VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 37
Текст из файла (страница 37)
~ Пример 8.3. Докажем, что если функция Дх) непрерывна на числовой прямой й, то функция О 1(р) = 1(х+ р) ах при а > О имеет на Е непрерывную производную, и найдем выражение для 1'(у). Использовать (8.5) в данном случае неправомерно, поскольку функция 1(х) по условию лишь непрерывна, но не дифференцируема на Й. Сделаем замену переменного х+ р = х (~Ь = ~Ь) и, согласно теореме 6.17, за. пишем у+а 1(у)= У( М.
345 8.3. Имтегрираванке ао иаракетру Таким образом, производная 1'(у) непрерывна на й в силу непрерывности на Е функции Дх). 8.3. Интегрирование по параметру Если функция Дх, у) непрерывна в прямоугольнике (8.3) Р = ((х; у): х б ~а, 6], у Е ~с, Щ, то в силу теорем 6.7 и 8.1 функция 1(у) (8.1) интпегрируема на отрезке 1с, И~ как непрерывная на этом отрезке. Таким образом, существует определенный интпеграл ь 1(х, у) ах ау и можно говорить об интпегрироеании тьо тьараметиру определенного интпеграла (8.1), эависящего отп этого параметпра. При указанных условиях существует и определенный инте- грал ь 1(х, у) ау ах. в с Такие интпегр~мы называют поетпорными.
скобки в них обычно опускают и пишут ы ь ь г Внутренние Ях, у)~Ь, ~Ь Дх, у)Ыу. Теперьот параметра у зависятлишь пределы интегрирования, причем функции у+а и у — а дифференцируемы на Е. Производная ©г) = О Чг Е Й, поэтому не только 1(г), но и ~„'(г) непрерывны на всей числовой оси, т.е. выполнены все условия теоремы 8.2. Следовательно, функция 1(у) дифференцируема на В. Используя (8.6), получаем 1~(у) = Ду+ а) — 1(у- а).
346 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Теорема 8.3. Если функция Дх, у) непрерывна в прямоугольнике Р = ((х; р): х б [а, Ь~, у Е [с, Щ, то с! Ь Ь И Ыу Дх, р)йв= Их (8.7) 4 Рассмотрим при $ Е [с, д~ функции с Ь Р(1) = ф Дх, и) Ых и О(1) = ~Ь 1(Ю) = Л ЮМх й а функция О($) дифференцируема, согласно утверждению 8.1, как зависящий от параметра $ интеграл от функции У( ю)Ф непрерывной в прямоугольнике Р и имеющей на нем непрерывную частную производную по 8, равную Дх, $). После дифференцирования в соответствии с (6.48) и (8.5) получим т.е. Р(1) = С'($) и, следовательно, Р($) — С(1) = С = сопв1 ~й б [с, ф Так как при 1=с Р(с) =С(с) =О, то и С=О, т.е.
Функция Р(1) дифференцируема на отроке [с, д) в силу те- оремы 6.16 как определенныб интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции 8А. Разнокернаа сходнкость несобсчзенных нытетраюв 347 Р($) =С($) ФЕ ~с, а1, в частности Р(И) =С(И) при $=Ы, что доказывает справедливость (8.7). Ь Пример 8.4. Вычислим интеграл от функции (хЬ - хе)/1пх, 0< а < 6, на отрезке [О, Ц.
Нетрудно заметить, что Функция 1(х, у) = х~ непрерывна в прямоугольнике ((х; у): х Е 10, Ц, у Е 1а, Щ, если при х=О и х =1 ее доопределить значениями О и 1 соответственно. Поэтому, согласно (8.7), получаем 1 Ь Ь 1 1= ™ ~Ь= 4х хну= ф хЯх= е О ау Ь а+1 — = 1п(у+ 1) = 1п —. у+1 е а+1 8.4. Равномернаи сходимость несобственных интегралов и при каждом значении у б У существует несобственный интеграл 1(у) = Дх, у)Ых, е (8.9) При распространении теории интпеграаов, зависящих отп параметпра, на случай несобстпвенных интпегралов особую роль играет понятие равномерной сходимостпи интпеграаов.
Пусть функция Дх, у) определена на множестве Р, = ((х; у): х ) а, у ~ У С й) (8.8) 348 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Ь 1ип Р(Ь, у) = Ипв Цх, у) Йх, Ь-++оо Ь-++оо а то несоБственный интеарал (8.9) называют сходхщимсл на множестве У. Определение 8.1. Если для любого е > 0 найдется такое не зависящее от у число Ьо>а, что при Ь>Ьо неравенство Дх, у) Их — Дх, у) Ых ~(х, у) ах < е (8.10) будет выполнено одновременно для всех значений у Е У, то несоБственный интеарал (8.9), эависхщий от параметра у, называют равномерно сходящимся на множестве У (иногда его называют равномерно сходящимся по параметру у Е У, относительно параметра уЕ У или при уб У). Пример В.б. Исследуем на сходимость интеграл от функции Дх,у) =уе *~, убй, попромежутку ~0, +со).
Длязтого вычислим при Ь>0 Г(у) = Дх, у) ах = уе ах = +00 =-е '" = — 1пп е "+е Ь ~-++оо Если у отрицательно, то е ~ -+ +со при х -+ +оо, т.е. при у < 0 несобственный интеграл от функции Дх, у) расходится. который называют несоБственным интеерамом по бесконечному промежутку, эависащим от параметра у б У.
Если при каждом фиксированном значении у Е У несобственный интеграл (8.9) сходится, т.е. существует конечный предел 8.4. Рааномерная сходимость несоостиенных интегралов 349 сй — Е!пе т.е., согласно определению 8.1, несобственный интеграл Р(у) сходится равномерно налюбом промежутке 1с,+ос), с>0. Итак, исследуемый интеграл расходится при у < 0 и сходится при у > О, причем равномерно на любом промежутке [с, +оо); с>0. Пусть функция 1(х, у) определена на множестве Р = Цх; у): х Е ~а, 6), у Е У С В), не ограничена при х -+ 6 — 0 (6 > в) и при каждом фиксиро- ванном у Е У существует несобственный интеграл 1(у) = 1(х, у) ах, а (8.11) который называют несобстивенным интеар<мом от неогра- ниченной функции, эависли4им от еарамешра уЕУ.
Если у=О, то У(х,у) =О,азначит, и Р(у)~ =О, т.е. вэтом случае интеграл сходится. Если же у > О, то Г(у) = е ~~', и при фиксированном значении у имеем е ~х -+ 0 при 6-++оо. Следовательно, для любого е Е (0,1) неравенство Р(у) = е ~ < е будет выполнено для всех положительных значений 6, удовлетворяющих неравенству 6 > Ь(е, у) = — 1пе/у. Но сколь большим ни взять Ь(е,у), функция е ~~-+1 при у-+О, так что для достаточно малых значений у значение функции г(у) будет больше любого выбранного числа е < 1. Таким образом, при у > 0 рассматриваемый интеграл сходится, но неравномерно. Если же у > с > О, то найдется не зависящее от у такое число Ь, что при 6 > Ь.
неравенство (8.10) будет выполнено сразу для всех значений у. При е б (О, 1) достаточно в качестве Ь принять Ь(е,с) =-1пе/с>0. Тогдапри 6>Ь получим ЗИ 8.$. Признаки равномерной сходимости интегралов где у Е ~0,3). Для каждого значения у Е ~0,3) этот интеграл существует как определенный. Однако для указанного проме- жутка у сходимость интеграла не будет равномерной из-за его поведения в точке х = О.
Действительно, неравенство уЫх тт = агс®- < е х~+ у~ у в случае 0 < е < тт/2 не может быть верным одновременно для всех значений у > О, потому что, сколь малым ни взять функция агсФфц/у) -+ тт/2 при у-++О, так что для достаточно малых значений у > 0 левая часть этого неравенства будет больше, чем любое выбранное число е Е (О, л/2). 8.6. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов Как было показано (см. замечание 7.4), заменой переменного интегрирования несобственный интеграл от неограниченной функции можно привести к несобственному интегралу с бесконечным пределом.
Поэтому далее ограничимся изучением свойств равномерно сходящихся несобстпвенных интпеарааое вида (8.9) по бесконечному промежутпку. Теорема 8.4. Для равномерной сходимости интеграла (8.9) иа множестве У С Й необходимо и достаточно, чтобы при произвольном е > 0 нашлось такое Ь(е) > а, что для любых В', 6н > Ь(е) и любого у Е У будет выполнено неравенство ь" ~(х, у)пх <е, М Необходимость. Если интеграл (8.9) равномерно сходится на множестве У, то, согласно определению 8.1, для произвольного е > 0 найдется такое Ь = Ь(е) > а, что для любого 352 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА у Е У и любых Ь!, Ьи>Ь(е) будут выполнены неравенства ~(х, у)йх 8 2 е (— 2 ~(х, у) Их Тогда, учитывая аддитпиеностпь определенного иитпеграма и неравенство треугольника, получаем Ьи =! Дх, у)пх ~(х, у)пх— + У(х, у)Их ('-+-'= .
2 2 Дх, у)йх Ь" 1+ (х — у)2 = агсСд(х — у) = ахсФфЬ" — у) — агсйд(Ь' — у). Ь' ЬУ Ь" Достаточность. Если (8.13) выполнено для любого у Е У и любых Ь', Р> Ь(е), то в силу критперия Коши сходимостпи несобстпвенного интпеграаа (см. теорему 7.6) интеграл (8.9) сходится при всех у Е У, причем для произвольного е > О найдется такое Ь(е) > О, что (8.10) будет выполнено для любых у Е У и любого Ь > Ь(е), а это соответствует определению 8.1 равномерной сходимости зависящего от параметра несобственного интеграла (8.9) на множестве У. Ф Утверждение этой теоремы называют яриттьерием Коеии равтьомериой саодимосттш месобстпвемноао аютьевра.еа, зависящего от параметра.
Пример 8.7. Исследуем на сходимость интеграл +00 а(У) = 1+(. у)2 (8.14) о при значениях параметра у Е [О, +оо), Вычислим Ь" 353 8.$. Признаки равноиермой сходнмостм иытетралов агс®(Ь" — у) — агсф~(Ь'- р) < е (8.15) для любых Ь', Ь" > Ь(е, р), где Ь(е, у) = р+ ®(л'/2-е). Однако сколь бы велико ни было значение Ь(е) > О, всегда при некоторых Ь', Ь" > Ь(е) можно найти такое значение р б [О, +со), что неравенство (8.15) будет нарушено. Это противоречит критерию Коши равномерной сходимости (см. теорему 8.4), так что интеграл (8.14) сходится при р б [О, +со), но неравномерно. ф В некоторых случаях равномерную сходимость несобственного интеграла удается установить при помощи следующего достаточного признака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
