VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Используем замену «еременного ~+ 6 уу6 сж+ е 102 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Тогда б ~ ~ ~ ~ ~ т 1 ах+ б х® х ($) — и — $ — Р © сапа ' (а Дт) 2 сх+ е будут рациональными функциями переменного $ и в итоге В х,,...,,..., ~Ь= ест В,Р', ..., Р', ...,Р х'($)й= В (1)Й, (3.6) а — с$ где подынтегральная функция е~ю В'(~) = В, Р, ..., В', ..., ~ © Дт' является рациональной функцией переменного 8. Таким образом, интегрирование функции (3.5) можно свести к интегрированию рациональных фо6ей с последующим возвращением к исходному переменному путем обратной замены ах+ б сх+ е Ясно, что таким же путем можно найти интеграл вида л(а, (ах+6)", ..., (ах+6)", ..., (ах+6)") ых, (3.7) ° ° ° который следует из (3.6) при с=О и с=1 (ау'-О), и интеграл (3.8) получаемый из (3.7) при а=1 и б=О.
Пример 3.1. Найдем интеграл от функции 1/(~Д+ фх) который соответствует виду (3.8), так как подынтегральная э.2. Интегрирование редикалав от дробно;аноейиом фуикции 103 ,ункция является рациональной относительно переменных ~Д ф~х. В данном случае г1 — — 1/2 и гр = 1/3, т.е. для тих дробных показателей степени общий знаменатель т = 6. 'орда, сделав замену переменного х = Р (сЬ = 6Р й), придем интегралу ах ~д+ ~з хх вляющемуся интегралом от неправильной рациональной оро,'в. Добавлением и вычитанием единицы в числителе подынегральной функции приведем дробь к сумме многочлена и ~равальной рациональной дроби, а затем проинтегрируем сум6 — =6 й=6 (8~ — $+1)й— ~з,~~ (~з+ ц $+1 8+1 Й Р Р вЂ” 6 — = 6 — — — + $) — 6 1и )$ + Ц + С.
8+1 3 2 Ьзвращаясь к исходному переменному х, получаем з — — 2~~х — 3~зх+ 6фх — 61п (фх + 1) + С. 4~ /х ~ з/ Иногда к интегралам вида (3.6)-(3.8) удается прийти после редварительных тождественных преобразований. Пример 3.2. Подынтегральную функцию 1/ етрудно преобразовать к функции 1 з 2 — х (2 — х)з 2+ х' ациональной относительно переменных х и 'данном случае т=З и можно использовать замену 2 х з 2+х 104 3. ИНТЕГРИРОВА НИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Отсюда ~з 12Р,Р~ 1 1+ ~з х=2 — 1 ах=— и +~з (1+влзр 2 — х 4~з Выполняя указанную замену переменного, получаем з2 — х сЬ 2+х (2 — х)з (1+~з)з 12Р~Ц (4~зР (1+ ФзР— 3 3 = — +С=— 8~2 3.3.
Подстановки Эйлера Неопределенный интеграл ) ~Ь, а,б,сЕК, афО, 6 ф4ас, (39) можно свести к интегралу от раииональной функции переменного 1 при помощи одной из следующих замен переменного, называемых подстпаное мами Эйлера. Первая подстановка Эйлера. Если в (3.9) а > О, то полагают = =сх«/а+ 1. (3.10) Выберем для определенности перед «/а знак плюс и после возведения обеих частей (3.10) в квадрат получим ах + ох+с= ах~+2х1«/а+1~, откуда х($) и х'(1) будут рациональными функциями Ф: Р— с, -д«/а+ Ьй — с«/а Ь- ж /а (Ь- ж«/а~' 105 з.з. подстановки эйлера 1~ оме того, Р— с = ~/ах+ ~ = ~~а+ ~.
6 — 2$~Га ~адским образом, подынтпегральная функция в (3.9) после замены. (3 10) станет новой рациональной функцией В1($) переменно- го ~: В х, ахз+дх+с 0х= Р— с Р— с -В~~а+ Ы вЂ” с~а 6 — 28~/а' 6 — 21~/а (6 2~ /~~)з В1(~) й. = х$ =Е ~~с. (3.11) Выберем для определенности перед ~/с знак плюс. Тогда после возведения обеих частей (3.11) в квадрат будем иметь ах~ + 6х + с = х~$~ + 2х$~/с+ с, 28~/с- 6, Р~/с - М+ а~/с а — Р (а — Р)з и кроме того, 21~/с — д ахи+ 6х+ с= х1+ ~/с = 8+ 4с. а — Р одставляя эти выражения в (3.9), получаем ф 28~/с-Ь 2$~Д-6 1 Ф~,~с-ИЗ+а~с ~2 ' ~2 ~/ (о ~2) 2 $+~/с й= Вр(~) й, Вторая подстановка Эйлера.
Если в (3.9) с > О, то полагают 106 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ т.е. подынтегральная функция будет некоторой рационально» функцией Вз($) переменного $. Замечание 3.1. Рассмотренный случай с > 0 всегда можно привести к случаю а > 0 (и наоборот) заменой в (3.9) х на 1/х, т.е. можно применять только первую (или только вторую) подстановку Эйлера. Третья подстаиовка Эйлера.
Если квадратиный тпрех член ахз+6х+с имеет действительные нули а, ~8 б й, то можно положить =(х-а)$. (3.12) Возводя обе части (3.12) в квадрат и учитывая разложение ах +бх+с= а(х — а)(х — ф), получаем а(х — а)(х — ф) = (х — а) $ и далее х($) =, х'($) =2а$ и аф-аР,,8 — а а — Р (а-Р)з Подстановка этих выражений в (3.9) приводит к тому, что подынтегральная функция становится рациональной функцией Вз(8) переменного Й ~ж(*, ахи+ Ьх+с ах = а8-аР Д вЂ” а Д-а =2а В, а — $ $й= Вз(8)й. а-Р ' а — Р (а-Р)з Замечание 3.2. В последнем случае при условии х ф а можно записать х — ф = (х — о) а— З.З. Подстановки Эйлера 107 е й(Р+ А) й (Р+ А)йг ~( вращаясь к исходному переменному х, получаем тпабличный ~~пеЧим 16 — „длинный логарифм": = 1п)и+ 1/Р+А)+С. Ых хе+ А ~ подынтегральную функцию в (3.9) считать рациональной ~уикцией аргументов х и а(х — ф)/ х — о).
Этот случай ,ке рассмотрен в 3.2, причем подстановка а(х-Д)/(х-а) = . ~ тождественна третьей подстановке ЭЙлера (3.12). Замечание 3.3. Покажем, что первой и третьей подста,овок Эйлера достаточно, чтобы во всех возможных случа,х рациональной подынтегральной функции аргументов х и ах +бх+с привести ее к рациональной подынтегральной ~уикции одного переменного 8. В самом деле, если дискри~инант квадратного трехчлена Р— 4ас > О, то нули этого ~рехчлена действительные и простые (различные) и тогда применима третья подстановка Эйлера. Если же Р-4ас< 0, то ~ули трехчлена комплексные сопряженные и подынтегральная ~ункция в (3.9) имеет смысл при условии а > О, а тогда применима первая подстановка Эйлера.
Наконец, при бз -4ас = О ~ули трехчлена действительные кратные (а = Д) и подынягральная функция в (3.9) является рациональной функцией 1дного переменного х. Пример 3.3. а. Найдем интеграл от иррациомааьной фуксии 1/~хе+А. Так как козффнпневт прн хе положнтелев в= 1), то можно использовать первую подстановку Эйлера, ~ричем в данном случае целесообразно выбрать в (3.10) перед /а=1 знак минус, т.е. принять т/Р+А = — х+8. При этом Р-А Р+А В+А — Их= — й хе+А= $=х+ хе+А. 2 2Ф 2$ 7 1одставив эти соотношения в подынтегральное выражение, цФишем 108 3.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ б. У квадратного трехчлена 7х- 10-х~ оба кмффициент» а и с отрицательны. Поэтому при нахождении интеграла о~ функции х/ (7х — 10 — х~)з ни нервам, ни втораи подстановк» Зйлера не применимы. Но трехчлен имеет действительные нул» х1 — — 2 и хр — — 5. Следовательно, можно использовать треть|о подстановку Зйлера = (х -2)$. Отсюда 5 — х=(х — 2)Р и 5+ 2Р бай х=, пх=— Р+1 ' (Р+1)г 3$ =(х-2)»=— ~~+ 1' Подставив зти соотношении в подынтегральное выражение, получим (5+2~2)($2+ 1)ЗР (~2+ 1)(3,)з(Р+1)2— 5+2Р 2 5 2 5 й=-- —,+2 й= — --2~ +С. /(х — 2), то в итоге имеем Поскольку 8 = — — — 2 +С= 2 5(х-2)~-2(х — 2)(5-х) 2 7х-20 +С вЂ” ° +С 9 (х — 2) 7х — 10 — х~ 9 7х — 10 — х~ 3.4.
Другие приемн интегрирования Как было показано в 3.3, одна из иодсшановок Эйлера непре менно приводит интеграл от функции вида В(х, ах + 6х+ с (3.2) к интегралу от дробно-рациональной фрикции нового ар 109 ЗА. Другие приемы интегрирование „умента 1. Однако нужно иметь в виду, что, вообще говоря, Одстановки Эйлера ведут к громоздким выкладкам, и поэтому ~ ним следует прибегать лишь тогда, когда не видно других утей к вычислению данного интеграла.
Для вычисления многих часто встречающихся интегралов от функциЙ вида (3.2) уществуют более простые приемы. Например, в 1.5 рассмотрены приемы нахождения интеграпа от функции (тх+я)/ ахз+6х+с, который выделенияи полного квадрата под радикалом с последующей заменой я+6/(2а) на 1 можно преобразовать к двум интегралам: Р | (т,х+ п) ~Ь М$+ Х 1й й й=М +У ах1+6и+с ~Гав+К ~аР+К ~аР+К аале М, У и К вЂ” новые коэффициенты, получающиеся после замены переменного. Первый из интегралов справа можно привести к интегралу от степенной функции, а второй — к логарифмической функции (при а > О) или к арксинусу (при а<0, К) О).
Ниже рассмотрим и другие приемы вычисления неопределенных интегралов от функции вида (3.2), отличные от подстановок Эйлера. Функцию (3.2) тождественными преобразованиями можно ИРивести к сумме дробно-рациональной функции и функции Вида (3.3). Действительно, представим (3.2) дробью 1 Р,(х)+Я,(х) ах +6х+с Че Р'(х), Р,(х) и ц'(х), Ч,(х) — многочлены. Умножая ~испитель и знаменатель этой дроби на выражение Р,(х) -' Я,(х) ахи+ Ьх+ с ае "пуская обозначение аргумента х у многочленов, получаем Р Р, — Я'Я,(ахз+6х+с) + Я'Р, — Р'Я,) Рз — Я2(ахи+ 6х+ с) 110 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ или в итоге ) ~ Я(х) В(х, где Р (х)Р,(х) — Ч'(х)ч,(х)(ах~+ Ъх+ с) Р~(х) — Я(х) (ах~+ Ьх+ с) В,(х) = (Р,(х)Я'(х) — Р'(х)Я,(х) ) (ах~+ Ьх + с) Р~(х) — ЯЦх)(ах~+ Ьх+ с) Интеграл от дробно-рациональной функции В(х) нетруд но найти способами, рассмотренными ранее (см.
2). Дробно- рациональную функцию В,(х) всегда можно разложить на многочлен Р„(х) = аох" +а1х" 1+...+а„1х+а„и простпейшие рациоиальные дроби, так что функция В,(х)/ представйма линейной комбинацией функций вида: Р„(х) (3.13) (3.14) (х~+ рх+ д) Здесь Й, т Е Х и о, р, д Е Ж, причем р~ < 4д, т.е. нули квадратного трехчлена х~+рх+у комплексно сопряженные Перейдем к рассмотрению более простых по сравнению с применением подстановок Эйлера способов интегрировани~ функций (3.13)-(3.15). Сначала установим рекуррентное соотношение для нахождения интеграла х" ах (ЗЛб) ~ 1 ЗА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
