения функции,Г(х) в точке х б ~а, Ь~ равна Ь(х) = = Дх) — ~(х), где ~(х) — приближенное значение функции в этой точке, то с учетом свойства 10' определенного интеграла (см.
6.7) для абсолютной погрешности вычисления интеграла (10.1) получим оценку 459 10.2. Формула трапеций 10.2. Формула трапеций (10.8) т.е. в (10.6) п = 1 и Ао — — А1 — — (Ь вЂ” а)/2, причем обрсловлеккость задачи вычисления интеграла (10.1) сохранена, так как Ао+ А1 — — Ь вЂ” а. Это одна иэ простейших квадратуркых формул, которую можно назвать формулой ювравеции. Отметим, что (10.8) можно получить и путем подстановки в (10.1) приближенного представления подынтегральный функции в виде многочлена первой степени Л )- "Р1( )=Па)+( -а) Ь- =ЮЬ +ЙЬ~Ь ДЬ) — ~(а) Ь -" х х — а что соответствует ликейкой (двухточечко4) иктерполлции этой функции. Пусть функция ~(х) интегрируема на отрезке 1а, Ь~, причем Дх) ) 0 Ух Е [а, Ц.
Интеграл (10.1) будем интерпретировать как площадь криволикейкоВ трапеции, имеющей основанием отрезок 1а,Ь1 и ограниченной графиком функции у~с1 Дх) (рис. 10.1). Замена дуги Лх) графика стягивающей ее хордой, проходящей через точки ~® А(а;~(а)) и В(Ь,"~(Ь)), будет ~® соответствовать приближен- О а с Ь х ной замене площади криволинейной трапеции площадью (Ь-а)фа)+ДЬ))/2 обычной трапеции.
Тогда (10.6) примет вид 460 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Иогрешностпь квадрапьурной формулы (10.8) представим как функцию длины Ь = б — а отрезка [а, б~: Л(Ь) = Х вЂ” 7 = ~ ~(х) йх — — Яа) + Д6)) = а в+А Ь = / Дх)дл — -(~(а)+Да+А)). (10.9) 2 а Пусть функция Дх) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [а, Ц. Учитывая теорему 6.16 о дифференцировании интеграла по переменному верхнему пределу и дифференцируя (10.9) по Ь дважды, получаем В (Ь) — — Яа+ Ь), В~~(Ь) = — — ~ ~(а+ Ь), 2 2 ' 2 причем В(0) = В'(0) = О.
Используя теорему 6.14 о среднем значении, интегрированием находим Л л Уи( (Ь)) В'(Ь) = В"(~)й= -- $~"(а+1)й= — Ь~, (10.10) 2 4 где р(Ь) Е (а, а+ Ь). Замечание 10.1. Согласно теореме 6.15, определенный интпеграл с переменным верхним пределам Ь от непрерывной на отрезке [О, б — а) функции В"(Ь) является непрерывной функцией Ь на этом отрезке. Поэтому функция В'(Ь) в (10.10) непрерывна на этом отрезке, а при Ь > 0 непрерывна в полуинтервале (О, б — а~ и сложная функция ~" (д(Ь)) в (10.10). Так как п(Ь) -+ а при Ь-+ О, то эта сложная функция непрерывна справа в точке Ь = О, поскольку функция ~"(х) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [а,Ц, а значит, непрерывна справа в точке х = а. Следовательно, к 461 10.2.
Формула трапеций интегралу от функции В'(Ь) можно применить теорему 6.14 о среднем значении. Учитывая замечание 10.1, интегрированием (10.10) получа- ем Ь-а Ь-а (Ь- )3 1М(ь)~ ' ~у („(ь))~ (' ') у (6, (10.11) 4 12 где (' б (а, Ь). В частности, для функции ~(х), строго вывук,фон вверх в интпервале (а, Ь), имеем ~"(х) < 0 Чх б (а, Ь), т.е.
формула (10.8) трапеции дает заниженное значение вычисляемого интеграла. Если Дх) является многочленом первой степени, то ~"(х) = 0 Чх Е (а, Ь), и формула трапеции дает точный результат, что следует и из ее геометрической интерпретации. С увеличением длины отрезка интегрирования погрешность формулы трапеции быстро растет. Для уменьшения погрешности используют аддитивноспьь оиределенного интпеграла, вводя разбиение 'Ги — — (хо=а, х1, ..., х; 1, х;, ..., х„=Ц (10.12) Ь 1= ~Г(х)яхт.У=' — (х; — х; 1)® 1+Д) 1 в=1 (10.13) с погрешностью я И= — — ~ (х< — х; 1)~~'ф), $ б (х; 1, х<).
(10.14) 1=1 отрезка ~а, Ь~ на и частичных отрезков 1х; 1, х;], з=О,п, так, чтобы в каждой точке х; значение Д =~(х;) функции Дх) было известно или его можно было вычислить. Применяя (10.8) к каждому частичному отрезку, получаем форму.ву пзравеций 10.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ При равномерном разбиении х; — х; 1 — — Ь„= (6 — а)/и= = сопвФ вместо (10.13) и (10.14) имеем В ЬЗ г= у~~)и* г=""~у<,+у;), и=- — "~ у'(а). (я.и) 2. ' '' 12, в=О ю=О а Так как ~"(х) непрерывна на отрезке ~а,6~, то на нем найдется точка ~, в которой (10.16) (правая часть в (10.16) ограничена наименьшим и наибольшим значениями функции ~"(х) на 1а,6~). Тогда погрешность в (10.15) можно записать в виде нЬЗ В = — — У (4) = — — Ь„~ ((), ( б 1а, Ц 12 12 е Если ~"(х) имеет на отрезке 1а, Ц точки разрыва, но ~~"(х) [ ( ( М2 Ух Е (а, 6), то при равномерном разбиении можно получить оценку абсолютной величины погрешности в виде ~Щ(~ 12 Ь'.М2 ° (10.18) Таким образом, абсолютизм величина погрешности формулы трапеций при равномерном разбиении отрезка интегрирования пропорциональна Ь2, т.е.
зта формула имеет второй порядок точности. Оценку (10.18) можно испольэовать и при неравномерном разбиении, если в качестве Ь„взять максиыаяьный шаг разбиения. 10.3. Формула парабол Заменим дугу графика функции ~(х) на отрезке [а,6) (см. рис. 10.1) дугой квадратной параболы с уравнением у(х) = а(х — с) +,0(х — с) + у, (10.19) 10.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
