VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 41
Текст из файла (страница 41)
х(Ф) = а(совй+йв1пй), у(й) = а(яппи-Юсова), Ф б ~0, я], (9.13) где а — радиус окружности, а параметр $ соответствует центральному углу точки ка сания касатиельной при движении этой точки по окружности (рис. 9.5). Для нахождения длины дуги эвольвенты, учитывая (9.7) и (9.8), последовательно Рис. В.Б Пример 9.1.
Дугу звольвеиты окружности зададим урав- нениями 382 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА б. Используя (9.12) и прием, примененный при вычислении интеграла в предыдущем примере, получаем о 6 1 ~Ь = — 1+ (2ахЩ2ах) = 2а о = -~/1++(2аб)~+ — )и(2а6+ф+(2аб)~). ф Ь 1 Плоскал кривая Г может быть задана уравнением вида Й = = Й(в), где Й вЂ” кривизна плоской кривой, а в — переменная длина дуги этой кривой, отсчитываемая от ее некоторой точки Мо (в называют натуральным параметром кривой). Кривизна плоской кривой может быть вычислена по формуле [Щ Й(в) = —, (9.15) йю(в) ав где а(в) — угол между као сательной к кривой в точке М, соответствующей значению в, и осью Ох (рис.
9.6). Если задано уравнение Й = Й(в), называемое иногда натуральным уравнением кривой, то при помощи определенного интеграла с переменным пределом из (9.15) можно получить й~(в) = й(в) ~Ь и а(в) = во+ й(~) й, о (9.16) где ао — угол наклона касательной к кривой в точке, от которой отсчитывают натуральный параметр а Поскольку ~Ь =сова(в)~Ь и ф =в)па(в)~Ь (см. рис. 9.6), координаты текущей точки кривой можно найти также при 383 9.2. Диииа кривой помощи интегрирования: х(з) = хо+ сов а(з) ейз, у(з) = уь+ в1п а(з) й~. (9.17) о о Здесь хо и уо — координаты точки отсчета параметра з. Таким образом, путем интегрирования по заданному натуральному уравнению кривой можно восстановить ее координатное представление. Пример 9.3.
Пусть задано соотношение Я2(з) =2аз для радиуса Щз) кривизны тиоской кривой. Согласно определению кривизны ~Щ, Й(з) =1/В(з)=1/42аа, и в силу (916) ~Ц~ 2 а 2 ~(з) = ао+ — = ао+ — ~Л = оо+ —. (9.18) сЛа$ а р а о х(о) = хо+ а ~сов~Щ = хо+ а ~Ы(в1п4) = о о = хо+ а~в1п~ — а в1п~д~ = хо+ а(ав1па+ сова — 1), о о О а у(а) = уо+ а (яп(И~ = уо+ а ('Ы( — соз() = о о =уо-а('сов~ +а о сов(~Щ = уо+ 6(в1пΠ— ОСОВО).
Выберем ао = О, т.е. примем, что в точке отсчета параметра з касательная к кривой параллельна оси Ох, и из (9.18) найдем з = аа2/2 и Ыз = аайю. Используя эти равенства при замене переменного интегрирования в (9.17), для координат текущей точки кривой получаем 384 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА~ Если отсчитывать параметр в от точки Мо кривой с координатами хо = а и р> = О, то придем к координатному представлению эвольвенты окружности в виде (9.13), причем в этом случае а=1 (см. рис. 9.5), азначение а соответствует радиусу окружности.
9.3. Площадь плоской фигуры Возможность применения определенного интпеграаа к вычислению площади п.фоской фигуры непосредственно следует из его геометрического смысла. Строгое обоснование этой возможности опирается на понятие площади многоугольника, т.е. плоской фигуры, составленной из конечного числа треугольников и (или) прямоугольников, а способы вычисления площади треугольника и прямоугольника предполагаем известными. Дадим определение площади плоской фигуры, отличное от приведенного в Д.1.1, но не противоречащее ему.
Пусть множество А состоит из многоугольников, целиком включающих в себя некоторую плоскую фигуру Р, а множество  — из многоугольников, целиком содержащихся в этой фигуре. Ясно, что любой многоугольник из А целиком включает в себя любой многоугольник из В. Поэтому множестпво Б~ площадей всехмногоугольниковиз В ограничено сверхуплощадьюлюбогомногоугольникаиз А и, следовательно,имеетединственную тпочную верхнюю грань Я'. Множество ЯА площадей всех многоугольников из А ограничено снизу (например, нулем) и имеет единственную тпочную нижнюю грань Я,. Определение 9.1.
Пяосяую фигуру Р называют квадрируемой (т.е. имеющей площадь), если точная верхняя грань 8 множества площадей всех включенных в эту фигуру многоугольников равна точной нижней грани Я, множества площадей всех многоугольников, включающих в себя зту фигуру, причем число Я=Я =8, называют тмощадьюданной амоской фигуры. 9.3. Пкнцадь длоской фигуры 385 Легко видеть, что для существования площади плоской фигуры Р (квадрируемости фигуры Р) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашлись такие два многоугольника Р1 и Ра с площадями 81 и Яр соответственно, что Р1 С РС Рр и Яр — 51 <е.
Действительно, необходимость этого условия вытекает из основных свойств точных граней [1-2.7~, а именно: для выбранного е> О найдутся такие многоугольники Р1 С Р и Р~ ) Р с площадями 81 и Яр соответственно, что 51 > Я вЂ” е/2 и Яэ < 5+ е/2, где 8 — площадь фигуры Р. Из указанных двух неравенств вытекает неравенство Яр — 51 < е.
Чтобы доказать достаточность сформулированного условия, запишем неравенство Я <Я <Я'<Зэ, которое выполняется по определению значений Я, и Я', вычисленных для фигуры Р, для любых многоугольников с площадями 51 и 5~. Еслн для пронэвольно заданного е > О выполняется неравенство Яр — 51 < е, то также верно и неравенство Я' — 8, < Яэ — 81 < е. Но это возможно только при 8, = 5', что равносильно квадрируемости фигуры Р. Доказанный критерий квадрируемости можно перефразировать следующим образом. Для того чтобы фигура Р была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы существовали последовательности многоугольников (А„~ и (В„), содержащихся в Р и содержащих Р соответственно, площади которых имеют общий предел: ц <~А ц ~В и-+со и-+со Этот предел, очевидно, и будет площадью фигуры Р.
Доказанный критерий в той или иной формулировке оста нется верным, если в нем вместо многоугольников рассмотреть пРоизвольные фигуры, квадрируемость которых уже уста новлена. В частности, если для данной фигуры Р построены две последовательности прямоугольников (Р„~ и Я„~, 386 Я. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА для которых Р„С Р С Я„, и= 1,2, ..., и площади которых стремятся к общему значению 8, то фигура Р квадрируема, а ее площадь равна 5.
Отметим без доказательства, что если граница плоской фигуры состоит из одной или нескольких гладких (кусочно гладких) кривых, то эта фигура квадрируема. Пусть плоская фигура в виде криволинейной трапеции имеет основанием отрезок ~а, Ц и ограничена графиком неотрицательной интегрируемой на ~а, Ц функции Дж). Верхнюю У и нижнюю К суммы Дарбу Я(Т) = ~~ М;Ьз; и Я(Т) = ~~ т;Ьх;, Ьх< — — х< — х; 1, функции ~(ж), имеющей точные верхнюю и нижнюю грани М; = впр ~(ж) и т; = Ы Дх) хб~х»», х;] хЕ(х»-1~ х»] на каждом »астичном отрезке ]ж; 1,ж;~ некоторого разбиения отрезка ~а, Ц, можно рассматривать как элементы множеств ЯА и Яв площадей многоугольников, целиком включа ющих эту фигуру и целиком содержащихся в ней соответственно (на рис.
9.7 заштрихована площадь из множества $в). В силу критерия Дарбу для интегрируемой на отрезке ~а, Ц функции Дж) нижняя и верхняя точные грани, достигаемые на всевозмож- У У(ж) ных разбиениях этого отрез- Ж»----------- ка верхней и нижней сумма ми Дарбу соответственно, совпадают и равны определенному интегралу.
Поэтому, 7 В ~ согласно доказанному крите- рию квадрируемости, криво- О ж()=а ж1 ж»» ж» ж„1 ж,рЬ х линейная трапеция, ограни- Рмс. 9.7 ченная интегрируемой на от- 387 9.3. площадь плоской фигуры резке ~а, Ц неотрицательной функцией Дж), квадрируема, и площадь этой трапеции равна (9.19) Дж) сЬ. вид, р раф ку фу кции д(ю) относительно оси Ох (рис. 9.8). Поэтому площади У и 8 фигур аоВ А' и аоВА со- ответственно равны между собой. Используя (9.19), имеем а О А' Рис.
9.8 В силу линейности определенного итпеграла получаем д(а)~ь= -Я= — Я', а т.е. определенный интеграл на отрезке ~а, 6) от неположительной на нем функции д(а) равен взятой с обратным знаком площади криволинейной трапеции, имеющей основанием данный отрезок и ограниченной графиком этой функции. Если функция ~(~) наотреэке ~а,б~ конечное число п раз меняет знак (рис. 9.9), то интеграл по этому отрезку, используя аддитивность определенного интпеграла, можно разбить на Прежде чем перейти к вычислению площадей более сложных фигур, выясним геометрический смысл определенного интеграла от функции д(х), интегрируемой на отрезке ~а, 6) и неположительной на нем: д(а) < О ~Ь Е [а,61. Рассмотрим функцию Дю) = -д(ж) > О ~Ь Е ~а, Ц, график которой, очено симмет ичен г и н- 388 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА сумму интегралов по таким отрезкам, на которых данная функция знакопостоянна: ь Х1 ю ь | Ях)йх= ~(х)ох+ ~(х)Йх+...+ ~(х)Йх. Тогда получим, что интеграл на отрезке ~а, 6) будет равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, имеющих основаниями отрезки знакопостоянства рассматриваемой функции: Рис. 9.9 Ях)йх = Я1 — Яг+...+Я„+1. ° ° ° ° й Пример 9.4. Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислим интегралы а) в1п х ~Ь; б) сов~ х дх.
а. В силу аддитивности определенного интеграла зт/г в1п хЫх = в1п хИх+ в1п хсзр+ в1п х~Ь. о ~г !г График функции в1пгх на отрезке ~я /2, З~г/2~ симметричен относительно точки оси Ох с абсциссой х = ~г (рис. 9.10). поэтому площа ди Яг и Яз равны между Рис. 9.10 389 9.3. Пющвдь аюском фитуры собой, т.е. З /2 1г/2 ~г Тогда, используя результаты примера 6.15, получаем З~г/2 ~г/2 ° ° ° 2 ° 46 16 в1п хИх= в~п хЫх= 1357 35 б. График функции сов4х на отрезке ~О,~г] симметричен относительно прямой х = я'/2 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
