VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Функция Дх) =1/ интегрируема на любом отрезке 11, Ц С 11, +со) и при х -+ +со является бесконечно малой (б.м.), эквивалентной функции у(х) = 1/х, поскольку для этих функций в (7.19) А = 1. Так как несобственный интеграл от функции 1/х по бесконечному промежутку ~1,+со) расходится (см. пример 7.3), то в силу теоремы 7.2 расходится и несобственный интеграл по этому промежутку от функции Дх). б. При ~-++оо функция Дм) =(х+1)/ х~-3х — 2 является б.м., эквивалентной функции у(х) = 1/х41з.
Обе эти функции интегрируемы на любом отрезке ~2, Ц С 12, +со). Так как несобственный интеграл по бесконечному промежутку [2, +со) от функции у(х) =1/х' при э=4/3 > 1 сходится (см. пример 7.3), то, согласно теореме 7.2, сходится несобственный интеграл по этому промежутку и от функции,~(х).
Ясно, что признаки, устанавливаемые теоремами 7.1 и 7.2, применимы и к несобственным интегралам вида (7.4). 7.3. Признаки сходимости интегралов Пример 7.7. Рассмотрим несобственные интегралы б) е ах. а) е'х ах; а. Используя (Т.5) при с=О, запишем +оо о +оо Г е' ах = е'~ах+ е' ах. (7.22) Напомним (см. Т.1), что интеграл в левой части (Т.22) сходится, если сходятся оба интеграла в правой части. Функция Дх) = е' интегрируема и имеет первообразную Р(х) = е' /а на любом отрезке ~а,6] С (-оо, +оо).
Поэтому, используя (Т.7), получаем ° ° Еах +оо еах ах 11щ еах а О а х-++оо а Отсюда видно, что несобственный интеграл по бесконечному промежутку 1О, +оо) сходится при а < О, причем его значение равно -1/а, и расходится при а > О. Нетрудно установить, что он расходится и при а=О. Аналогично, применяя (7.8), находим о Еох О е ах = — = — — — 1ип е а -оо а а х-+-оо т.е. несобственный интеграл по бесконечному промежутку (-оо, 01 сходится при а > О, причем его значение равно 1/а, и расходится при а < О. Ясно, что он расходится и при а=О.
Таким образом, при любом значении а Е Е один из несобственных интегралов в правой части (Т.22) расходится. Следовательно, расходится и интеграл в левой части (7.22). 295 Г.З. Признаки сходимости интегралов а. Фуякцвя Дх) =13+я!пх)/(с~х~+~~+1) непрерывна, а значит, интегрируема на любом отрезке [1, Ц. Числитель дроби не превосходит значения 4 для любого х > 1. Поэтому У'1х) ( е =д1х) чх ~~ 1. 4 е хе+ х+1 У(х) = ~~ ~ ~= У(х) ~Ь Е [11+оо). 1 1 1 /х+соз~х Гх+1 2 Гх В этом случае показатель степени 8 = 1/2.
Поэтому несобственный интеграл от функции у(х) = 1/(2~Д) по промежутку [1, +оо) расходится (см. пример 7.3), а тогда, согласно теореме 7.1, интеграл от функции ~(х) тоже расходится. в. Функция Дх) = 4хзвиР(1/х) непрерывна, а значит, и интегрируема на любом отрезке [1, Ц С [1, +оо). Функции вш(1/х) и 1/х являются эквивалентными б.м. при х-++оо. Поэтому подынтегральная функция ~(х) является при х -+ -++оо б.м., эквивалентной функции хз!4/х~ = 1/хв~~. Таким образом, если, применяя теорему 7.2, выбрать в качестве функции сравнения у(х) = 1/х5~4, то в силу сходимости несобственного интеграла от такой функции по бесконечному промежутку Фувкцвя ~/хе+ ~х+1 явяяется бесконечно 6ояьшов (6.6.) при х -++со и эквивалентна первому слагаемому.
Поэтому д(х) 4/~/х4 =4/х~1з при х -++оо. Интеграл по бесконечному промежутку [1, +оо) от функции 4/х4~з сходится, так как показатель степени 8 = 4/3 > 1 (см. пример 7.3). Значит, в силу теоремы 7.2 сходится несобственный интеграл от функции у(х), а, согласно теореме 7.1, из сходимости несобственного интеграла от функции у(х) следует сходимость интеграла по промежутку [1, +со) от исходной функции Дх). б. Функция Дх) =1/(/х+сов~х) непрерывна и поэтому интегрируема на любом отрезке [1,Ц С [1,+со). Так как 0< ( сов~ х < 1 при любом х > 1, то 296 Т.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 11,+оо) (см. пример 7.3) интеграл от функции Дх) поэтому промежутку тоже будет сходящимся. г. Функция Дх) = х агсфх/(х" + 1) непрерывна и поэтому интегрируема на любом отрезке [1,Ь1. Если п=т, то 1пп Дх) = ~г/2. Поэтому несобственный интеграл от функх-Ф+оо ции ~(х) по промежутку 11, +оо) расходится.
Если же пуст, то при х -++оо Дх) эквивалентна функции я/(2х" ). Несобственный интеграл от функции 1/х" по бесконечному промежутку ~1, +оо) сходится при и — т = в ) 1 (см. пример 7.3) и расходится при и — гп < 1. Следовательно, в силу теоремы 7.1 несобственный интеграл от функции Дх) по этому промежутку будет сходиться лишь при и — т > 1. д. Функция Дх) =(2хз-7)агсв1п(1/х)/ хв+5х — 2 непрерывна, а значит, и интегрируема на любом отрезке 12, Ь~. Так как агсв1п(1/х) ° 1/х при х -++оо, то существует конечный, отличный от нуля предел подынтегральной функции: (2хз — 7) агса1п(1/х) . 2хз(1/х) х-++оо х++оо + х2 Следовательно, несобственный интеграл от функции ~(х) по промежутку ~2, +оо) расходится.
7.4. Интегралы от неограниченных функций Пусть функция ~(х) определена в полуинтервале ~а, Ь) и не ограничена при х -+ Ь (это значит, что функция не является ограниченной ни в какой окрестности точки Ь, где точка Ь может быть как конечной, так и бесконечной). Предположим, что зта функция иншегрируема на любом отрезке ~а, т~] С ~а, Ь). Тогда в полуинтервале ~а, Ь) определена функция Ф(п) = Дх) <Ь (7.24) а как определенный интпеграл с переменным верхним пределом.
т'.4. Интегралм от неограниченных функций 297 Определение Т.З. Предел функции Ф(ц) при тт -+ 6 — О называют яесобстпвенным интпегралом отп неограниченной фуксиии ~(х) попромежутку ~а, 6) (или несобственным интегралом втпорого рода) и обозначают так же, как и определенный интпеграл на отрезке 1а, 6~: Дх) Их = 1ип Ф(р) = 1ип ~(х) Ых. (7.25) ° ° При этом, если предел в (7.25) существует и конечен, несобственный интеграл называют сходлщимсл (в этом случае говорят о сходимосттш несобственного интеграла от неограниченной функции), а если этот предел бесконечен или не существует, то — расходлщимсл. В случае Дх) > О Ух Е ~а,6) сходящийся несобственный интеграл в (7.25) геометрически соответствует площади бесконеч- у но высокой криволинейной тпрапеиии, ограниченной отрезком ~а,6~ Лх) оси абсцисс, прямыми х=а, х=6 и графиком функции У(х), причем прямая х = 6 является вертпи- и Ь х кальной асимптиотпой этого графика (рис.
7.5). Рис. 7.5 Пусть теперь функция Дх) определена в полуинтервале (а, 6], не ограничена в окрестности точки а, но интпегририема на любом отрезке ~~,61 С (а, 61. Тогда в полуинтервале (а,6) определена функция чт(~) = ~(х) Их как определенный интпеграл с переменным нижним пределом. 298 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ т.е. Г Дх)Их= Йп Ф(~) = Ив Дх)йх. 4-+а+О 4-~а+О (7.26) Говорят, что несобственный интеграл (7.26) сходится, если предел в (7.26) существует и конечен, и расходится, если У этот предел бесконечен или не У~Ф) существует. Геометрически значение сходящегося несобственного интеграла (7.26) при условии У(х) > 0 Ух б (а, Ь] равно площади бесконечно высокой криволинейной Рис, 7.6 трапеции (рис.
7.6). Если функция Дх) не огра- У ничена при х -+ с для некотоЛх) рой точки с Е (а,Ь), то несоб! м ственныи интеграл в этом случае представляют суммой двух несобственных интегралов (один иэ них может оказаться и оаредеРис. 7.7 ленным интегралом — рис. 7.7): ь с ь ~(х) Их = Ях) Йх+ Ях) Йх. в а с При этом по определению считают, что несобственный интеграл в левой части (7.27) сходится, если независимо один от другого сходятся оба интеграла в правой части (7.27). Если функция Дх) не ограничена при х -+ Ь-О, но имеет первообразную Р(х) и интегрируема на любом отрезке ~ад~ (7.27) Определение 7.4. Предел функции Ф®) при (' -+ а+ 0 называют несобственным интегралом от неограниченноЙ функь ции Дх) попромежутку (а, Ь) итакжеобозначают ~~(х)Ых, 299 7.4. Иытегралы от ыеограничеиных фуыкций Г Дх) Ых = 1пп ~(х) Йх = 1ип РЯ вЂ” Р(а). е-+Ь-О Ч-+Ь-О Отсюда ясно, что, если существует первообраэнал, несобственный интеграл в левой части этого равенства сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел 1ип Р(ц) = = Р(6 — 0), и в этом случае ~(х) Их = Р(Ь вЂ” 0) — Р(а).
(7.28) Аналогично, если неограниченная при х -+ а+О функция Дх) имеет первообразную Р(х) и интегрируема на любом отрезке [~,6] С (а,Ь], причем существует конечный предел 1пп Р®) = Р(а+ 0), то для несобственного интеграла от (-+а+О функции У(х) на промежутке (а, 6] имеем Ях) йх = Р(6) — Р(а+ 0). (7.29) Наконец, если функция Дх) не ограничена в окрестности точки с, но имеет первообразные Р(х) в промежутке [а,с) и С(х) в промежутке (с, 6] и интегрируема на любых отрезках [а,~Д С [а, с) и [(, Ь] С (с, Ь], причем существуют конечные пределы 1пп Р(х) =Р(с-0) ц-+с-О и 1пп С(х) =О(с+О), (-+с+О то для несобственного интеграла наотрезке [а, 6] имеем (7.30) внутри промежутка [а,Ь), то, используя (7.25) и формулу Ньютона — Лейбница, можно записать 300 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
