VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 45
Текст из файла (страница 45)
9.34). По этой поверхности проведем гладкую кривую Г1, пересекающую каждую образующую лишь в одной точке. Чтобы задать эту кривую, к (9.43) достаточно добавить еще третье уравнение я = я(1), где я(1)— неотрицательная и непрерывно дифференцируемая при $ Е ~а, 6~ функция. Рассмотрим часть цилиндрической поверхности, ограниченной кривыми АВ, СР и образующими АС, ВР (см. рис.
9.34). Введем для кривой Г натуральный параметр в, отсчитываемый от точки А. Тогда кривая Г1 может быть описана 9.б. Площадь поверхности Ри~~ 9.34 параметрическими уравнениями * — 4(8)~ У вЂ” 9(л)~ я — ~(8)~ 8 ~ [О~ ®Г1» где зг — длинадуги АВ, афункции Я8), 11(8) и Ц8) непрерывно дифференцируемы на отрезке [О, аг~. Вписав в дугу АВ ломаную АА1...А; 1А;...А„1А„(А„= В), а в дугу СВ— соответствующую ломаную СС1...С; 1С;...С„1С„(С„= О), из трапеций А; 1А;С;С; 1 с высотами 1;= ~А; 1А;~ составим призматическую поверхность, вписанную в рассматриваемую часть цилиндрической поверхности. За площадь Я„цилиндрической поверхности принимают предел площади призматической поверхности, вписанной в эту поверхность, и Бп=~Г ' ' '1ю~ 2в=~(8) =~АС~, ~=1,п, 2 в=1 при Ь~О, где Ь вЂ” максимальная из длин Ь8; дуг А; 1А;.
Повторяя рассуждения, проведенные ранее для поверхности вращения, придем к вычислению предела при Ь-+ О выраже- ния 418 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА которое состоит из интегральных сумм функции ~(з) на отрезке [О, зг1. В силу непрерывности ~(з) на [О, зг1 существует интеграл от этой функции по данному отрезку, а значит, существуют равные между собой и равные этому интегралу пределы каждой из указанных интегральных сумм при Ь -+ О, т.е.
— 1!т ~ Дв< 1)ьв;+ — ыт ~Дв<)ьз< = / Цв)ыв. 1 . " 1 2 ь-+о . 2 ь-+о, ю=1 1=1 о Таким образом, рассматриваемая цилиндрическая поверхность имеет площадь (9.52) Возвращаясь к параметру 1, получаем л(1) Ыз(1) = й. (9.53) Если кривая Г задана уравнением у = Дх), х Е [а, б~, то вместо (9.53) будем иметь х(х) дз(х) = (9.54) Пример 9.18. Вычислим площадь участка цилиндрической поверхности с направляющей х~+у~ = Вх и образующей, параллельной оси Оя, который ограничен сферой радиуса В с центром в начале координат. Цилиндрическая поверхность пересекает сферу по кривой Вивиани, задаваемой уравнениями х(1) = Вв~п $, у($) = Вя1п1соз$, х($) =Всов$, 1 Е [О, 2л'), 419 9.6.
Вычисление месс и моментов инерции Рис. 9.3$ ~г/2 Й=В соевой=В . Отсюда искомая площадь участка поверхности Я = 4В2. 9.6. Вычисление масс и моментов инерции Для любого объекта его масса является характеристикой, обладающей свойством аддитпивностии. Масса системы дискретных материальных точек равна сумме масс всех точек напоминающей изогнутую восьмерку и имеющей кратную точку (В;0;О) (рис. 9.35), соответствующую значениям параметра 1 = я/2 и 1 = Зя/2. В силу симметрии кривой относительно плоскостей хОу и уОя в первом октанте расположена четвертая часть (по площади) рассматриваемого участка цилиндрической поверхности, причем Ф Е ~0, я/21 и аппликата точек кривой Вивиани неотрицательна.
Используя (9.53), по- лучаем 420 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА системы. Для объекта с непрерывным распределением массы задают зависимость плотности р(М) от положения текущей точки М в области, занимаемой этим объектом. Ясно, что при постоянном значении плотности р тела его масса т равна произведению этой плотности и его объема У, т.е.
т = рУ. Аналогично масса плоской фигуры с площадью Я и постоянным значением поверхностной плотности р~ равна ряЯ, а масса линии с длиной з и постоянным значением линейной плотности р„— р,з. Но при неоднородном распределении массы, характеризуемом функцией р(М) положения точки М, для вычисления массы любого объекта необходимо применять интегральное исчисление.
Использование определенного интеграла позволяет решить эту задачу в ряде простых случаев. Пусть гладкая простпранстеенная кривая Г задана в прямоугольной системе координат Охуз уравнениями х=х($), у=у($), г=г($), $ 6[а,Ц, а интегрируемая на отрезке [а, Ц функция р,($) линейной плотности описывает распределение массы по длине этой кри- вой, причем р,($) = 1пп — = 1ип Ьт . Ьт($) ьа-+0 Ь8 ы-+0 Ь8(~) ' (9.55) где Ьт — масса участка дуги кривой длиной Ьз, соответствующего изменению параметра 1 на отрезке [$, 1+ Ь|] С [а, Ц. Согласно (9.55) и теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции [1-7.5), Ьт(~) = р,(~) Ьг(~) + 7(~~) ~~(~), где у(Ь|) — функция, бесконечно малая при Ы -+ О.
Тогда с учетом инвариантности формы заииси дифференциала, определения дифференцируемой функции и выражения (9.4) для 421 9.6. Вычисление масс и моментов инерции дифференциала длины дуги пространственной кривой запишем Ит(~) = р,(~) ~Ь(~) = р,(~) а масса всей дуги будет равна Ь 6 т = ат(й) = р,(й) Й.
(9.56) Отметим, что подынтегральная функция в (9.56) интегрируема на отрезке 1а, Ц, согласно теореме 6.11, как произведение функций, интегрируемых на этом отрезке. В частном случае масса гладкой плоской кривой, заданной дифференцируемой на отрезке 1а, Ц функцией у = Дх) и имеющей линейную плотность р,(х), равна т = рл(х) Если интегрируемые на отрезке 1а, 6~ функции р(х) и Я(х) задают зависимость от х Е 1а, Ц плотности тела и площади его поперечного сечения, перпендикулярного координатной оси Ох, то масса соответствующего отрезку 1х, х+ Ьх) участка этого тела приближенно равна Ьт т р(х)Б(х) Ьх, а масса всего тела т = р(х)Я(х) й:.
в (9.57) Для частных случаев тела, образованного вращением вокруг оси Ох или Оу кэиволинеВной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, 6), а > О, и ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на 1а, Ц функции ~(х), его масса по 422 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА аналогии с (9.34) и (9.36) равна соответственно т = я' р(х) ~~(х) Йх, т„= 2л' р(х) х~(х) йх.
(9.58) Пусть интегрируемая на отрезке [а, Ц функция р9(х) за дает зависимость от х б [а, 6] поверхностной плотности плоской фигуры в виде криволинейной траиеиии, имеющей основа кием этот отрезок и ограниченной графиком неотрицательной функции ~(х) ) 0 ~Ь Е [а, о1. Тогда масса участка криволинейной трапеции с основанием [х, х+ Ьх~ Ьт т р9(х) МБ = ря(х) Ях) Ьх, а масса всей фигуры т = р9(х)~(х) сЬ. а (9.59) Если такал же функция р9(х) описывает распределение массы по поверхности, образованной вращением вокруг координатной оси Ох или Оу гладкой плоской кривой, заданной дифференцируемой на отрезке [а, Ц функцией у = Дх), то по аналогии с (9.49) и (9.50) можно написать соответственно т' = 2л' р9(х) ~Д(х) ~ в (9.60) т, = 2я. р8(х) х а Ых, а ) О. (9.61) Все рассмотренные случаи вычисления массы различных объектов можно обобщить в рамках общей схемы применения определенного интеграла (см.
9.1). Если при изменении некото- 423 9.6. Вычисление масс и моментов инерции рого параметра $ Е ~а, 6] функция р($) задает распределение массы (линейное, поверхностное или объемное, т.е. плотность), то массу любого объекта, соответствующую отрезку ~а, Ь], можно выразить в виде т = Ыт(8) = р(~) йт(г), (9.62) 1~ = ~ ш<г;. (9.63) Совместим ось вращения с координатпной осью Ои прямоугольной декартовой системы координат Охи.
Тогда для каждой материальной точки с координатами х;, у;, л; квадрат ее расстояния до оси вращения будет г2 = х2+ у2, и вместо (9.63) получаем 1оа = 4ох+ 7хов 7уоа = т;х;, Рвота = т;у;, (9.64) 2 % ~ . 2 где Ы($) — дифференциал геометрической характеристики объекта: длины дуги, площади плоской фигуры, цилиндри- ческоЙ поверхности или поверхности вращения, объема тела, а Йи(1) — дифференциал массы объекта.
Отметим, что в (9.57) -(9.61) в роли параметра 3 выступает абсцисса х. Масса любого объекта характеризует свойство инерции при его поступательном движении. При вращении материальной точки массой т вокруг некоторой прямой ! инерционные свойства этой точки количественно выражает момеюв инерции .?1 = тг2 относитпельно оси 1, где г — расстояние от точки до прямой 1.
Момент инерции системы а материальных точек (каждая массой т;, ~=1,в) относительно любой оси вращения ! обладает свойством аддитивности, т.е. является суммой моментов инерции всех точек системы относительно той же оси 1: 424 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА т.е. момент инерции системы относительно оси Ок равен сумме моментпов инерции 3„О, и,7„О, отпноситпелъно каждой координатной змоскостпи (уОз и хОз), содержащей эту ось. Вычисление моментов инерции объектов с непрерывным распределением массы требует применения интегрального исчисления. Если известна зависимость от некоторого параметра 1 Е ~а, Ц дифференциала Ытп($) массы объекта и расстояния г($) до оси вращения его произвольного участка, соответствующего приращению Ь$, то в силу общей схемы применения интеграла (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
