VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 43
Текст из файла (страница 43)
объем тела, целиком включенного в другое тело, не больше объема 401 9А. Объек тела этого включающего тела и объем тела равен сумме объемов составляющих его частей. Пусть множество А состоит из многогранников, целиком включающих в себя некоторое тело, а множество  — из многогранников, целиком содержащихся в этом теле. Ясно, что любой многогранник из А целиком включает в себя любой многогранник из В.
Поэтому множество Ув объемов всех многогранников из В ограничено сверху объемом любого многогранника из А (всоответствии со свойством монотонности объема) и, следовательно, имеет единственную точную верхнюю грань У'. Множество У~ объемов всех многогранников из А ограничено снизу (например, нулем) и имеет единственную точную нижнюю грань У,.
Определение 9.2. Те,ло называют яу6ируемым (т.е. имеющим объем), если точная верхняя грань У' множества объемов всех включенных в это тело многогранников равна точной нижней грани У, множества объемов всех многогранников, включающих в себя это тело, причем число У = У' = У, называют объемом данного тверда. 1ппУ = 1ппУ =У в-+оо и-+оо При этом общий предел У и будет объемом тела Р; Для объемов, так же как и для площадей, справедливы следующие утверждения: 1) для кубируемости тела Р (существования его объема) необходимо и достаточно, чтобы для любого е ) 0 нашлись такие многогранники Р1 и Рр с объемами У1 и Уз, что Р1 с РСР~ и У2 — У1 (е; 2) для кубируемости тела Р необходимо и достаточно, чтобы существовали такие последовательности многогранников (А„) и (В„~, содержащихся в Р и содержащих Р, объемы которых У„'4 и У~ удовлетворяют соотношению 402 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 3) если для тела Р существуют последовательности кубируемых тел Я„) и (В„), содержащихся в Р и содержащих Р, имеющих объемы У„и У„, для которых 1ип $'~ = 1ип У~ = К Е-+ОО И-+0О ми, перпендикулярными координатной оси Ох, квадрируемы, причем зависимость Я(х) площади сечения от абсциссы х б [а, 6] является заданной функцией, непрерывной на отрезке [а, Ь3. Рис. 9.22 то тело Р кубируемо, а его объем равен У. Последнее утверждение дает удобное достаточное условие кубируемости тела, позволяя испольэовать для проверки не только многогранники, но и другие тела, кубируемость которых уже установлена. Тело в виде прямого цилиндра высотой Н, основанием которого является квадрируемая плоская фигура с площадью Я, имеет объем У = БН.
В самом деле, на всевозможных многоугольниках, включающих и включенных в эту плоскую фигуру, построим прямые призмы высотой Н. Эти призмы кубируемы, причем либо включают в себя цилиндр целиком, либо целиком включены в него. Точная нижняя грань Я,Н множества объемов призм, включающих цилиндр, и точная верхняя грань Я'Н множества объемов призм, включенных в него, совпадают и равны ЯН.
Следовательно, в силу определения 9.2 рассматриваемый прямой цилиндр кубируем и его объем У =ЯН. Введем прямоугольную систиему координатп Охи и рассмотрим некоторое тело, заключенное между плоскостями х = а и х=о (рис. 9.22). Пусть все сечения этого тела плоскостя- 404 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА (9.34) (9.35) нижней суммы совпадают и равны Ь Я(х) ~Ь. (9.33) а Согласно сформулированному выше критерию кубируемости, зто означает, что при сделанном предположении рассматриваемое тело кубируемо, а его объем Ъ' равен интегралу в (9.33). Принятое предположение о форме тела выполнено, в частности, для тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной тпрапеции, имеющей основанием отрезок [а, Ц и ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на [а, 6) функции ~(х) (рис.
9.24). В этом случае Я(х) = ~г ~~(х), так что Ь У, = ~г ~~(х) Ых. Аналогично объем тела, образованного вращением вокруг координатной оси Оу криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [с, с~ и ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на [с, И~ функции х = у(у) (рис. 9.25), равен Ы 405 9А. Обьек теде хДх) Йв.
(9.36) Объемы тел, образованных вращением плоской фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций ~1(х), ~р(х) и прямыми х=а, х=Ь, где 0<а<Ь и 0< ~1(х) < Ях) при х Е [а,Ь|, вокруг координатныхосей Ох и Оу, соответственно равны У, = ~г ~(~~~(х) — Д(х)) их, Уц — — 2т / х ) Ях) — ~1 (х) ! Их. В общем случае взаимного расположения сечений можно утверждать лишь следующее: если тело кубируемо, то его объем выражается формулой (9.33).
Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениям х = х($), у = у(1), ~ Е б [а, Я, то для вычисления объема тела, образованного вращением такой криволинейной трапеции вокруг оси Ох, нужно Пусть тело образовано враще- У нием вокруг оси Оу криволиней- У(х) ной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, Ь] (а>0) оси Ох и ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на [а,Ь~ функции Дх) (рис.
9.26). Примем за элемент объема такого тела объем его части, образованной вращением вокругоси Оу прямоугольникасоснованием Ых и высотой ~(х), отстоящего от оси Оу на расстоянии х (иными словами, эта часть тела представляет собой цилиндрическую оболочку радиуса х, толщиной Их и высотой ~(х)). Тогда получим дифференциал объема тела ЫК = 2кх~(х) Их и объем тела 406 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА выполнить в (9.34) замену переменного. Предполагая, что при х=а 1=а и при х=Ь 8=)о, получаем $~ = ~г у~(8)х'(Ф) й.
а (9.37) Читатель может установить самостоятельно, что объем тела, полученного вращением сектора, образованного дугой кривой р = р~~р) и двумя полярными радиусами ~р = а, ~р =,6, вокруг полярноб оси, равен Р— — р (д) в~пуфр. 2~г з 3 а (9.38) Пример 9.12. Вычислим объем тела, ограниченного трехосным эллипсоидом, заданным ханоническим уравнением г „г 2 — + — + — =1 аз у с~ Я(х) = ~гЬ(х) с(х) = — (а — х ). а~ Тогда, используя (9.33), получаем яу ~гЬс з з ~гЬсГ з 1 з1 4 — (а — х )ах= — ~а х — -х ~ =-хаЬс.
(9.39) аз аз ~ 3 1-а 3 где а, Ь и с — полуоси эллипсоида. Ясно, что при любом разбиении отрезка 1-а, а] принятое при получении (9.33) предположение будет выполнено. Плоская фигура в перпендикулярном оси Ох сечении эллипсоида, имеющем абсциссу х б [ — а, а|, ограничена эллипсом с полуосями 6(х) = Ь|/~ — хя/оя н с)х) = = с~/~ — э~~а~, т.е. площадь такого сеченнх (см. пример 9.5) 407 9А. Объем тела Отсюда без интегрирования можно получить объем элдипсоида вращения, ограниченного поверхностпью вращекия, которая образована вращением эллипса вокруг оси Ох (а ф-6= с), Оу (Ьф.а=с) или Ох (сф.а=6).
В частном случае а=6= =с=В получаем объем (4/3)~гВз шара радиуса В. Пример 9.13. Шаровой сектор можно рассматривать как тело, полученное вращением вокруг его оси Ох криволинейной трапеции в виде кругового сектора ОАВ (рис. 9.27). Объем У шарового сектора удобнее представить, используя свойство аддитивности объема, суммой объемов К, и К„ где К, — объем конуса с вершиной в центре О ша- к ра, К вЂ” объем шарового сегмента высотой Ь, имеющего с конусом общее основание — круг радиуса = г/Ь(9Л вЂ” Ь) (Л— Рис. 9.27 радиус шара). Конус образован вращением треугольника ОВВ вокруг оси Ох, ограниченного на отрезке [О,  — Ь~ прямой ОВ, имеющей уравнение у = гх/( — Ь). Принимая в данном случае в (9.34) Дх) = гх(( — Ь), находим В-Ь гх ,В-Ь 9е = х ( — ) Их = х~[ =хе~ —, (9.40)  — Ь 3(В- Ь)~ о 3 о что соответствует известной из элементарной геометрии формуле для объема конуса, равного произведению площади основания и трети высоты.
Шаровой сегмент образован вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции 0АВ, ограниченной графиком функции У(х) = о'Лз — ххз зна отрезке [Л- Ь, Л[. Используя снова (9.34), вычисляем 1г,=гг (Лз — х )4х=х[Л~х — -х~] =хЬ~(Л вЂ” -). (941) 3 лл 3 408 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Объединяя (9.40) и (9.41), в итоге для шарового сектора получаем ~ = Ук+ К~ = (2/3) ~г Въ~. Пример 9.14.
Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды (рис. 9.28), заданной параметрическими уравнениями ю($) = а(~ — з1п $), у($) = а(1 — сов|), 1 Е [О, 2~г], (9.42) используем (9.37): ~ =~г у (1)ж'($)й=~г а (1 — сов$) а(1 — сов$)~Й= а о 2~г = лаз (1-Зсоз8+Зсов28-созз1)~й= з 1+ соз21 = л'а ~1 — 3соз$+ 3 2 — (1-в!и 1) сое3) й = 2я' = 5у2аЗ о = ~га ~-$ — 4з1п$+ — и1п2$+ — з1п 1~ зг5 . 3. 1 ° з~ ~2 4 3 Пример 9.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
