VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Таким образом, для данного случая в (2.34) Яи ~(х) =Ф(х) =93(х) =(х+1)("+1) 92 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, придец к системе шести уравнений Е+ Е =О, -А + Е+2г + 0=0, — В + Е+ У+0=О, А -В -ЗР+2Е+2Р+20 = О, 2А — 2В+ Е+ К+20=О, хг  — В+Е +0=1 А+Π— 30= О и А+Π—.0= О, откуда следует, что .0 =0 и А = -О. Теперь второе и шестое уравнения приводят к системе уравнений 20 — Е = О, 20+ Е = 1, имеющей решение 0=1/4 и Е=1/2.
Затем найдем А= — 1/4, В=1/4 и Г= -1/2 и вместо (2.4Ц запишем «Ь хг — х (х+ Цг(хг+ Цг 4(х+ Ц(хг+ Ц Последний интеграл справа разложим на два и в первом из них подведем 2х под знак дифференциала. В итоге получим Нх г (х+ цг(хг+ цг — 4(х+ ц(хг+ ц 1 1, 1 + -1п~х+ Ц вЂ” -1п~х + Ц+-агсФдх+С. 2 4 4 с шестью неизвестными. Из первого уравнения имеем Е= = -Р. Тогда из третьего получим В = О, а четвертое и пятое уравнения примут вид 3.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ интегрирование по частям, обозначив и = х" "'+1: х"(а+Ьх )"«Ь= х + х 1(а+Ьх )™Йх= и=х~ +1, Йс = (Й вЂ” т+ 1)х~' «Ь (а+ы )"+' — «~„х~-1(а+ Ь )и «Ц „(Р тп(п+ 1)Ь х + (а+Ьх )"+ Й-т+1 1 и ~(а+Ьхт)п+1йх (2 44 т(п+ 1) Ь т(п+1) Ь,| Используя (2.44), после ! последовательных интегрирований по частям придем к интегралу ~х 1(а+Ьх )"+~Их, вычисляемому при помощи формулы вида (2.43). Пример 2.15. Проинтегрируем функцию х5(1+ х2)зз. Ясно, что в данном случае при и = 33 применение формулы бинома Ньютона не рационально. Согласно (2.44), при Й = 5, т=2 и ! =2, дважды интегрируя по частям, получаем ( ) х4(1+ х2)34 4 х (1+х ) Ых= ' ' хз(1+х2) Ых= 68 68 х4(1+ х2)з4 х2(1+ х2)з5 + (1 + 2)35,У 68 17 70 17 70 4(1+ х2)34 х2(1+ 2)зь (1+ 2)36 68 1190 42840 Отметим, что (2.42) остается в силе при ЙЕ Е~( — Ц я пЕЕ, а (2.44) — при Й«=-Е и пЕЕ~(-Ц.
В частном случае когда бином линейный (т = 1) и Й Е И, х~(а+ Ьх)"Их = — (Х вЂ” а) Х"ЫХ = — — (2.45) ~1(- )'(а+ Ьх) "+"-'+1 — ~~.6 ~.'- И(й-;)Цй+.;+1) !! у.у. Интегрирование рациональных функций, содержащих биномы 95 Ы(-а) "+"+1 ()с+ п+ 1)! (-н — 1)! 1п ~а+ 6х~. 3. Если и й(0, и н(О, то, обозначив и= — й и и=-п, с учетом (2.45) можно написать ха(а+ 6х)пах = хх(а+ Ьх)и — 1 ! (Х/х — Ь)"+" 2 а"+"-' У (д./х)" -1 (я+и — 2).'(-6)'(а/х+6)" ' 1 ам+и-1 д (м+ и — 2 — 2)! (яс - г — 1) причем слагаемое при 2' = м — 1 следует заменить под знаком суммы на (х+ и — 2)! (-6) 1 а 1 — +6. (м — 1)! (и — 1)! х 4.
Если подынтегральное выражение (а+ бх)" (р+ ух)~Ых включает произведение двух линейных биномов, то заменой переменного х = (х — р)/д это выражение можно привести к Уже рассмотренному виду ха(Ь+6х)"~Ь/д"+', где Ь = ау- 6р. Рассмотрим подынтегральную функцию х~/(а+бх )" (и Е 3, и б И) для некоторых значений т. При т = 2 ~ нечетном Й = 2!+ 1 (! ~ Е) подынтпегральное вырамсение х2~+1 4х/(а+6х2)" подстановкой х2 = л (2хдх = Их) можно ести к выражению (1/2)ЬЬ/(а+6х)", содержащему линейм ~н бином.
В случае четного й = 2! (! Е И) интегрированием по о частя хИ ! х28-1 2! — 1 (а+ бх2) 2(и — 1) 6(а+ бх2)"-1 2(и — 1) 6 х2~ 2Ых (а+бх2) -1 где Х=а+6х, причем слагаемоев сумме при 1=1+и+1 (это гаемое присутствует при 1 < — н < Й+ 1) следует заменить ®а выражение 96 2.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ следует последовательно понизить степень х под знаком инте. грала до нуля и затем воспользоваться обобщением рекуррент ного соотношения (1.27) ах х (а+ бх~)" 2(и — 1)а(а+ 6хз)" 1 + 2и — 3 ~Ь 2(и — 1)а (а+6х2)" 1' При интегрировании функции вида 1/(х (а+6хэ)") (и, и Е Я) проще всего использовать ее разложение на простейшие рацио. нальные дроби (см. 2.3). В случае т =3 можно пойти таким путем. Подынтеграль. ное выражение преобразуем при и > 1 и Й Е Е к виду х~-з~~х х~-з +4,Ца~хз+ 6) (а+ бхз)" (а/хз+ 6)" За (а/хз+ 6)" Далее интегрированием по частям й зи+4Ца~х +6) (а+6х )" За,/ (а/х +6)" Й-зи+4 Зи+4 хь-з +ЗНх За(и 1)(а/хз+ 6) -1 За(и — 1) (а!хз+ 6) -1 х"+1 Й вЂ” Зи+4 1 х~~Ь За(и — 1)(а+6хз)" 1 За(и — 1),/ (а+6хз)" ' последовательно понизим до единицы степень бинома в знаменателе подынтегральной функции, а затем также интегрированием по частям по формулам х~ах х" ~ а х~ зах (й — 2)6 6 а+ бхз ' Й>0, или х (а+бх ) (х-1)ах 1 а~ х з(а+6х )' Вощюсы и задачи идем к одному из следующих неопределенных интегралов: Йх а (х+ а)2 а 2х — а — = — 1и + агс® +С; а+ Ьхз ба ~х2 — ах+ а2] а~/3 о хйЬ 1 (х+а)2 1 2х — а — =- — !и + агсф~ + С; а+Ьхз баЬ ~х2 — ах+а2~ аЬ 4 а /З хз Ь = — 1п х(а+ Ьхз) За +С, а+ Ьхз гпе о = ~и/6.
Аиалогичиый прием можно испольэовать и в случае других значений т Е Я. Вопросы и задачи 2.1. Доказать, что если в (2.1) числитель и знаменатель не имеют общих нулей, т.е. рациональная дробь несократима, то и правильная рациональная дробь, выделенная из (2.1), согласно (2.2), также несократима. 2.2. Найти интегралы от функций: 2х2 5 х2 а); б); в) х4 5х2+ б (х2+ бх+8)2 х5+ х4+ хз+ х2+ х+ 1 х2 1 1 1 г) —; л) и тбИ; е) а+ Ьх4' х(а+ Ьхш) х2тп+ 1' ' а+ Ьх4' х 1 и) —; э) а+ Ьх4 х11+ 2хб+ х 2.3. Найти рациональную часть интегралов от правильных рациональных дробей: Зхь+ 4хз+ х 2 — 5хв 1 — б4хл ~хе (хз+х+ Ц2 ~ (хб+ 1)2' ) (1+х8)2 2 — Зх+ х2 (х+ 1)2(х2+ х+ 1)2 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 2.4.
Применяя метод Остроградского, найти интегралы о рациональных функций: 2 — Зх+ х 4хз — 1 хгг 1 [х+цз~хз» х+цз' ~ (хз+х+цг х (хг цг "г ~ г+цг,' ( 3+1)( ЦХ 6+1 (х3+ х+ 1)3' х4+ Ях3+ Зхх+ 2х+ 1' (х2+ х+ 1)2' 2.6. Найти условие, при котором интеграл от заданной функции является функцией рациональной: ахХ+ Ьх+ с, а1хХ+ Ь1х+ с1 а) б), Ь вЂ” 4ас ~Е О и а ~6 0 х5 — 2х4+ хз' ~ (ах2+ Ьх+ с)2' Р„(х) в), где Р„(х) — многочлен степени в. (х — а)в+1 3. ИНТЕГРИРОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ Под арраа~иомамьным понимают выражение, в котором ®езависимое переменное х или многочлен Р„(х) некоторой тепени п Е И входит под знак радикала ~от латинского пфх — корень), т.е. возводится в дробную степень. Таким образом, в отличие от рационального выражения В~х), в котором при вычислении его значения над х проводят только арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) и возведение в целую степень, в иррациональном выражении выполняют еще и извлечение корня.
В предыдущей главе изложены правила интегрирования рациональных функций. Некоторые классы иррациональных относительно х подынтегральных выражений заменой переменного удается свести к рациональным выражениям относительно нового переменного и применить уже известные правила интегрирования. Ниже рассмотрены характерные случаи, в котоРых возможно такое преобразование, 3.1. Рациональные функции от радикалов Понятие рациональной функции одного переменного можно распространить на несколько аргументов.
Если над каждым ®з аргументов и, о,..., ж при, вычислении значения функции предусмотрены лишь арифметические действия и возведение в "елу40 степень, то говорят о рациональной функции этих аргумен ентов, которую обычно обозначают В(и, е,..., ти). Аргументакои функции могут быть сами функциями независимого Фере менного х, в том числе радикалами вида $~х ~тп Е И) 1Ж~з~, где Р„(х) — мпогочдеп степени об М. Например, 100 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ рациональная функция и+ ю~ В(и, и, и)= ю = фх и ю = ~/х~+ 1 является рациональной при и=х, функцией з~ — ~ В(к, фя, ~~в+1) = =у(к) (3.1) где т; Е И и Й; Е Е (з=1,!), а а, 6, с, е ЕИ, В х, ах2+ Ьх+ с (3.2) в частности В,(х) где В,(х) — дробно раь,иональная функция аргумента х, н вообще функции вида (3.4) Отметим, что подынтегральную функцию В х, ах+6, сх+е от к к радикалов ~вк к ~~я+1, тогда как фуякккя у(в) будет иррациональной ~алгебраической) функцией одного неза висимого переменного х.
Среди часто встречающихся в прикладных задачах рациональных функций, аргументами которых являются радикалы, следует выделить функции вида 3.2. Интегрирование радикалов от дробно-линейной функции 101 ээ меиоЙ иеремеииого ~аж+6 = и можно свести и виду (3.2). Действительноб В ЭТОМ случае ы — Ь г х = —, ~~х+е= = ~/Аие+ В, а ,де А=с/а, В=е — сЬ/а, и в итоге В(х, ~/ах+ 6, ~~а+ е) = „г = Н(, и, ~Ахи+В) = Л1(и, ~Ахи+В). Здесь через В1 обозначенарациональнаяфункция аргументов е и йАие+В. Для функций вида (3.1)-(3.3) известны достаточно общие приемы, позволяющие избавиться от радикалов, т.е.
преобразовать зти функции к рациональным функциям одного независимого переменного. 3.2. Интегрирование функций, содержащих радикалы от дробно-линейной функции В (3.1) под знаками радикалов стоят целые степени дробно- линейной функции (аж+ 6)/(сж+ е), которая зависит от ж лишь при условии Ь = ае — 6с ф О. Если обозначить т; = й;/т; (г' Е Я, в = 1, Ю), то (3.1) можно записать в виде рациональной Функции от ю и рациональных степеней дробно-линейной Функции (ам+ Ь)/(с~+ е): Усть т Е Х является общим знаменателем рациональных ~®сел г; (~=1,1), т.е. г;=р;/т (р; б Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
