VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, эапи шем систему иэ четырех линейных алгебраических уравнений А1+В=О, А — 2А1— - а, А1 — 2А=Ь и А=с, содержащую три неизвестных коэффициента А, А1 и В. Исключив из этой системы неизвестные коэффициенты, найдем требуемое условие в виде а+ 2Ь+ Зс= О. 4~ Общий метод выделения рациональной части при интегрировании правильных рациональных дробей был предложен в 1844 г.
русским математиком М.В. Остроградским (1801-1862). Существенная особенность метвода Островрадсяово состоит в том, что он позволяет без нахождения нулей знаменателя правильноЙ рациональной дроби выделить рациональную часть неопределенного интеграла от такой дроби. Теорема 2.3. Пусть Р (х) и Я„(х) — многочлены с действительными коэффициентами степени т > 0 и а > О ерответственно, причем т<п и многочлен Я„(х) имеет несовпадающие с нулями многочлена Р (х), вообще говоря, кратные нули (действительные и комплексно сопряженные).
Тогда интеграл от правильной рациональной дроби Р„,(х)Я„(х) можно представить в виде суммы рациональной и трансцендентной частей: «Ь= ' + Р (х) Р,(х) Я„(х) Я„ «(х) (2.34) где Я„«(х) — наибольший общий делитель (НОД) многочле. на ц„(х) и его производной Ч'„(х); ©(х) = ©,(х)/Я„«(х), а после приведения правой части последнего равенства к общему знаменателю получим 2. ИНТЕГРИРОВА НИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 84 со второго) слагаемого в (2.36) в силу (2.11) содержит ра циональную часть в виде правильной рациональной дроби в трансцендентную часть (арктангенс), которую можно предста. вить как неопределенный интеграл от первого слагаемого в (2.36) при М~', =О. Если объединить рациональные части всех упомянуты~ интегралов и привести их к общему знаменателю, то получиц правильную рациональную дробь вида Р,(х)Я„~(х) (8 < п — 1), знаменатель которой является многочленом степени и-1, где ! = Х+2.7.
Трансцендентную часть интеграла от рациональной дроби Р (х)Я„(х) можно представить как сумму интегралов от слагаемых вида .0 Ех+ Г и х — в„ х2+ р~х+ щ Приведение этих слагаемых к общему знаменателю даст пра- вильную рациональную дробь Р~(х)Щ~(х) (1 < 1), знаменатель которой является многочленом степени ! = Х + 2.7 и имеет только простые нули.
Ясно, что (2.37) Я„(х) = Я„у(х)ф(х). Таким образом, справедливость (2.34) доказана. Чтобы правильную рациональную дробь Р„,(х)Я„(х) разложить на простейшие, нужно знать все нули знаменателя Я„(х). Однако многочлены Я„с(х) и ©(х) можно найти и не 86 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обе. их частях (2.40), получим систему из и линейных алгебраиче.
ских уравнений относительно п неизвестных коэффициентов многочленов Р,(х) и Р~(м). Эта система имеет решение, так как интеграл может быть представлен в виде (2.34). Такое решение существует при произвольном наборе коэффициентов многочлена Р (х). Поэтому определитель системы отличен от нуля, что обеспечивает единственность ее решения ~1Ч1. Отсю да следует единственность представления (2.34). Ф Итак, метод Остроградского выделения рациональной части интеграла от правильной рациональной дроби не связав непосредственно с операцией интегрирования и состоит в сочетании нахождения НОД знаменателя этой дроби и его производной с методом неопределенных коэффициентов.
Но методом Остроградского удобно находить и трансцендентную часть этого интеграла, так как при этом приходится интегрировать более простую правильную рациональную дробь, знаменатель которой имеет лишь простые нули. Поэтому интегрирование можно свести в итоге к нахождению интегралов от простейших дробей только первого и третьего типов, т,е. метод Остроградского позволяет избежать трудоемкого интегрирования дробей четвертого типа. Пример 2.12. Найдем рациональную часть неопределенного интеграла от правильной рациональной дроби 1 Дх)— хб+ 6х4+ 13хз+ 14х~+ 12х+ 8 В данном случае т=О и п=5, причем Р~(х) = Р0(з) = 1 я Я„,(х) = Яб(х) = м5+ 6м4+ 13мз+ 14х~+ 12х+8. Сначала найдем Я„~(м) как НОД многочлена Я5(ю) и ег0 производной Я'(ж) =5м4+24хз+39м~+28х+12, используя алгоритм Евклида [1Ц. Напомним, что сперва делим Ч5(ж) на ф(л); если остаток равен нулю, то цб(м) и является НОД; 8 противном случае ф(х) делим на остаток, затем первый остз- 87 Д.2.1.
Метод Остроградского Ьхв+30х4+ 65хз+ 70хг+ 60х+ 40 бхв+24х~+ 39хз+ 28хг+ 12х 6х4+ 26хз+ 42хг+ 48х+ 40 30х4+130хз+210хг+240х+200 30х4+144хз+234хг+168х+ 72 — 14хз- 24хг+ 72х+128 7хз+ 12х — 36х — 64 35х4+168хз+ 273хг+ 196х+ 84 35х~+ 60хз — 180хг — 320х 108хз+ 453хг+ 516х+ 84 756хз+3171хг+3612х+ 588 756хз+1296хг -3888х -6912 1875хг+7500х+7500 хг+ 4х+ 4 7хз+12х2 — 36х — 64 7хз+28хг+28х -16хг -64х -64 -16хг -64х -64 ок на второй и т.д. до получения остатка, равного нулю; тогда следний не равный нулю остаток будет НОД.
Если остаток ляется числом (многочленом нулевой степени), то принимают 8ОД равным единице. При этом исходные многочлены будут аимно простыми (это означает, что многочлен ЯБ(х) не име- ~ кратных нулей, а интеграл от заданной рациональной дроби ие содержит рациональной части). При делении любой из мноочленов можно умножать на число, не равное нулю. Поэтому НОД определен с точностью до постоянного множителя. НОД обычно записывают так, чтобы коэффициент при его старшей степени был равен единице.
Итак, при последовательном делении „уголком" получим 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Таким образом, НОД ц5(х) и Я~5(х) будет Я„1(х)— = х~+4х+4= (х+2)~, т.е. многочлен Я5(х) имеет трехкрат ный нуль х=-2. Делением Яз(х) на Я„~(х) получим хз+6х~+13хз+14х2+12х+8 х2+4х+4 хз+4х4+ 4хз хз+2х2+х+2 4+ 9хз+14х2+12х+8 2 4+8хз+8 2 хз+ 6хз+12х+8 ,з+ 4хз+ 4х 2х2+ 8х+8 2х2+ 8х+8 0 Итак, ф(х) = хз+2х2+х+2= (х+2)(х2+1), т е. 1= 3. Непосредственной проверкой нетрудно установить, что х + 2) з(х~ + 1) = хб + 6х4 + 13хз+ 14хз + 12х+ 8 Правильную рациональную дробь Р~(х)/Щх) в (2.34) представим суммой двух простейших и запишем 4Ь хз + 6х4+ 13хз+ 14х2+ 12х + 8 .Π— Их+ х+2 Ах+ В (х+ 2)2 Дифференцируя обе части этого равенства, получаем 1 хз+ 6х4+ 13хз+ 14х2+ 12х+ 8 А Ах+В В Ех+Р (х+ 2)г (х+ 2)з х+ 2 хг+ 1 После приведения слагаемых в правой части к общему знаменателю имеем 1 = А(х+2)(х~+1) — 2(Ах+ В)(х +1)+ +0(х+2)~(х +1)+ (Ех+ Р)(х+2)~.
Д.2.1. Метод Остроградского уиравняем в обеих частях этого тождества коэффициенты ри одинаковых степенях х и получим систему из пяти ли- ейных алгебраических уравнений В+ Е =О, -А +4В+ 6Е+ Г = О, 2А — 2В+5.0+12Е+ 6Р = О, — А +4,0+ 8Е+12Р= О, 2А -2В+4Х) + 8Р= 1 хО Ах+ В 8х+ 21 (х+ 2)2 50(х+ 2)2 Значения коэффициентов В, Е и Е позволяют найти и трансцендентную часть этого интеграла: Ех+ Г 2 х2+1 " 11 11 = — 1п ~х + 2~ — — 1п (х2+ 1) + — агсф~ х + С. 125 250 125 Окончательно получим Ых х~+ 6х4+ 13хз+ 14х2+ 12х+ 8 8х+ 21 11 (х+ 2)2 2 50(х+ 2)2 250 х2+ 1 125 ПРимер 2.13. Проинтегрируем методом Остроградского равильную рациональную дробь Дх) = х/((х — 1)2(х.+ 1)з).
Относительно пяти неизвестных коэффициентов, Решая эту систему, находим А = -4/25, В = — 21/50, 0 = — Е = 11/125 и К=2/125. В итоге рациональная часть интеграла равна 90 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 1 2+В +Р (~ 1)2(~ + 1)3 (г. 1)(~ + 1)2 +Е Дифференцируя обе части этого равенства, получаем м 2Ам+В (х — 1)2(х+ 1)3 (2. — 1)(м+ 1)2 (Ажг+ Вх+ Р) ((а+1)2+ (ж -1)2(а+1)) Е Р (х — 1) 2(х+ 1)4 м — 1 я+1 После приведения слагаемых в правой части к общему знаме- нателю запишем х = -Ах +(А — 2В)з~+( — 2А — ЗР)х+Р— В+ + Е(з — 1)(2+1)3+ Р(хг — 1)2. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях л в обеих частях этого тождества, придем к системе из пяти линейных алгебраических уравнений Е+ К=О, +2Е =О, 3 Хг А — 2В -2Г= О, — 2А+ В -ЗР -2Е = 1, — В+ Р— Е+ К=О хо В данном случае нет необходимости находить в (2.34) Я„~(~) как НОД многочлена Я„(х) = (м — 1)2(я+1)3 и его произвол.
ной, поскольку нули этого многочлена известны: двукратны» действительный нуль х =1 и трехкратный действительны» нуль х= — 1. Поэтому 1=2, п-1=5-2=3, ф(х) =Яг(х)- =(х — 1)(х+1), Я„~(з) =Яз(ю) =(х — 1)(к+1)2 и 8(п — 1=3, Представив в (2.34) Р~(ю)(ж)/ф(х) суммой двух простейших рациональных дробей, запишем Д.З.1. Метод Остроградского ,®осительно пяти неизвестных коэффициентов. Решая эту р%' сс стему, получим А=В= — 1/8, Х~=-1/4 и Е=-г =-1/16. й ким образом, в итоге хсЬ х2+х+ 1п +С. (х — 1)2(х+ 1)з 8(х — 1)(х+ 1)2 16 и, согласно методу неопределенных коэффициентов, искомый интеграл можно представить в виде Ах2+ Вх+.0 + (х+ 1)2(х2+ 1)2 (х+ 1Нх2+ 1) — Ых+ Е Ух+О Ых.
(2.41) х+1 х2+ 1 Дифференцированием (2.41) получим 1 2Ах+ В (х+ 1)'(х'+ 1)' (х+1)(х2+ 1) (Ах2+ Вх+ В)(Зх2+ 2х+ 1) Е Рх+ С (х+1)2(х2+1)2 + х+1 х2+1 ' осле приведения правой части к общему знаменателю запишем =(2Ах+В)(х+1)(х +1) — (Ах +Вх+Х))(Зх +2х+1)+ + Е(х+ 1)(х2+ 1)2+ (Ух+С)(х+ 1)2(х2+ 1). Пример 2.14. Найдем методом Остроградского интеграл он нраанльной рациональной дробн 1/[~а+ 1)~(н~+ 1)ь]. 'Еа знаменатель имеет двукратные действительный нуль х = -1 я комплексно сопряженные х = Ы, Поэтому НОД много- члена Яе(х) = (х+ 1)2(х2+ 1)2 и его производной Щх) = -~~)5(х) будет многочлен Яз(х) = (х+1)(х2+1), причем частное Яе(х)Яа(х) совпадает с Яз(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
