VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Интегрирование рацио. нальной дроби х2/(2:+ 1)" при достаточно большом значении а (например, при п ) 5) приведет к громоздким выкладкам, если применить общее правило, связанное с разложением функции на простейшие рациональные дроби. Проще применить подстановку 1 = х+ 1: (~- 1)' й й= — — 2 р ~«-2 (х+ 1)" 1 2 + +С. (п 3)(х+1)«-3 (и 2)(~+1)«-2 (и 1)(~+1)«-1 Следовательно, важно не только знать, какие способы суШе ствуют для вычисления конкретного интеграла, но и выбрать среди них наиболее экономный.
Для такого выбора необход» м мы изобретательность и определенный навык, приобретаемм» практикой при решении значительного количества примеров По существу, все рассмотренные способы интегрирован»" были связаны с такими преобразованиями исходного интеграл ла, которые позволяли свести его к та6личным интпеграла~ь Однако к табличным отнесено лишь небольшое число ос»о»' 5. ИНТБГРАЛ НЬНЭТОНА Е~(х) = Р1(х)+С, Чх Е Х. (5.1) Учитывая свойство (5.1) множества ~~(х) Ых первообразных функции ~(х), можно ввести одно из важнейших понятий интегрального исчисления. $.1.
Понятие определенного интеграла Ньютона Пусть у функции ~(х), определенной в некотором промежутке Х, существует в этом промежутке неопределенный ия шеграя Дх) Ых = Р(х) + С, х Е Х, (5.2) где Р(х) — одна из первообразных функции ~(х), а С вЂ” ав стоянная интегрирования, и пусть а и Ь вЂ” любые две точк~ принадлежащие промежутку Х.
Разность Р(Ь) — Г(а) предста вляет собой приращение первообразной Е(х) при переходе О~ точки а к точке Ь. В 1.3 было показано, что дифференцирование функци® и ее интпегрирование являются взаимно обратными операция ми. Различие между этими операциями состоит в том, чт„ производная функции, дифференцируемой в некотором проц® жутке Х, есть функция, однозначная в этом промежутке, а неоиределенный интпеграя ~Дх)дх от однозначной в Х фуп кции Дх) представляет собой бесконечное множество перво. о6разкых, причем любые две первообразные Г1(х) и Рг(х) вз этого множества, согласно теореме 1.1, различаются между со.
бой на некоторую постоянную величину С„т.е. 181 5.2. Формуле Ньютона — Лейоыща Теорема 5.1..Приращения любых первообразных, вызван®ьте приращением Ьх = Ь вЂ” а переменного интегрирования х, динаковы. 4 Пусть Г1(х) и Р~(х) — какие-либо две первообразные Функции Дх). Тогда в силу (5.1) имеем Р2(а) = Е~(а) + С, ® ®Ь) = Р~(Ь)+С,. Поэтому 72(Ь) — Р~(а) = (Р1(Ь) + С,) — (Г~(а) + С,) = Г~(Ь) — Р1(а), что доказывает утверждение теоремы.
~ Определение 5.1. Приращение Р(Ь) — Г(а) произвольной первообразной Г(х) функции Дх) при изменении аргумента х от значения а до значения Ь назовем определеииым интпеаралом Ньютиона (или просто интпеаралом Нъютпона) от функции Дх) с пределами «итпеерироваиил а и Ь (нимеиим и верхним пределами интпеарироеаиил соответственно) и обозначим символом Дх) ~Ь. Таким образом, интеграл Ньютона есть число, соответствуянцее функции ~(х) и пределам интегрирования а и Ь. Это число не зависит от того, как обозначено переменное интегрирования: ~(х)~Ь = Дх) сЬ. 5.2. Формула Ньютона — Лейбница Согласно определению 5.1 интпеграяа Ньютпона, Г Дх) аЬ = Р(Ь) — Г(а). а 5.
ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Ь Дх)сЬ= Р(х) = Р(х) О (5.4) Пример 6.1. Рассмотрим простейшую линейную функцию ~(х) = 2х и вычислим интеграл Ньютона от нее по отрезку ~0, 1]. Одной из первообразных этой функции будет Р(х) = ~(х)Ых= 2хдх=х +С=х~. Тогда, согласно (5.4), получаем 1 1 1 У(х)~Ь= 2хЫх = х = 1~ — 0= 1. ф 0 о Важно еще раз подчеркнуть, что в формуле Ньютона— Лейбница можно использовать любую первообразную Йх) функции,~(х), поскольку постоянная интегрирования С все равно взаимно уничтожается при вычислении разности значв ний первообразной, соответствующих верхнему 6 и нижнему а пределам интеграла.
Пример 6.2. а. Для функции Дх) = 2~х~, х Е й, в приме ре 1.3 найден неопределенный интеграл в виде х~х~+С, ™ Это равенство называют формулой Ньютома — Лейбн Ча. Она позволяет вычислить интеграл Ньютона от функции у(г) в пределах от а до 6, если известна любая первообраз„ Р(х) этой функции на промежутке, содержащем точки а и ~ Первообразную заданной функции иногда можно найти цр® помощи табличных интегралов, применяя рассмотренные в гл. 1-4 способы интегрирования.
Разность значений первообразной, соответствующих вер . нему и нижнему пределам интеграла, часто обозначают Р(х) ~ь Ь а или [Р(х)], (когда Р(х) являетсясложнымвыражением),так что (5,3) принимает вид 183 5.2. Формула Ньютоаа — Лейбыица и одной из первообразных (при С= 0) будет Р(х) = хф. нетрудно убедиться, что на всей числовой прямой В .г'(х) = у(х) = 2~х~. Следовательно, эту первообразную можно испольвать для вычисления интеграла Ньютона по любому отрезку г© ц1 Е й. Пусть а = -1 и 6 = 1. Тогда получаем [бу 1 Дх) = 2~х~ сЬ = хф = 1 ~Ц вЂ” (-1 ~1~) = 2. -1 б. В примере 1.4.а найден неопределенный интеграл от фун®ции,~(х) = е !'! (х Е В) в виде е'+С, х<0; Дх) Ых = е ~'~ Ых = -е ~+2+С, х>0. Ясли положить С = О, то получим первообразную функции Дх) как составную функцию е~, х < 0; -е +2, х>0, для которой,Р(х) = ~(х) Чх Е И. Согласно (5.4), интеграл Ньютона от функции ~(х) по отрезку [-1, 1~ равен 1 1 У(и) их = ~е ~~Их = к(х) = (-е *+2) -1 ж=1 -1 -1 2 е — 1 — е ~ =-е +2 — е =2 — — =2 —.
ю=-1 е е ® У функции Дх) = 1/(х — 1)~ не существует первообраз«ой и на отрезке [О, 2), поскольку в точке х= 1 эта функция «ео определена и тем самым нарушено условие определения 1,1 «ер«о р«ообразной. Следовательно, согласно определению 5.1, не ествует и интеграла Ньютона по отрезку [О, 2] от этой ~)"«кции. ф 184 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА ь С1 д са+1 ~(х) йх+ Ях) йх+... + Ях) йх+... + Дх) 4х = Ь + Дх) Их = (.г1(с1-0) — Г1(а))+ (Гз(сз-0) — Р~(с1+0)) +...+ Слз + Я+1 (с~+1 — 0) — У~+1(с~+0)) +...
+ (Р„+1(Ь) — Р'„+1(с +1+0)). Пример б.З. Вычислим интеграл Ньютона от составной функции х+ 1, х Е [-1, 0); ~(х) = 81пх, х б (О, 1); Зх, х Е [1, 2~, имеющей точки разрыва первого рода при х = с1 —- 0 и х = сг = =1. Для этого функцию ~1(х) = х+1, совпадающую с Дх) на промежутке [-1, 0), доопределим в точке с1 — — 0 значением 1, а функцию Ях) = 81пх, совпадающую с ~(х) на интервале (О, 1), доопределим в точках с1 =0 и сз= 1 значениями О и яп1 соответственно. Тогда х2 0 ипхИх+ Зхох = — +х ~(х) Их = (х+ 1) Их+ -1 0 3зР 1 З вЂ” совх +-х ~ = — — сов1+1+6 — — =6 — соя ' 0 2 ~1 2 2 Если функция ~(х) на отрезке [а, Ц имеет конечное число т,„ чек разрыва первого рода с1, ..., с„, то интеграл Ньютона п„ этому отрезку определяют как сумму интегралов по частичнь,, отрезкам [а, с1], [с1, сз1, ..., [с„, Ь1, для чего на каждом из эти„ отрезков исходная функция доопределяется в концевых точка одвостороввимв пределами.
На х-м отрезке в силу иепрерие. кости фувкиви существует первообрззвал сл(х), Й = 1,о+1 и формулу Ньютона — Лейбница можно записать в виде 185 5.3. Свойства интехрала Ньютона 5.3. Свойства интеграла Ньютона Дх)сЬ =— (5.5) ~(х) ах. действительно, согласно (5,3), имеем Дх) сЬ. Перестановка пределов интеграла Ньютона в силу определения 5.1 означает, что приращение первообраэной подынтегральной функции вычисляется при изменении переменного инвегрированил в направлении, противоположном первоначальному. В частном случае совпадающих верхнего и нижнего пределов интпеграла из (5.5) следует, что интеграл Ньютона равен нулю, т.е.
при 6=а ~(х)Нх = О. 2'. Если функция Дх) имеет первообразную в промежутке ~ то для любых точек а, 6, с иэ этого промежутка 6 с ь ~Г(х) ах = ~(х) ~Ь. (5.6) М Ц самом деле, пусть Г(х) — некоторая первообразная У®"Йии ~(х) в промежутке Х. Тогда, согласно формуле формула (5.3) Ньютпона — Лейбница позволяет установить ®вкоторые важные свойства итпеграаа Ньютона. 1'. Перестановка пределов интегрирования в интеграле Оьютона изменяет его знак, т.е.
187 БА. Теорема о среднем эначеиии и ее сщ~стииа поэтому в силу формулы Ньютона — Лейбница (5.3) (Лд Ь(х)+ ЛД~(х)) Ых = Р(Ь) — Р(а) = (Лд Рд (Ь)+ ЛзРг(Ь))— а (ЛдРд(а)+ЛзРз(а)) =Лд ®(Ь) -Рд(а))+Ля(Рг(Ь) -Рз(а)) = Л( ) ь+л, $.4. Теорема о среднем значении и ее следствии Для интеграла Ньютона можно установить соотношения, дидторые либо связывают значение интеграла по отрезку 1а, Ц (т.е. с пределами интегрирования а ~~ Ь) со значением подынтегральной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка, либо оценивают его при помощи неравенств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
