VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 32
Текст из файла (страница 32)
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Соотношения (7.28)-(7.30) иногда называют обобщенными формулами Ньютона — Лейбница для несобственных интегра лов от неограниченной функции. Пример Т.9. Вычислим несобственные интегралы 2 1/2 Г Ых Й~ а); б) ,/4З. х1пх о о или установим их расходимость. а. Функция 1/~/4-х2 не ограничена при х-+2-0, но интегрируема на любом отрезке [О, ~] С 10, 2) и имеет первообразную Р(х) = агса1п(х/2), причем Г(2 — 0) = л/2 и Г(0) = О.
Следовательно, несобственный интеграл сходится. Поэтому, используя (7,28), получаем = Р(2 — 0) — Г(0) = —. о б. Функция 1/(х1пх) не ограничена при х-++О и интегрируема на любом отрезке ~(,1/2) С (0,1/2~. Поэтому в силу определения 7.4, используя (7.26), имеем 1/2 1/2 Ых . И(1п х) 1/2 — = 1ип = 1нп 1п~1пх~ х 1п х ~-++О 1п х 4-++О 4 о 4 =1п1п2 — 1ип 1в~1пф = -об. 4-4+О Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл рас- ходится.
Пример 7.10. Исследуем на сходимость несобственный интеграл ь Их (7.31) (х — а)' 301 7А. Интеграаы от неограниченных фуыга~ий в зависимости от показателя степени 8 б Е. Отметим, что при 8 < 0 подынтпегральная функция Дх) = 1/(х - а)' ограничена и непрерывна на всей числовой прямой И. и поэтому существует определенный интеграл от этой функции по любому отрезку ~а,Ь] б Ж.
В случае 8) О функция Дх) неограничена при х-+а+О и интегрируема налюбом отрезке [~,6)С (а,Ь~. Если 8=1, то, используя (7.26), получаем ах . ах — — Ит — = 1нп 1п~х — а~ х — а 1-ь а+о х — а (-+в+о =1п~Ь-а~ — 1ип 1п~(' — а~ =+оо. (-+в+о Ых (Ь-а)1 ' = Р(6) — Р(а+ 0) = (х — а)' 1 — 8 О При 8 > 1 этот интеграл расходится. В частном случае при а = 0 получаем, что несобственный интеграл (7.32) сходитсЯ при 0 < 8 < 1 и расходится при 8 )~ 1. Замечание Т.З.
Проведя исследование, аналогичное выполненному в примере 7.10, можно установить, что несобственный Следовательно, при 8=1 несобственный интеграл (7.31) расходится. Если 8 ф- 1, то одной из первообразных подынтегральной функции 1/(х — а)' будет функция Г(х) = -(х-а)1 '/(8 — 1), которая имеет при х -+ а+0 конечный предел Р(а+0) = 0 только при условии 8 < 1. Итак, несобственный интеграл (7.31) сходится при 0 < 8 < 1 и, согласно (7.26), равен 302 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интеграл ь йх (Ь- х)' б (7.33) тоже сходится при О < в < 1 и расходится при в) 1. Если же в < О, интеграл (7.33) является определенным интегралом и существует на любом отрезке [а,Ц Е И.. Так как при в< 0 рассмотренные интегралы (7.31) -(7.33) являются определенными, то можно считать, что исходные интегралы сходятся при 8 < 1 и расходятся при 8 ) 1. Т.5. Сходимость интегралов от неограниченных функций Приемы исследования на сходимость несобственных интеграпов во бесконечному промежутку и от неограниченной функиии имеют много общего.
Необходимыми условиями сходи- мости несобственного интеграла от неограниченной функции Дх) по промежутку [а, Ь) являются ограниченность и непрерывность вэтом промежуткефункции Ф(х) (7.24), Всоответствии с определением 7.3 это следует из свойства ограниченности функции, имеющей конечный предел [1-7.4), и теоремы 6.15. Свойства несобственного интеграла от неограниченной функции аналогичны свойствам определенного интеграла и несобственного интеграла по неограниченному промежутку.
Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать и дока зать их. Однако уместно отметить, что не все свойства определенного интеграла имеют аналоги для несобственных интегра лов. Например, произведение двух функций, интегрируемых на некотором отрезке, также интегрируемо на этом отрезке. Но по промежутку (О, Ц несобственный интеграл от произведения функций ~(х)у(х) = 1/х расходится (см. пример 7.10), тогда как от каждого из сомножителей ~(х) = у(х) = 1//х несобственные интегралы по этому промежутку сходятся.
7.5. (Ъодимость интегралов от неограниченных фуниций 303 1пп — =А>0, У(х) е-+ь-о д(х) (7.34) то несобственные интегралы ~(х) Ых и либо оба сходятся, либо оба расходятся. Доказательства сформулированных теорем аналогичны доказательствам теорем 7.1 и 7.2, и читатель может провести их самостоятельно. Приведенные признаки применимы для исследования сходимости интегралов не только вида (7.25), но и вида (7.26), а также для интегралов в правой части (7.27). Достаточные признаки сходимости несобственного интеграла от неограниченной неотрицательной функции аналогичны соответствующим признакам сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку, т.е.
справедливы следующие теоремы. Теорема 7.3. Пусть футсции ~(х) и д(х) интпегрируемы на любом отрезке [а, п1 С [а, 6) и не ограничены при х -ь 6 — О, причем при х Е [а,6) выполнены неравенства 0 ~~ ~(х) ~ д(х). ь Тогда, если сходится несобственный интеграл 1 д(х) ~Ь, то схоа ь ь дится и ~~(х) сЬ, а если расходится 1 Дх) Ых, то расходится и а а ь ~ д(х) Ых.
в Теорема 7.4. Пусть функции ~(х) и д(х), интегрируемые на любом отрезке [а, п1 С [а,6), являются неотрицательными при всех х Е [а,6) и неограниченными при х-ь6-0, афункция д(х) отлична от нуля в некоторой полуокрестности точки 6. Если существует конечный положительный предел 304 7.
НЕС БСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В качестве фрикции сравиенил для несобственного интегра ла от неограниченной функции удобно использовать функцию 1/(х — а)' или 1/(6 — х)'. Пример 7.11. Исследуем на сходимость несобственные ин- тегралы пх ~ агсап ~/х 1-е ' ./ ]п(1+4Гхб) -1 О Их е — созх ' Фдх — х а. Функция ~(х) =1/ не ограничена при х-Ф -+ 1+ 0 и интегрируема на любом отрезке [(', 2] С (1, 21. Ясно, что бх — х2 — 5= (х — 1)(5 — х) и при всех х Е (1,2~ 3 < у(х) С вЂ” У1х).
1 1 3 х — 1 3(х — 1)1/' 2 Интеграл ~у(х) пх сходится, так как показатель степени в = = 1/2 < 1 (см. пример 7.10). Тогда в силу теоремы 7.3 рассматриваемый несобственный интеграл тоже сходится. б. Функция ~(х) = 1/(1 — е ) на любом отрезке [-1, р1 С С [-1, 0) положительна и непрерывна, а значит, и интегрируе- ма, но не ограничена при х -+ -О. Поскольку 1 — е~ ° (-х), -+-а то 1 1 Дх) = — ° -- =у(х), 1 — е~ х-+-о х т.е. верно (7.34) при А=1. Так как интеграл от функции у(х) расходится (см. замечание 7.3 при 6 = 0), то в силу теоремы 7.4 расходится и рассматриваемый интеграл от функции ~(х).
в. Подынтпеграаьная фуксия ~(х) =агсе1п~/х/1п(1+ ~6~) удовлетворяет условиям теоремы 7.4 в промежутке (О, Ц и при 305 7.6. Абсолютим и усювива сходимость иытегралов 7.6. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов Признаки сходимости несобстпвемных интпегралов от знакопостоянных функций рассмотрены в 7.3 и 7.5.
Выясним, как ведут себя несобственные интегралы от функций, принимаю%их в промежутке интегрирования значения разных знаков. х -++О является бесконечно большой, эквивалентной функции у(х) = ~Д/4~хб = 1/хз/4. Поскольку интеграл от функции у(х) сходится (см. пример 7.10), то исследуемый интеграл от функции Дх), согласно теореме 7.4, тоже сходится. г. Функция Дх) =1/(е — совх) на любом отрезке ~~, Ц С С (О, Ц положительна и непрерывна, а значит, и интегрируема, но не ограничена при х -++О. Для исследования сходимости несобственного интеграла от функции Дх) по промежутку (О, Ц добавим и вычтем 1 в ее знаменателе и получим Дх) = =1/((е -1)+(1-созх)). Слагаемое е — 1 является при х-+ 0 бесконечно малой функцией, эквивалентной х, а слагаемое 1 — соех при х-+О эквивалентно х~/2 [1-10.2]. Алгебраическая сумма б.м.
функций эквивалентна при х -+ 0 своей главной части ~1-10.3], т.е. х. Таким образом, 1/(е — созх) 1/х при х -+ О. Поскольку несобственный интеграл по промежутку (О, Ц от функции 1/х расходится (см. пример 7.10), то интеграл от функции ~(х) по этому промежутку в силу теоремы 7.4 также расходится. д. Функция 1/(фх — х) удовлетворяет условиям теоремы 7.4 в промежутке (О, Ц и при х -++О является бесконечно большой. Представим функцию Ых в окрестности точки 0 формулой Маклорена третьего порядка ~П]: Фдх = х — хз/3+ +о(хз).
Из этой формулы находим, что ~~х — х -хз/3 при х -~ О. Несобственный интеграл от функции 3/(хз) по промежутку (О, Ц расходится (см. пример 7.10). Следовательно, в силу теоремы 7.4 интеграл от функции Дх) по этому промежутку также расходится. 306 П НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Напомним прежде всего, что, согласно свойству 10' опреде.ленного интеграла (см. 6.7), если функция ~(х) интегрируема на отрезке [а,о1, то и функция $~(х)$ интегрируема на том же отрезке.
Поэтому можно рассматривать два несобстпвенных интпеграюа по бесконечному промежутпку: $~(х) $ ах. ~(х) ах и Во втором из этих интегралов подынтпегральная функция неотрицательна, и поэтому к нему применимы все результаты, полученные в 7.3. Это позволяет исследовать на сходимость и первый из указанных несобственных интегралов, так как спра ведлива следующая теорема. Теорема 7.5. Если функции Дх) и Щх)$ интегрируемы на любом отрезке [а,6] С [а, +со) и несобственный интеграл +00 +00 ~ $,~(х)$ах сходится, то сходится и интеграл ~ ~(х) ах. а В ~ Для всех х Е [а, +оо) справедливо неравенство [1-1.3~ — Щх)$ (~(х) < Щх)$, или 0(Дх)+Щх)$ ~~2Щх)$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
