VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 39
Текст из файла (страница 39)
теорему 8.4). Итак, в (8.22), согласно замечанию 8.2, допустим переход к пределу при ф-+0+0 под знаком интеграла: а . /вй ах в1п ах Ит а>с>д — = Иш ~ е >>' ~Ы= — ~Ь=0(»). )3-+0+0 ф ~9-+0+0 х х о о Значение предела в левой части этого выражения зависит от знака а: ~г/2 при а>0 и -л/2 при а<0.
В итогеполучаем лг/2, а>0; О, а=О; -зг/2, а < О. 46 в1пах ~г О(а) = — пх = — вава = х 2 Этот интеграл при фиксированном а равномерно сходится в промежутке [О, +оо) по параметру ф. В самом деле, согласно теореме 6.24, для любого ~3 > О имеем е несобственных иитегралов ио параметру 361 8.7. В случае неограниченной функции можно докаэать утверждения, аналогичные теореме 8.6 и утверждению 8.3. Утверждение 8.4. Если функция ~(х, р) непрерывна на множестве ((х; у): х (= (а, 6], у Е У С Й) (8.23) Утверждение 8.б. Если функция Дх, у) и ее частная производнаа фх, у) непрерывны на множестве (8.23) и интеграл .7(р) в (8.18) сходится, а интеграл сходится равномерно на множестве У, то функция,7(у) не- прерывно дифференцируема на этом множестве, причем З.Т.
Интегрирование несобственных интегралов по параметру Теорема 8.7. Если функция ~(х, у) непрерывна на множа. стае ((х; у): х > а, р Е 1с, Щ и несобственный интеграл (8.9) и при фиксированном у б У не ограничена при х -+ а+О, но интеграл в (8.18) сходится равномерно на множестве У, то функция 7(р) (8.18) непрерывна на этом множестве.
362 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА равномерно сходится на отрезке ~с, Ы], то е +со +оо Ы Йу ~(х, у)Йх = Й~ ~(х, у)ф. (8.24) ч1 Согласно теореме 8.3 при 6 > а, свойству 2' аддитивности сходящегося несобственного интеграла 1(у) (см. 7.2) и линей- ности опредааенкого интеграла, запишем ах ~(х, у) ау= ау Дх, у)ах= е с с е И +со +Ос ~(х, у)Их- ~(х, у)йю с е ь е +со 3 +се ~(х, у)ах— ~(х, у) сЬ.
(8.25) ~(х, у) ах е (— а-с Тогда с учетом свойства 10' определенного интеграла (см. 6.7) находим Му ф < — =е. а-с </ ~(х, у) ах с Ь с Ь Согласно определению 8.1 равномерной сходимости несобственного интеграла, для произвольного е > 0 найдется такое Ь(е) > а, что для любого уЕ ~с, И~ и любого 6> Ь(е) будет выполнено неравенство 8.7. Иитегрмррзаике нмрбсчпеиыых амтек~ ~ ~~Ф®~~~ 363 м Следовательно, рассматривал последнии интеграл в правой части (8.25) как функцию нижнего предела Ь, получаем И +оо 1пп ф Дх, у)«Ь=О. Ь-++оо с Ь (8.26) Переходя в (8.25) к пределу при Ь -ь+оо и учитывая (8.26), приходим к (8.24). 1ь Пример 8.10.
Найдем значение интеграла +оо «Ь, а,Ь>0, х О путем интегрирования под знаком интеграла. Согласно оризмаку Вейерштпрасса (см. теорему 8.5), интеграл +Оо 1 е " ««х=-, у>0, у Ь +оо +оо -фФ е ду е я Их= Их е " Иу= — — Их= х О а О е О +Оо Ф Ь Ых= — =1п-.
у Ф О в В итоге имеем +оо | е -еЬ Ь Ых = 1п-. х а О. П сть сходится равномерно на множестве 1уО, +оо), уО > . у уО < а и уО < Ь. Проинтегрируем полученное равенство по у от а до Ь, причем в силу теоремы 8.7 слева интегрирование можно провести под знаком интеграла. Тогда получим 364 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 8.8. Эйлеровы интегралы Интпегралы В(а, ф) = х «(1 — х)~ ~««х и Г(а) = х «е йх, «/з х (1-х)~ «Ь = х ~(1-х)8 ««х+ «/з Так как х «(1-х)~«« ° х ' при х-«О+О и х '(1 — х)в « ° (1 — х)в «при х -«1 — О, а несобственные интегралы « | (1 — х)~ Их, с с х ~ах и о согласно примеру 7.10, сходятся при а, ф б (О, 1), то в силу теоремы 7.4 сходятся оба несобственных интеграла в правой части последнего равенства.
Следовательно, интеграл В(а, ~3) сходится при а, ~3 Е (О, 1). Поскольку при а > ао > 0 и,3 > >Д»0 ~х~ (1 — х)~в ~ < х~~ (1 — х) с Ух Е (О, 1), а интеграл от мажорирутощеб функции сходится, то, согласно утверждению 8.2, интеграл В(а, ~3) сходится равномерно при Ф~>Ор>0 и ф~~фо>0.
зависящие отп параметпров а > 0 и ~3 > О, называют эйлеровыма интиеаралами первоао и втиороао родо соответственно. Первый из них при а > 1 и ф > 1 является определенным интпегралом от непрерывной функции, при а б (О, 1) или 13 Е (О, 1) — несобстпвенным интпегралом. Исследуем его на сходимость, записав в виде 8.8. Зйаероаы иитеграам Таким образом, интеграл В(а, ф) определяет функцию, непрерывную по параметру а и по параметру ~3 (в силу утверждения 8.4) при а > 0 и ~3 > О.
Эту функцию называют 6етва-фумка~ией. Интеграл Г(а) при а > 1 является несобственным интегралом от непрерывной функции по бесконечному промежутку. Поскольку функция е является бесконечно большой более высокого порядка, чем степенная с любым положительным показателем з, то, начиная с некоторого значения хо > О, а-1 -х < 1 х е < —. х~ х .'е Их = х 'е Ых+ х 'е хИх. (8.27) Первый интеграл в правой части (8.27) в силу утверждения 8.2 равномерно сходится при а > ао > О, поскольку х 1е < < ха~ 1 при х Е (О, Ц, а интеграл от мажорирующей функции х ~ 1, согласно примеру 7.10, сходится при .ао > О. Рассмотрим второй интеграл в правой части (8.27).
Поскольку при а > ао х + %х < 1 Ух Е [1, +оо) [1Ц, то справедливо неравенство ха е х< + Чхб[1,+оо), Так как интеграл от мажорирующей функции 1/х~ по промежутку [хо,+оо) сходится, то несобственный интеграл от функции х 'е по промежутку [хо, +оо) равномерно сходится на множестве а > 1. Следовательно, и интеграл Г, взятый по промежутку [О, +оо), сходится равномерно на множестве а >1. Рассмотрим поведение интеграла Г(а) при 0 < а < 1, представив его в виде 366 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА т.е. функция 1/х'+о" является для функции х 1е * мажорирующей при х Е [1, +оо]. Так как интеграл от функции 1/х '0+1 по бесконечному промежутку при ао > 0 сходится (см. пример 7.3), то второй интеграл в правой части (8.27), согласно признаку ВеВерштпрасса, сходится равномерно относительно параметра а при а) ао.
Следовательно, интеграл Г(а) определяет функцию пара метра а, непрерывную (в силу утверждения 8.4) при а > О. Эту функцию называют аамма-фунма~аей. Если принять а = 1+в, в > О, то иншегрированиеи по часаим получаем рекурренпьное соотноииние +00 х'е ~ах = -х'е ~ +в о х' 1е ~Ых=вГ(в). Г(в+1) = Таким образом, если в > и, и Е И, то Г(в) = (в-1)(з-2)...(в — и)Г(в- и). (8.28) При любом в>1 можно выбрать и таким, чтобы 0<в-и= = а < 1, и тогда Г(з) при помощи (8.28) можно выразить через значения Г(а) при аб(0, 1). Так как Г(1) = 1, то из (8.28) следует (с учетом того, что О! =1) Г(и) = (и — 1)!, и Е Я, (8.29) Г(з+ и) з(в+1)(в+2)...(в+и — 1)' (8.30) т.е.
гамма функция Г(з) является прододжением функции (з — 1)!, определенной лишь при в Е 1ч, на множество значений з >О. Более того, используя (8.28), можно продолжить гамма функ- цию и на множество значений з Е (-и, 1 — и), полагая 367 8.8. Эйюровм завтла;разы Итак, гамма функция определена на всей числовой прямой, эа исключением точек з = 1— -а, а б Я. График функции Г(з) представлен на рис. 8.2. Вазвращэлсь к бета функции В(а, ~8), выясним некоторые ее свойства. 1'.
Для любых а>0 и ~3> > 0 В(а, ф) = В(~3, а), что легко установить, если в интегра ле В(а,,д) выполнить подстановку 1-х=8. 2'. Длялюбых а>0, ~3>1 или а>1,,9>0 соответственно справедливы равенства В(а, ~3) = В(а, ~9-1), В(а, ~3) = В(а-1, ~3). 1 ,)а-~ ~ В(а,ф) = (1 — х)~ ~я — = + О Ф о х (1 — х)~ Их=в а -2 Ф х~ (1 — х)~ Ых— о 1 х (1 — х)~ 4х = — В(а, ~3- 1) — — В(а, ~3). Р-1 Ф-1 О О Отсюда следует первое соотношение, а в силу свойства 1' симметрии и второе соотношение свойства 2'. В самом деле, интегрированием по частям с учетом равенства х =х~ ' — х~ ~(1 — х) получаем 368 8.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 3'. Для любых а> О и и Е Х с учетом симметрии верно равенство В(а, ю) = В(к, а)— (и — 1)! а а+1 ...(а+к — 1 ' что нетрудно установить последовательным применением свойства 2', начиная со значения В(а, 1) = 1/а. В частности, при т, й Е Х имеем В(т, т~) =(т — 1)!(и — 1)!/(т+и — 1)!. Известная форцвулю Эйвера дав бетпа- а гамма-фунма~и4 устанавливает связь между этими функциями: В(а, 8) =, а> О, ~3> О.
(8.31) Г(а) Г(~9) Г(а+ ~3) ' Для ее доказательства в интеграле Г(а) положим х = (1+ $) у, й > 0 (Нх = (1+ й) йу) +00 +0О х~ 1е пх= ($+1) у 'е <'+')"Иу, азатем заменим а на а+~3: +оо Г(а+4 1 у +Р-1е-(1+~)э~у (1 ~ ~)а+У / о Умножим обе части этого равенства на 8~ 1 и проинтегрируем по 8 от 0 до ~>0: 4 Г(а+ ~3) (8.32) о о Функция ~(у, В) = $ ~у +~ 1е ~1+~)~ при а > 1 и ф > 1 непрерывна на множестве ((у;$): у > О, 8 > О), и интеграл У(у ~)Ф 8.8. Эйлеровы иитегралы согласно признаку Вейерштрасса, равномерно сходится относительно параметра 1 на любом отрезке 10, Ц, так как сходится интеграл от мажорирующей ее при 8 Е [О, 6] функции 6 1у +~ 1е ~.
Поэтому в правой части (8.32) в силу теоремы 8.7 можно поменять порядок интегрирования, одновременно сделав в левой части подстановку а = $/(1+$) (~Ь= й/(1+$)з, 8= я/(1 — х), ц=(/(1+~)): у~+'8 е Яу х (1-х)~ Их = Ф 1е еУЙ (8 33) Г(а+~3) Г(а+ 1) Гф+ 1) Г(а+ 13+ 2) Но отсюда снова следует (8.31), если к гамма-функции приме- нить (8.28), а для бета функции использовать свойство 2'. Пример 8.11. Найдем значение Г(1/2). Так как Г(1) = 1, из (8.31) заменой переменного х = впР8 (пх = 2в1п1совЩ При ('-++оо внутренний интеграл стремится к Г(а)/у, а интеграл в правой части (8.33), согласно признаку Вейерштрасса, равномерно сходится относительно параметра ~ на любом отрезке ~0, а), поскольку сходится интеграл от функции Г(а)у~ 1е ~, мажорирующей подынтегральную функцию при (' б ~0, а). Следовательно, выполнены условия теоремы 8.6 и в соответствии с замечанием 8.2 возможен переход в (8.33) к пределу при ~ -++оо под знаком внешнего интеграла, чему в левой части (8.33) отвечает переход к пределу при ю~ -+ 1.
В итоге интеграл в левой части (8.33) стремится к В(а, ~3), а в правой части — к Г(а)Г(ф), откуда следует (8.31). Напомним, что справедливость (8.31) установлена при а > 1 и ф > 1, это позволило изменить в (8.32) последовательность интегрирования. Если же а > 0 и ~8 > О, то вместо (8.31) справедливо лишь равенство 370 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 8=0 при х =0 и 8=~г/2 при х=1) получим Итак, Г(1/2) = ~/т. Используя зто значение гамма-функции, можно вычислить несобственный интеграл -з~ е ах, (8.34) 1 ' е й=-Г— -ю/з -ю 2 2 2 И 1 е ах=- 2 В силу четности функции е ~ получим +оо -х~ е ах = ~/т. играющий важную роль в теории вероятностей. Этот интеграл называют инчиеграяом Иуассонв по имени французского механика, физика и математика С.Д. Пуассона (1781-1840).
Иногда (8.34) называют также интиеграмом ЭФмера — Пуассона. Если в (8.34) провести замену хз=$ (2хдх=й), то можно записать 371 Воаросы и эедачи Для подынтегральной функции е™ заменой переменного х = Р~)' (йЬ = Ф)' 1 й/р) с учетом (8.30) получаем е ~'~Ь = — 8 ')" 'е 'й = -à — = Г 1+ — . 1 р р р р Вопросы и задачи 8.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
