VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для того чтобы ограниченная на огрезке [а, Ь~ функция ~(х) была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы совпадали нижний 1, и верхний 1' интегралы Дарбу, т.е. 1,=1'. ° Необходимость. Предположим, что функция Дх) интегрируема на отрезке ~а, Ь~, т.е., согласно определению 6.4, существует конечный предел 1 интегральных сумм Я(Т) для этой функции на данном отрезке: 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 224 Поэтому для любого е > 0 найдется такое Ю(е), что дл„ каждого разбиения Т с максимальным шагом Ь< 6(е) имеем У(Т) < 1+6, 1-6 < Я(Т).
(6.20) 1(х) 4х = 1' = 1„. (6.21) а Следствие 6.1. Для того чтобы ограниченнал на отрезке ~а, Ц функция 1(х) была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы Ит ~ иЬх;=О, (6.22) Л-+О . О=1 где ы; = М; — т; — колебание фуксии 1(х) на частичном отрезке 1х; ~,х;) разбиения Т. ° Согласно теореме 6.5, ограниченная функция интегрируема тогда и только тогда, когда 1' = 1 . Учитывая (6.15), получаем равенство 1ип ЯТ) = 1ип У(Т), откуда 1ип ®Т) — У(Т)) = 1ип(М; — т;)Ьх; = О, что эквивалентно 6.22. ~ В силу (6.8) справедливо неравенство Я(Т) < Я(Т) < Я(Т).
Тогда с учетом (6.20) получим 1 — е < Я(Т) < 1+е. Следовательно, существует предел (6.19), т.е., согласно опреде лению 6.4, рассматриваемая функция Дх) интегрируема на отрезке ~а,Ц. ~ Из критерия Дарбу следует,что для интегрируемой на отрезке ~а,0] функции Дх) 6 6.4. Критерий существовании определенного интеграла 225 Докажем еще одну теорему, имеющую важное значение в теории определенного интеграла. Я(Т) -Я(Т) < е. (6.23) 4~ Необходимость. Пусть функция ~(х) интегрируема на отрезке [а, Ц. При доказательстве теоремы 6.5 показано, что для такой функции выполнено равенство 1ип (Я(Т) — Я(Т)) = 1ип Я(Т) — 1ип Я(Т) = 1 — 1, = О. Л-+О Л-+О Л-+О Следовательно, для любого е > О найдется такое о > О, что для любогоразбиения Т смаксимальным шагом 6<о справедливо (6.23).
Д о с т а т о ч н о с т ь. По условию теоремы для любого е > О существует такое разбиение Т отрезка [а, Ь~, что для соответствующих верхней и нижней сумм Дарбу справедливо (6.23). Тогда, согласно определению (6.13) верхнего и нижнего интегралов Дарбу, имеем О < 1' — 1, < Я(Т) — Я(Т) < е и в силу произвольности е заключаем, что 1'=1„т.е., согласно теоРеме 6.5, рассматриваемая функция интегрируема на отрезке [а 6]. ь Утверждение теоремы 6.6 также называют критерием суМестпвованих определенноао интпеарала.
Согласно этому "Ритерию, для выяснения интегрируемости функции на отрез"е достаточно найти хотя бы одно разбиение Т этого отрезка, удовлетворяющее условию (6.23), тогда как определение 6.4 интегрируемой функции в сочетании с определением 6.3 предела интегральных сумм требует проверки выполнения неравенства ( 4) для любых достаточно мелких разбиений этого отрезка.
Теорема 6.6 (критерий Римана). Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, Ц функция ~(х) была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ~ > О нашлось такое разбиение Т отрезка [а, Ц, что 227 6.$. Классы интегрируемых функций з з 1= х ах= —. 4 6.5.
Классы интегрируемых функций Теоремы 6.5 н 6.6 позволяют установить некоторые классы интиегрируемых функций. Теорема 6.7. Если функцня Дх) непрерывна на отрезке ~а, 6], то она ннтегрнруема на этом отрезке. 4 Функция ~(х), непрерывна» на отрезке ~а, Ц, равномерно непрерывна на нем ~1-5.9~. Поэтому для любого е > О найдетсятакое 8(е), чтоотрезок ~а, 6] можно разбнть на частичные отрезки длиной меньше 8(е), на каждом нз которых имебание Функции Дх) будет меньше е/(6 — а), т.е. прн максимальном ааге Ь < о(е) некоторого разбиения Т будет выполнено нера венство О ( ы; < е/(6- а).
Умножая это неравенство на длину Ьх~ > О частичного отрезка н суммнруя по ~, получаем что в силу следствия 6.2 доказывает утверждение теоремы. Э доказательство ннтегрнруемостн других классов функций "аны в Д.6.1. Здесь же ограннчнмся лишь формулировкой соответствующнх теорем. Ъ'-орема 6.8. Еслн ограннченная на отрезке ~а, 6) функ®я У(х) имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она на ннтегрнруема на этом отрезке. помощн критерия Дарбу. Более того, нз (6.21) следует, что ннтеграл от функции Дх) =хз по отрезку ~-2,3~ равен 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 228 Функцию ~(х) называют кусочно непрерывной на от резке ~а, Ц, если она непрерывна во всех точках этого отрезка, за исключением, быть может, конечного числа точек, в кото рых функция имеет разрывы первого рода.
Из теоремы 6.8 следует, что кусочно непрерывная на отрезке функция инте грнруема на этом отрезке. Теорема 6.9. Если функции Дх) н у(х) наотрезке ~а,б) различаются лишь в конечном числе точек, то ннтегрируемость одной нз этих функций равносильна ннтегрнруемостн другой, причем ь ь у(х)с8х = ~(х)с8х. Теорема 6.10. Если функция Дх) монотонна на отрезке ~а, 6], то она ннтегрируема на этом отрезке. 6.6. Свойства интегрируемых функций Установим некоторые важные свойства функций, интегрируемых на отрезке ~а, 6~.
Теорема 6.11. Если функции У(х) н у(х) ннтегрнруемм на отрезке 1а, Ь), то их произведение Дх)у(х) также ннтегрнруемо на этом отрезке. Замечание 6.2. Из теоремы 6.9 следует, что есин интегрируемую на отрезке ~а, 6] функцию изменить в конечном числе точек, то она сохранит свойство ннтегрируемости, а значение ее интеграла по отрезку не изменится. На ннтегрнруемость функции не влияет то обстоятельство, что она не определена в конечном числе точек (напрнмер, в концах отрезка). В этом случае ее можно доопределить в этих точках произвольным образом, н заданные значения функции не отразятся на величине интеграла. 229 6.6. Свойства иитегрируемых фуикций 4 В силу теоремы 6.1 интегрируемые на отрезке функции ограничены на этом отрезке, т.е. Щх)~ ( К, ]у(х)~ < Ь Ух Е ~ [а, Ь1. Согласно следствию 6.1, для произвольного е ) О найдутся такие разбиения Ту и Тд отпрезка ~а, Ц, что (6.25) ~и,'Ьз« вЂ” и ~и,"Ьз« вЂ”, Ы1 в=1 где ы,'.
и ы," — колебания функций ~(х) и у(х) на частичном отрезке [х; 1,х;1 длиной Ьх;, ~=1,я. Оценим колебание ы; функции Дх)у(х) на частичном отрезке [х; 1, х;1. По определению колебания функции имеем ы; = М; — т; = вир (~(х)у(х)) — Ы фх)у(х)). хЕ~х, 1, х;] хЯ~х; 1,х] Иначе говоря, колебание ы; этой функции можно определить как тпочнуя верхнюю грань разностей Я)у(~) —,Г(1у)у(эу), где 1 и 1~ принимают значения на отрезке [х; 1, х;~ независимо друг, от друга, т.е. а = р (УЫ)я(4) — У(ч)дИ)). 1ЛЕ1хе-1, хе] о для любых точек (,'ц Е [х; 1, х;~ верно тождество где ы; и ~4 — колебанияфункций Дх) и д(х) начастичных отрезках [х~ „х~] длиной Ьх~ и [х~ „х~~ длиной ЬхУ соответственно.
Рассмотрим разбиение Т = Ту ОТ~ отрезка [а,61 на частичные отрезки [х; 1,х;~, 1=1,п, где а ~ ~!+Й. В силу теоремы 6.2 для разбиения Т верны неравенства 230 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ иэ которого следует, что 0 < !У(~)д(~) — У(р)д(ц) 3 < !У(~) ! 3д(~) - д(р)!+ +МОГУЧИ) — У(чУ< к4+~ ;'. Поэтому для колебанияфункции Дх)д(х) наотрезке 1х; 1,х,] верно неравенство 0<о; < Х,ы,'+Кы,". Умножая (6.26) на Ьх; >О и суммируя по г, получаем в в в 0 < ~ и<Ьх; < Ь~ иЬи;+ К~и,"Ьх; < Ь вЂ” + К вЂ” = я, 1=1 ю=1 Ы1 что в силу следствия 6.2 доказывает утверждение теоремы.
> Методом математической индукции нетрудно доказать, что произведение конечного числа интегрируемых на отрезке функций интегрируемо на этом отрезке. В частности, интегрируема любая натуральная степень фх)) интегрируемой функции Дх). Теорема 6.12. Пусть функция д(х) интегрируема на отрезке 1а, Ц и Ы ~д(х)~=т>0. Тогда на 1а, 61 интежб~а, Ь) грируема и функция 1/д(х).
4 Поусловию теоремы ~у(х)~> т и 1Ду(х)~<1/т УхЕ ~а, Ц. Поэтому для любых точек х', х" Е [а, Ц 1 1 у(х") — у(х') ~д(х") — у(х') ~ у(х') у(х") д(х~)д(х~~) т~ Согласно следствию 6.2, для произвольного е > О найдется такое разбиение Т отрезка 1а, Ц, что для интегрируемой на этом отрезке функции у(х) будет выполнено неравенство (6.28) 231 6Х Основные свойства онредеаенного ннтегоава где ~; — колебание функции у(х) на частичном отрезке ~х; 1, х;~ длиной Ьх;, г=1,я. На каждом частичном отрезке, согласно (6.27), функция 1/у(х) имеет колебание ы,'.
( ы;/тпрр. Следовательно, учитывая (6.28), получаем ~=1 Ы1 т.е. в силу следствия 6.2 функция 1/у(х) интегрируема на отрезке [а, Ц. ~ Из теорем 6.11 и 6.12 вытекает следствие. Следствие 8.3. Пусть функции Дх) и у(х) интегрируемы на отрезке ~а, Ц и 1пГ ~у(х)~ > О. Тогда на 1а, Ь~ вб[в, Ь) интегрируемо и частное ~~(х)/у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
