VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Дополнение 9.1. Движение материальной точки в центральном поле тяготения Напомним, что в зависимости от расположения плоскости относительно круговой конической поверхности можно получить в сечении окружность, эллипс, параболу, гиперболу или две пересекающиеся прямые. Указанные кривые объединяют общим названием конические сечения. Кроме того, эти кривые связывает то, что все они являются траекториями движения материальной точки в центральном поле тяготения. Пусть материальная точка массой т в некоторый момент времени ~=0 находится в положении Мо на расстоянии ро от центра тяготения О и имеет скорость юо, направленную перпендикулярно прямой ОМо (рис. 9.42). Совместим полюс полярной системы координат с центром тяготения, а полярную ось Ор направим получу ОМо.
Известно, что при условии и©ро — — уо, где уо — ускорение свободного падения на расстоянии ро от центра тяготения, материальная точка будет описывать вокруг этого центра окружность (штриховая линия на рис. 9.42) радиуса ро, лежащую в плоскости, содержащей прямую ОМо и вектор скорости 446 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рис.
9.43 + тдор02 р Р Й 21 д — — тдоро-„ П(Р) = — РЮЙ-= -тдоро Сумма потенциальной и кинетической энергии материальной точки при движении в центральном поле тяготения неизменна: яиР тК вЂ” — — = сопаФ, 2 р К = дороь 2 материальной точки. При этом на точку действует направленная к центру тяготения сила притяжения тдо, уравновешиваемая центробежной силой тоо2/ро. При нарушении условия юо2/ро — — до траектория точки будет отличаться от окружности. Если в текущий момент времени $ материальная точка массой т имеет скорость о и находится в положении М на расстоянии р от центра тяготения О (см. рис. 9.42), то, согласно закону Ньютона всемирного тяготения, на нее действует сила притяжения Р(р) = тдо(ро/р) 2.
Работу, совершаемую против силы притяжения при удалении материальной точки из положения М на бесконечно большое расстояние от центра тяготения, принимают за меру потенциальной энергии массы т в положении М, т.е. 449 Д.9.1. Движение в цеитральиом иоле таготеиив к = 1 (Бо —— Л) траектория является параболой, а при е > 1 (юо > ъ~2) — гиперболой. Эти траектории не являются замкнутыми и по ним материальная точка удаляется от центра тяготения на бесконечно большое расстояние. За период Т полного обращения материальной точки по орбите полярный угол 1Р изменяется от 0 до 2т.
Поэтому, учитывая (9.23) и (9.98),записываем р~(р)йр=оорой и 1 р ~оРо 1 Р М4Р= — Й = -~оРоТ 2 2 2 Согласно (9.23), интеграл в левой части этого равенства является площадью плоской фигуры, ограниченной орбитой. Площадь эллипса см. пример 9.5) в данном случае равна ~га0= = нрв/ 11 — са)а = навм'1 — сса а1в частном случан онружностн я=О и а=ро). Таким образом, 2угр~ 2уга 2~г з/я 1-е~ = а наро~/(~ — н')' ооро роДь т.е. квадрат периода пропорционален кубу большоЙ полуоси орбиты, что составляет содержание одного из законов небесной механики, установленных немецким математиком и астрономом И. Кеплером (1571-1630). Найдем длину аг эллиптической орбиты в случае 1 < юо < < т/2.
Для этого вместо (9.101) удобнее испольэовать координатпное предсгпаеление эллипса Г= ((х;у) 6 Ж~: х= айпт, у= осоьт, т б ~0, 2л'~) в прямоугольной системе координат Оху, ось Ох которой направлена по полярной оси, а начало координат О расположено между фокусами эллипса. В силу симметрии эллипса достаточно вычислить лишь четверть его длины, соответствующей изменению параметра т на отрезке ~0, ~г/2). При этом 450 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА т = ~г/2 — $, где $ — угол, показанный на рис. 9.14.
Тогда, со- гласно (9.7), получим и, обовиачив Й = ~/1 — 6и/ои, в соответствии с (9.8) ваиишем — ~Ь(~) = а вГ 4 о (9.102) Ыт = аЕ(й), где Е(Й) — помиый элмиптпически4 иитпеграа етпорого рода с модулем й, не выражаемый в элементарных функциях (см. Д.З.1). Поводом для выбора названия интегралов такого типа и послужила задача о вычислении длины дуги эллипса. При а = 6 (й = О) эллипс переходит в окружность радиуса а, так что вг =2тга и Е(0) = тг/2, а при 6=0 (1=1) он вырождается в отрезок, т.е.
вг/4= а и Е(1) =1. Интересно отметить, что полная длина эллипса с полуосями а ) 6 совпадает с длиной волны синусоиды, описываемой уравнением и = айв1п©0) ® Е ~0, 2~г6~). Дело в том, что такой эллипс является линией пересечения цилиндрической поверхности радиуса 6 плоскостью, наклонной к образующей этой поверхности, а если цилиндрическую поверхность разрезать по одной иэ образующих и развернуть на плоскости, то линия пересечения без искажения длины перейдет в синусоиду. Вопросы и задачи 9.1.
Доказать, что при задании гладкой плоской кривой Г уравнением у = у(р) (р б ~г1, гр)) в полярных координатах ее длина равна Гф 451 Вопросы и задачи 9.2. Вычислить длину дуги кривых, заданных уравнениями: а) у=~Йз, ю б [О, 4); б) у~=2р~, юб[0, Ь~; в) у=е*, ж б [О, Ь~; г) в =, уЕ[1, е) д) у = -1о(1 — — в), а Е [О, -]; е) у =,юЕ ~0,— ~; ж) я=а)п -+ 2а — м' ~'3~' у /вв О<Ь~уаа; в) у=1осова, во [0,-1; а) р=а(1+сову), ' 3>' (рЕ [О, 2л1; к) р=ав1п~ —, (рай [О, Зя~; л) р=ай —, (р~[0, 2~г~; 1 1 м) (р= — р+ —, рЕ[1, 3); н) (р=~/р, рб [О, 5~; о) р=1+сов~, 2 р — 4ЬЬ р Е [О, д(г]. ваап 9.3.
Найти площади плоских фигур, ограниченных графиками следующих функций: а) у=2з — ж~, у=-ж; б) ау=я~, аж=у~; в) у=я~, у=2 — ю; Ж2 г) у= Ь(1 — — 1, у=О; д) ус =а (а — ав); в) р=а(1+сову); Ьз/ ж) р =1 — (р; з) (р=р — вЬпр, (р=л", и) (р=в1птр, рб [О, Ц.
9.4. Пусть для кубируемого тела площадь сечения, нормального оси Ох, изменяется по закону 8(ю) = Ажз+ Вхз+ См+.О, ж б [а, Ь1, Доказать, что для вычисления объема этого тела применима формула Сампсоне — 5(а) +43 — + Я(Ь) (Т. Симпсон (1710-1761) — английский математик). 452 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 9.Б. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, заданными следующими уравнениями: уг г а) + — — 1, я=3=с; б) хг+хг=аг уг+хг=аг аг 6г сг в) я~=0(а-х), хг+у =ах; г) х~+у~+х~+ху+ул+хх=а~; хг уг сх д) — + — =1,я= †,я=0; е)х+у+хг=1,х=О,у=О,я=0; аг Р а ж) х + у + х~ = а~, хг + уг = ах. 9.6. Доказать справедливость формулы (9.36).
9.7. Найти объемы выпуклой и выпукло-вогнутой линз, ограниченных двумя соосными параболоидами вращения и имеющих размеры, указанные на рис. 9.43. 9.8. Найти объем плоско-вогнутой линзы, ограниченной плоскостью и соосными цилиндром диаметром Ы н параболоидом вращения. Линза имеет толщину Ь по оси и Н по краю (рис. 9.44). Рис.
9.44 Рис. В.43 9.9. Каково отношение объемов частей прямого кругового конуса высотой В, рассеченного плоскостью, параллельной образующей конуса и проходящей через центр основания диаметром .О? 9.10. Вычислить площадь поверхности вогнутого зеркала, являющейся сегментом параболоида вращения высотой Ь (радиус основания сегмента В). 454 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА лучами ~р=а и ~р=ф, равен р (у) в)пуч6р. 9.17.
Найти геометрические моменты инерции: а) площади треугольника относительно его основания; б) площади квадрата относительно его диагонали; в) площади, ограниченной эллипсом, относительно его осей; г) сферы и шара относительно их диаметра; д) полусферы и полушара относительно их основания. 9.18. Найти центры масс полусферы и полушара. 9.19. Проанализировать остойчивость (см. пример 9.6) за полненного нефтью достаточно длинного танкера, считая (для упрощения) его поперечное сечение равносторонним треугольником с равномерным распределением массы по длине сторон. 9.20.
Найти число оборотов до полной остановки однородного прямого кругового цилиндра с массой т, высотой Н и основаниями, имеющими радиус В, после начала торможения ' приложенным к оси цилиндра моментом М(ы) = Мо(1+о/ыо), если до начала торможения цилиндр вращался относительно этой оси с угловой скоростью ыв. 9.21. Вычислить работу, совершаемую при откачке воды через верхнее отверстие наполовину заполненной горизонтальной цилиндрической цистерны диаметром В и длиной Ь. 9.22. Найти силу давления на вертикальную плотину в форме трапеции с верхним а и нижним 6 основаниями и высотой Н при перепаде ЬН уровней воды между верхним и нижним бьефами и возвышением Ь верхней кромки плотины над уровнем воды в верхнем бьефе (Ь+ ЬН ( Н), 10.
'ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Нахождение числового значения интеграла является одной из наиболее распространенных вычислительных процедур при проведении научных исследований и инженерных расчетов. Если заданная подынтегральная фунниия имеет переообразкую в виде сравнительно простого аналитического выражения, то эта процедура не вызывает осложнений и состоит в проведении вычислений, связанных с подстановкой числовых значений пределов интегрирования в формулу Ньютона — Лейбница.
Однако в случае сложной первообразной ее использование для вычисления может быть не всегда рационально. Если же интеграл неберущийся или подынтегральная функция задана табличным способом (например, в виде результатов экспериментальных измерений), то аналитическое выражение интеграла вообще отсутствует. В таких случаях приходится проводить численное имтпеарирование, под которым понимают процедуру нахождения приближенного значения интеграла методами вычислительной математики. 10.1. Существо подхода к численному интегрированию Пусть необходимо найти числовое значение 1 определенного интеграла ь Дх) сЬ а от подынтегральноВ функиии Дх) на отрезке [а, Ц. Большинство распространенных способов числекного интегрирования объединены достаточно простой общей идеей: функцию ~(х) 456 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ на отрезке 1а, 01 приближенно заменяют элементарно интегрируемым интерполяционным мкогочленом, вычисляют при помощи формулы Ньютона — Лейбница значение,7 интеграла от этого многочлена и полагают, что 1 т,У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
