VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Функция Дх) = х~х~ и ее производная непрерывны на отрезке [-1,2], но ее вторая производная при х = О имеет точку разрыва первого рода. Если разбиение отрезка [ — 1, 2] провести так, чтобы точка х = О была узлом квадратурной формулы, то несложно проверить, что формула Подынтегральная функция ~(х) или ее производные на отрезке [а,6] интегрирования могут иметь промежутки резкого изменения, точки разрыва или быть неограниченными (последний случай для функции Дх) будет рассмотрен в 10.8). В перечисленных случаях функция ~(х) плохо представима многочленом, так что использование обычных кваоратуриых формул для вычисления интеграла от функции Дх) на отрезке [а, 6] оказывается не эффективным. Если функция ~(х) или ее производные имеют на [а,о] точки разрыва, то раэбиекие этого отрезка целесообразно провести так, чтобы на частичмых отрезках функция и ее производные были непрерывны. 10.8.
Учет особенностей паведенна аодыытегралъной 4ункцни 489 парабол (10.24) даст точный результат для интеграла 2 о 2 х~х~сЬ= — х их+ х Ых=— 2 2 3 -1 о уже при разбиении [-1,2) надва (п=2) частичных отрезка [-1,01 и [0,2]: 1 У= — ~ Ь;(Д,+4Д ц,+Д)= 6.
Ы1 1 = -(1 (-1+4(-1/4)+0)+2(0+4 1+4)) = —. 7 6 3 По формуле тпрапецай (10.13) при таком разбиении получим 1 я;~. А = -,~ (х - х -1)(Л-1+ Л) = 2, с=1 = -(1 ° (-1+О)+2(0+4)) = — > —, 1 7 7 2 2 3' а при разбиении отрезка [-1,2) точками х=-1/2, х=О и х=1 1з = — — ~-1 — -~ + — ~- — + 0) + 1 ' (О + 1) + 1 ' (1 + 4)) = 2 2~ 4~ 2~ 4 21 21 7 = — > — =- 8 9 3 На каждом из частичных отрезков подынтегральная функция дважды непрерывно дифференцируема. Поэтому формула трапеций сохраняет второй порядок точности, и по двум проведенным по этой формуле расчетам можно получить методам Рунге результат, соответству1ощий формуле парабол: .~ -~1 21 1Ю 7~ 7 А2+ 3 8 3~8 2) 3 490 1Р. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Если же на отрезке [-1,2~ сгущать равномерную сетку последовательным делением шага Ь„раз6иемия пополам, то точка ж = 0 разрыва непрерывности второй производной подынтегральной функции не будет узловой длм квадратурных формул.
В этом случае сходимость результатов вычислений оказываетсм более медленной (табл. 10.3). Таблица 10.8 Нетрудно проверить, что использование этих результатов длм уточнения по методу Рунге не эффективно. В прикладных задачах возникает необходимость вычисления интегралаотфункции Дй) вида А(й)вансен или А(Ф)совий, которая описывает колебания с несущей частотой ~ и модулированной амплитудой А($) ($ — время). При больших значениях ы такал функция становится быстро осциллирующей, причем период Т = 2я/ы одной осцилляции может оказаться очень малым по сравнению с отрезком интегрирования [а, Ь~. Тогда при медленном изменении во времени амплитуды А(1) интеграл от функции ~(1) наотрезке [а, 61 будет суммой большого числа пар величин, близких по абсолютной величине, но противоположных по знаку (каждая пара величин соответствует площадям криволииейкыю трапеций, ограниченных соседними полуволнами). Если испольэовать обычные квадратурные формулы, то, чтобы избежать потери точности, необходимо каждую иэ площадей вычислять с высокой точностью, т.е.
в пределах периода осцилляции брать достаточно много узлов, выбирал шаг Ь„разбиения отрезка [а, 61 из условия ыЬ„((1 (много меньше 1). При Т ~ (6 — а) это приведет к значительному объему вычислений. 10.8. Учет особенностей поведении подынтеиутлъной функцнн 491 Однако при сравнительно медленном за период Т изменении функции А(8) можно выбрать более крупный шаг Ь„= = (6 — а)/и) Т и на каждом из частичных отрезков ~Ц 1,Ц] (Ц = ~Ь„, з = О, и) испольэовать линейное приближение где А; = а(Ц). Тогда в случае (для определенности) Д$) = = А(1)81пи$ получим ~г-~~ А1-Ав-1 . ыЬя Ав А; 1 ~2 81п — соясА; 1~~ — — совы8;+ — совы$; 1, ~РЬЯН 2 ' ы ' ы Ы1 где $; 1у~ —— $; 1+Ь„/2.
Известно ~П], что погрешность лииейкой иитерполлции на отрезке ~Ц 1,$;] дважды непрерывно дифференцируемой на нем функции А(8) не превышает М~Ь~/8, где Мг — наибольшее значение ~А"(8) ~ на этом отрезке. Тогда суммарная погрешность полученной квадратурной формулы не превысит М~(6 — а)©8 (эдесь М' — наибольшее значение ~Ан($)1 на отрезке ~а, о]). Нетрудно проверить, что при ыЬ„-+ О рассматриваемое соотношение переходит в квадратурную формулу трапеций. Аналогично можно построить квадратурные формулы при эсваорашичной июперполлиии функции А(й) на частичном отрезке ~$; 1,$;] или при ее интерполяции на нем многочленом более высокой степени.
Их называют формулами Филова. Прием представления подынтегральной функции Дж), имеющей на отрезке ~а, о] интегрирования какие-либо особенности, в виде произведения р(ж)у(ж) двух сомножителей используют и в более общем случае. При этом стремятся подобрать один из сомножителей (пусть для определенности р(х)) таким, 492 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ чтобы он имел те же особенности, что и функция У(х), но интеграл от функции х р(х) (т Е ХО(0)) был берущимся.
Если при этом второй сомножитель у(х) будет достаточное число раз непрерывно дифференцируемым иа ~а, Ц, то на ка ждом частичном отрезке ~х; 1, х;1 его можно интерполировать многочленом соответствующей степени и в итоге построить квадратурную формулу с известным порядком точности. Так, для дважды непрерывно дифференцвруемой функции у(х) при ее линейной интерполяции можно получить квадратурную формулу второго порядка точности.
Описанный прием называют мулыпии,яияатпивным выделением особенности в противоположность ее вддитпивмому выде.яению, когда подынтегральную функцию Дх) удается представить суммой ~р(х) + ф(х), причем функция у(х) содержит ту же особенность, что и ~(х), но интеграл от пее является берущимся, а для вычисления интеграла от функции ф(х) используют квадратурную формулу. 10.9. Приближенное вычисление несобственных интегралов Сначала рассмотрим особенности вычисления сходящегося несобстивенного интеграла по неограниченному промежутку (ясно, что процедура вычисления расходящегося интеграла лишена смысла). Один из возможных путей состоит в такой ~амене переменного интегрирования, которая приводвт к интегралу по конечному промежутку.
Так, замена х = а/(1 — 1) позволяет промежуток ~а, +со) интегрирования функции ~~(х) преобразовать к промежутку [О, Ц интегрирования функции вторая в общем случае может иметь особенность в точке 1 = 1. 10.9. Приближенное вычисление несобственных интегралов 493 Второй цуть состоит в использовании свойства аддитивности сходящегося несобстпвекиого интпеграла: Число 6 можно выбрать так, чтобы второе слагаемое в правой части этого равенства по абсолютной величине не превосходило е/2, где е — заданная точность вычисления несобственного интеграла по промежутку ~а, +со). Тогда первое слагаемое достаточно вычислить с точностью е/2 по одной из квадратурных формул.
Число 6 можно уменьшить, если удастся приближенно оценить второе слагаемое н использовать эту оценку как поправку к результату, полученному прн применении квадратурной формулы к первому слагаемому. Пример 10.3. Чтобы вычислить с точностью е = 10 ~ интеграл 1 от функции 1/(1+хз) по неограниченному промежутку [2, +со], запишем (10.58) 1+ 3 Так как при 66 (2,+ос) то нз условия 1/(263) = е/2 получаем 6 = 10. Тогда, согласно (10.58), с точностью е/2 494 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВА НИЕ Применяя формулу парабол, при шаге 2 получаем 31 т 0,1206, а при шаге 1 — 11 т 0,1159. Поскольку эти значения отличаются менее чем на е/2, с точностью е принимаем Уа0,12.
4~ Рассмотрим теперь сходящийся несобственный интеграл по конечному отрезку [а, Ц от неограниченной функции Цх). Если на этом отрезке данная функция имеет конечное число точек, в которых ее предел бесконечен, то разбиением [а, 6) на частичные отрезки можно добиться, чтобы на любом частичном отрезке [х; 1, х;] было не более одной такой точки и она являлась бы одним иэ его концов. Пусть такой точкоЙ является х;.
Тогда в силу свойства аддитивности запишем У(х)сЬ, 6 > О, х;-8 х~-1 При достаточно малом значении в вторым слагаемым в правой части этого равенства можно пренебречь и в качестве приближенного значения интеграла на отрезке [х; 1, х;~ принять вычисленное по одной иэ квадратурных формул значение первого слагаемого. Если второе слагаемое удается приближенно оценить, то эту оценку целесообразно использовать как поправку. Для вычисления интеграла на таком отрезке возможно или мультипликативное, или аддитивное выделение особенностей, а также применение одной иэ квадратурных формул Гаусса, узлы которой ие совпадают с тем концом отрезка, где подынтегральная функция имеет бесконечный предел.
Пример 10.4. Вычислим интеграл У от функции совх/~Гх на отрезке [О, 1). Эта функция имеет бесконечный предел при х -++О. При достаточно малом значении 8 10.9. Приближенное вычисление несобственных интегралов 495 Поэтому — Ых ( 2Л+ — ~Ь и 2Л+ 11, ~/х ~/х где 4~ — приближенное значение интеграла на отрезке Я, 1], вычисленное по одной из квадратурных формул. К данной подынтегральной функции применимо мультипликативное выделение особенности, если положить созх/~Д= =р(х)у(х), где р(х) =1/~~~ и у(х) =созх. Тогда при *инейной интерполяции функции у(х) на отрезке 10, Ц получим у(х) т 1 — (1 — сов1)х и 1и ~Ь =2-2 а1,6935, х 3 о а при линейной интерполяции на двух частичных отрезках— 1/2 1 — 2(1 — соз(1/2)) Их+ 1 + соз(1/2) — 2(соз(1/2) — соз1) (х — 1/2) дх ~ 1,7774.
1/2 При квадратичной имтериоляции на отрезке ~0, 11 имеем 1 1~ у(х) ~ Рв (х) = 2(х-- (х-1) — 4х(х — 1) сов(1/2) + 2х ~х--~ сов1 2 2 и приближенное значение интеграла Е а — 1(Ь ~ 1,8081. Р2(х) ~Д 496 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИŠ— ах. ~р(х) ~/х сов х — ~р(х) (10.59) о о Функцию ~р(х) целесообразно выбрать так, чтобы в первом интеграле в правой части (10.59) подынтегральная функция и ее производные не имели особенностей, а второЙ интеграл был бы берущимся.
Тогда первый интеграл можно будет вычислить с необходимой точностью по одной из квадратурных формул. Например, формула тпрапеций обеспечит второй порядок точности, если подынтегральная функция будет дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке [О, 1). Для этого достаточно взять в качестве ~р(х) представление совх в окрестности точки х = 0 многочленом Тейлора второй степени, т.е. г г у(х) = совх + (совх)' х+ (совх)" — = 1 — —.
з=о а=о ж=о 2 2 Несложно проверить, что функция Ь(х) = (совх -1+хг/2)/~/х, будучи доопределенной в точке х =0 значением Й(0) =О, действительно дважды непрерывно дифференцируема на отрезке «О, 1]. Использование формулы трапеций на отрезке [О, 1] и на двух частичных отрезках «О, 1/2] и [1/2, 1] дает приближенные значения первого интеграла в правой части (10.59) 0,0202 и 0,0110 соответственно. Второй интеграл в правой части (10.59) является берущимся: = 2- — = 1,8000. 1 2 5 о о Ясно, что этот результат можно уточнить, если использовать квадратичную интерполяцию функции у(х) = совх на двух частичных отрезках «0,1/2] и «1/2,1] и т.д. Используем теперь аддитивное выделение особенности, за- писав 10.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
