VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рационааьные степени синуса и косинуса принимая во внимание, что со82х Ых = (1/2) Ы(81п2х), имеем ° 2 4 в1п х сов х =— 16 1 Их —— 16 со84х сЬ+ 1 .. х 81п 4х 81пз 2х + — 81п 2хд(81п2х) — — — — + +С. 4~ 16 16 64 48 Пример 4.11. В подынтегральной функции 1/ оба показателя т = -11/3 и д = -1/3 отрицательны, причем ихсумма т,+у= -4 — четное число (п=2, 2а=4). Деля числитель и знаменатель подынтегрального выражения на со84 х, подводя 1/со82х под знак дифференциала и используя равенство 1/соз2х = 1+~~2х, находим (1/со84 х) Их 1+ Ф~'х И(~~х) = 1~11 х 1 Их фЯ~'ж ое1х со81з $~ 11/зх ~($® ) + ® з(зхд(Фдх) = --Ф®-8/з 8 — -® ' х+С=-- с1фх — — сФд2 +С.
ф -2/3 3 3 33 2 2 8 2 ~ общем случае, если воспользоваться формулами ариведе"а (3.32)-(3.35), то интеграл 1 д в (4.7) можно выразить 'третий случай. Если и т, и д в (4.6) отрицательны, бричем их сумма является четным числом, т.е. тв+д = -2а (в ~ Я), то нужно числитель и знаменатель подынтегрального выражения разделить на соз2" х, подвести множитель 1/сов2х под знак дифференциала, а остальную часть подынтегральной функции выразить через ®х. в1п +~хсов~+~х т+д+2 ф'+ 1 + 1 1тпд+2~ Ч 7~ -1~ (4,8) у+1 Аю,д— в1п +~ х соИ+~ х т+ д+ 2 ~пад — + т+1 т+1 1 +ад, тф -1; (4,9) вш~+~хсое~ ~х д — 1 4Вл — + ~пв у-3~ 9 7~ -Ж т+д т+д вш ~ х сов~+'х т-1 Ав,д —— т+д т+д + 1 гд, 9 ~ -т.
(4.11) Если оба показателя степени являются целыми числами, то последовательное применение этиХ формул позволяет привести 1~, либо к одному из табличных интегрыое, либо к инте. гралам ах х — =1п ®~- +С или вшх 2 — =1п~Фд (-+ — )~+С. (4.12) Пример 4.12. а. Найдем интеграл от функции 1/сов~х Можно применить замену $ = вшх, но проще дважды прибегнуть к формуле приведения (4.8), принимая т=О и д=-5 и используя вторую формулу (4.12): ~Ь вшх 3 ( ~Ь вшх 3 вшх соевх 4сое~х 41 соезх 4сое~х 4 2сое~х + — + + ах вшх Зв1пх 3 (х з~~ + сов х 4сое~ х 8сое~ х 8 ~ 2 4~ ! 31 + —— 42 б. для интегрирования функции сое~х/вшзх пригодназ~' мена 8 = совх, но быстрее к цели приводит последовательно через аналогичные интегралы с ббльшими или меньшими и,„ казателями степеней: 163 4.3.
Экспонеыцмальные и гиперболические фуытсции именение формул приведения (4.9) и (4.10) и первой форму- ~ (4.12): | сов4 х савв х 3 сов4х 1 - в1п' х апз х 2в1пз х 2 з~п х 2в1пз х 3 совз х 3 совз х Вх 1 — з1п~ х Ых = — . совх— 2 3 2 з1пх 2виРх 3 1 — в1п х совх 3 ! х Их = - —, — сова — -1п~ф- +С. 2 в1пх 2вш~х 2 ~ 2 4.3. Экспоненциальные и гиперболические функции Пример 4.13.
Найдем интеграл от функции е~"/(1+е '). Используя замену ~=е~ (й=е Ых), получаем е~Ях (1+ ~) — 1 1+8 Й= 1+ ех =8 — 1п(1+Ф)+С=е — 1п(1+е )+С. Если рациональная подынтегральнал фуксия К(е"'~, е"', ..., еР" ) ~=1,п, зависит от и (= М зкспонент, показатели которых являвтся изведениями пере,менного интегрирования х на различные ~ "~®ональные числа р; Е(3,тозаменой л=е ~~, где ФЕХ— и знаменатель дробей р; (~ = Т,п), интеграл от такой Неопределенный интеграл от рациональной функции В(е~), аргументом которой является экспонента е, заменой переиеиного $ = е нетрудно привести к интегралу от рациональной функции аргумента $. 164 4.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ функции можно свести к интегралу от рациональной функца„ аргумента х. Этот путь пригоден и для интеграла вида В(вЬр1х, сЬр1х, ..., 8Ьр;х, сЬр;х, ..., 8Ьр„х, сЬр„х) ~Ь, ° ° ° ° ° если гипербааические фуксии выразить через экспоненты и„ формулам ер' +е рх и сЬр х= 2 ер' — е р' 8Ьр1х = 2 Действительно, пусть р; = г;/т; Е Я, где г; б Е, а М наименьшее общее кратное натуральных чисел т; Е Я = )., и).
Тогда, применяя замену х = ех/~ (йх = е /~ИХ/Ж), получаем ~фр1 х ер;х ер„х) пх = М~Яв~'" а~" з~"") — = Л Яйх Пример 4.14. Для подынтегральной функции + ех/2 + ех/3 + ех/в общим знаменателем дробных коэффициентов при переменном интегрирования х в показателях экспонент будет Ф = 6 Используя замену х = ех/в (й: = бих/х), запишем 1+ Ех/2+ Ех/3+ Ех/В х(1+ +"+ ')' Подынтегральную дробно-рациональную функцию в правой чэ' сти этого соотношения представим суммой простейших рапи~ где Й; = Я/т; Е Я, а Я,(х) — рациональная функция нового переменного интегрирования х.
165 4.3. Экспонеыциальыые и гиперболическке фуыкции альных дробей (см. 2.3): 1 1 А В Мх+Р (1~ х~ ха~ хз),(1 ~ )(1~ з) — + + 1 = А(1+ х) (1+ хз) + Вх(1+ хз) + (Мх -~ Р) х(1 ~- х). (4.13) Полагая я=О и х= — 1, находим соответственно А=1 и В= --1/2. Для определения коэффициентов М и Р приравняем ®рэффициенты при хз и х~ в правой и левой частях (4.13) и получим систему двух уравнений А+В+М=О, А+М+Р=О. Отсюда М = Р = -1/2. Таким образом, 1=6 — — 3 — — 3 я+1 — 4Ь= 1+ хз 3 = 61п х — 31п(1+ х) — — !п(1+ х~) — Захс®~в+ С = 2 = а — 3!п((1+ е~~~) ~/1+е~/з ) — Загсфе*~~+С. ф Интегралы вида В(вЬ х, сЬ х) Йх и вЬ~х сЬ~х(Ь, т, д Е Я, (4.14) М "'кно преобразовать аналогично интегралам от тригономе~ических функций.
Например, для первого из этих интегралов Мо 'кио применить так называемую универсальную подстановку ~Ь(х/2) и, учитывая известные формулы "- х-вЬ х=1, вЬ2х=2вЬхсЬх~ сЬ2х=сЬ~х+вЬ~х, сЬз з приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю, олу чаем 166 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ получить 2зЬ(х/2) сЬ(х/2) 2ФЬ(х/2) 21 зЬх сЬ»(х/2) — вЬ»(х/2) 1 — СЬ»(х/2) 1 — Р ' сЬ~(х/2) + зЬ~(х/2) 1+ 0Р(х/2) 1+ Р сЬ»(х/2) — вЬ~(х/2) 1 — МР(х/2) 1 — Р Ых 1 — ЙР(х/2) 2Й 2сЬз(х/2) 2 1 — Р Следовательно, 2$ 1+Р Й К(вЬх, сЬх)сЬ= 2  —, — — = В1(1)Й, Подстановке $ = ФЬ(х/2) (как и рассмотренной в 4.1 подста. новке $ = ф(х/2)) можно дать геометрическое толкование. Текущему значению переменного интегрирования х на координатной плоскости чОи соответствует точка М с абсциссой е = сЬх и ординатой и = вЬ» Эта точка лежит на ветви гяперболы (рис.
4.2). Из подобиЯ треугольников АВМ и ОВЮ следует, что Рис. 4.3 О.О О,о АМ вЬ х 2вЬ(х/2) сЬ(х/2)» 1 ОВ АВ 1+ сЬ х 2сЬ~(х/2) 2 т.е. ордината точки .0 равна ФЬ(х/2). При движении точки ~ по гиперболе новое переменное интегрирования $ изменяет"" в интервале (-1, 1). где й1($) — рациональная функция нового переменного инте грирования $. 4.3. Экспоненциальиые и гиперболические функции В конкретных случаях вместо универсальной подстановки часто быстрее к цели можно прийти при помощи замен $ = сЬх, $ =аЬх и ~= йЬх. Первые две из них удобны, если' нодынтегральная функция нечетна относительно аЬх и сЬх соответственно, а последняя — если подынтегральнал функция четна по совокупности аргументов аЬх и сЬх.
Пример 4.1Б. а. Для подынтегральной функции сЬгх/аЬзх применим универсальную подстановку 8 = сЬ(х/2) и получим 1 (1+Р)гй 1 1 Р 4 Р 8Р 2 В = — — +-1пф+ — +С= сЬх 1 х =-- — +-1пф+С= — +-1п й,— +С. 2 (2$)г 2 2аЬгх 2 2 б. Применение универсальной подстановки к подынтегральной функции аЬах сЬзх приводит к громоздким выкладкам.
Поскольку зта функция является нечетной относительно СЬх, используем замену $ = аЬ х (Й = сЬ х Их) и вычислим ВЬ хсзр хЫх = |(1+8Ь з) ВЬ хсЬхИх— (1+$)$ й= — + — +С=-аЬ х+ — аЬ х+С. г а ~ ~ 1 9 1 11 9 11 9 11 в Числитель подынтегральной функции 2аЬ х+ ЗсЬх 4аЬх+ 5сЬх с ставим в виде линейной комбинации знаменателя и произ"-ои знаменателя: 2аЬх+ ЗсЬх = А(4аЬх+ 5сЬх) + В(4сЬх+ 5аЬх). 168 4.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Приравнивая коэффициенты при зЬх и сЬх, получаем д уравнения для определения коэффициентов А и В: 4А+ 5В = 2 и 5А+4В = 3. Отсюда А = 7/9 и В = -2/9. Следовательно, 2зЬх+ЗсЬх 7 /' 2 ~ И(4зЬх+5сЬх) 4зЬх+ 5сЬх 9 / 9,/ 4зЬх+5сЬх 7х 2 = — — — 1п(4зЬх+ 5сЬ х) + С. 9 9 г. Для четной относительно сЬх подынтегральной функ. ции сЬ~х вместо возможной подстановки 8= йх целесообраз но дважды применить формулу понижения показателя степени в виде сЬ~х = (1+сЬ2х)/2. Тогда получим 1 1 1 (1+хЪ2х) Мх = — 1+2хЪ2х+-+-хЪ4х) (Ь = ,4 2 2 сЬ хЫх=— 4 4 Зх 1 1 = — + -зЬ2х+ — зЬ4х+С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
