VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Функция ~(х) имеет первообразную на всей числовой прямой и является: а) периодической; б) знакопостоянной; в) четной; г) нечетной. Будет ли в этих случаях обладать свойствами периодичности, монотонности или четности первообразная этой функции? 1-2. Имеет ли первообразную на всей числовой оси функция У(х) = Вин х? 1-3. Найти первообразную, график которой проходит через точку (хо,уо), для следующих функций: а) 1Ых+ ип(1+ х), х > О, хо — — Уо — — 1; ) Юх — 3/х~, х < О, хо — — — 1, уо = 1; ~~1~ х Е В, хо = — 2) уо = 4. у(х) достаточно сдвинуть вверх вдоль оси ординат, чтобы олучить криволинейную трапецию, образованную графиком ®еотрицательной функции ~(х)+К.
Согласно теореме 1.4, функция У(х) + К имеет на ~а, 6] первообразную, которую обозначим Ф(х), т.е. Ф'(х) =Дх)+К. Поскольку 55 2.1. Дробы~рациональыые подынтегрвлъные 4ункцни Ц„(х) = аои" + а1и" +... + а„~а+ а„= ~ а~в" ", ар ф О, й=о степени т и и соответственно. Будем считать, что много- члены Р (х) и Я„(х) с действительными коэффициентами не имеют общих кулей, т.е. дробь в (2.1) несократима. В частном случае при и=О, когда ц„=аоф-О, (2.1) является просто многочленом степени т.
Если и > т ) О, то рациональную дробь называют вравильиой, в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов ~1Ц, неправильную рациональную дробь можно представить в видесуммы многочлена Р,„„степени т-а и некоторой правильной дроби, т.е. (2.2) Пример 2.1. Числитель неправильной рациональной дроби 2хз+ Зх2 — 5х+ 8 ~Ф +Зх+7 «Реобразуем так, чтобы в нем выделить слагаемое, кратное где многочлен Р~(х) имеет степень 1 < а. Ясно, что если в левой части (2.2) числитель и знаменатель не имеют общих нулей, т.е.
рациональная дробь несократима, то и правильная рациональная дробь Р~(х)Щ„(х) в правой части (2.2) также несократима. Деление многочленов можно провести „уголком" ~1Ц или же преобразованием числителя неправильной рациональной дроби, добавляя к нему пары слагаемых, равные по абсолютной величине, но разные по знаку. 56 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ знаменателю и включающее старшую степень аргумента х: 2хз+ Зхг хг+ Зх+7 2х~хг+ Зх+ 7 — Зх — 7) + Зхг — 5х+ 8 2х(хг+ Зх+ 7) — 6хг — 14х+ Зхг — 5х+ 8 хг+Зх+ 7 — Зхг — 19х+8 — 3(хг+Зх+7-Зх -7) — 19х+ 8 =2х+ — 2х+ хг+Зх+7 хг+Зх+7 -3(хг + Зх + 7) + 9х + 21 — 19х + 8 = 2х+ хг+ Зх+ 7 -10х+ 29 10х — 29 хг+ Зх+ 7 хг+ Зх+ 7 В данном случае преобразование числителя неправильной ра- циональной дроби пришлось провести дважды. Таким образом, неопределенный интпеграл от рациональной дроби, согласно его свойству линейностпи, в общем случае можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.
Поэтому далее рассмотрим интегрирование правильных рациональных дробеЙ. 2.2. Интегралы от простейших рациональных дробей Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к вростейшим рациомалькым дробллк А В Мх+Ж Мх+Ф х — а' (х — а)" ' хг+ рх+ д' (хг+ рх+ у)"' 2.2. Интегралы от простейиих рациональных дробей АсЬ вЂ” = А1п~х — а~+С, х — а (2.3) Вдх (х — а)~,/ (х — а) Ы(х — а) = (х — а) ~+1 В =В, +С=, „,+С. (2.4) Здесь использованы та6личкые интпегралы 2 и 1 соответствен- но.
Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе (см. 1.5 и пример 1.10.а): Мх+И Мх+И х2+ рх+ д (х+ р~2)2+ д — р2/4' (2.5) Так как нули знаменателя комплексно сопряженные, то д— -р2/4 > О, и поэтому можно обозначить е — р2/4= а2. Обозначив также х+ р/2 = 1 (х = 1 — р(2, Их = Й), преобразуем знаменатель в (2.5) к виду х2+рх+д=Р+а2 и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме Мх+ И Ых= х +рх+д Мх+ И (х+И2)2+ Ю - р2Н му- рд+ и ~ м~+и-рмтк $2+ п2 ) ~2+ п2 й=~ Й.
.де й > 1 — целое и р2 — 4у ( О, т.е. нули квадратного трех~ена, стоящего в знаменателе дробей третьего и четвертого ипов, комплексно сопряженные (соответственно простые и кратные с кратпностпью нуля Й), и поэтому трехчлен не обраи ается в нуль ни при каком значении х б Е. Вычисление неопределенных интпегралое от простейших рациональных дробей двух первых типов не вызывает затруднений: 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 58 Последний интеграл, используя линейностпь неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них подведем $ под знак дифференциала: М$+ Х вЂ” рМ/2 $й рМ 6$ М Г Ф~+ а2) 2М вЂ” рМ 2/ Р+а2 2 М 2 2У-РМ = — 1п ~$~+ аз~+ агс®-+ С.
2 2а а Мх+Ф М 2 2 х2+ рх+ о 2 4Ь= — 1п~(х — р~2) +д — р /4~+ 2Ф-Му х+ р/2 + агсф +С= Ъ/ц-рЦ4 ./ц-рц~4 М 2 2)г' — Мр 2х + р = — )п)х + рх+4)+ агсГх +С. Г2.6) 44- рг 4д — рг Аналогичным образом преобразуем неопределенный интеграл от дроби четвертого типа: (рг+,р)~ Для вычисления первого из неопределенных интегралов справа используем интпегрирование подведением под знак дифференци- Здесь использованы табличные интегралы 2 и 13. Возвращаясь к исходному переменному х, в итоге для дроби третьего типа получаем 2.2.
Интегралы от простейших рациональных дробей ила и табличный интеграл 1: ~г гй 2 ( ) ( ) (Р+ аг)а 2 г+ г -ь+1+С 2(-Й+ 1) 2(Й вЂ” 1)(Р+ аг)" 1 Возвращаясь к переменному ю, получаем 1й 1 (~г+аг)" 2(й — 1)(~г+р~+д)~-1 + С. (2.8) Обозначим через 1~ второй интеграл в правой части (2.7). умножим и разделим его подынтегральную функцию иа аг, затем добавим и вычтем в числителе Р и, наконец, разложим полученный интеграл на два: ц~ 1 ~' ~г щ ~г / (~г+ пг)й-1 ог ~ (~г+ пг)й ' Первыи интеграл вправой части (2.9) представляет собой 4~ 1, а второй интеграл вычислим интиегрироеанием по частям: а=1, ~й (О+а~)" ' (Р+ аг)~ 2(й — 1)(Ф2 + 02) а-1 2(й— (~г+ ог)й-1 1)(~г+ ог)Й-1 2(й — 1) 1 2(й — 1)(Р+ ~г)а-1 2(й — 1) Подставляя зто выражение в (2.9), получаем 1 1 „г ~-~ 2,РР 1)ф+,Р)ю-1 2пг(~ 1) й 1 (Р+аг)х аг агй 1 (Р+аг)~ а~ (рг+ вг) ~г Й= (~г+ ~г) Й 60 2.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ В итоге для вычисления неопределенного интеграла 5» прихо- дим к рекуррентному соотношению 2Й вЂ” 3 2а2(Й вЂ” 1) (Р+ а2)»-1 2а2(Й вЂ” 1) (2.10) при помощи которого последовательно, используя табличный интеграл 13 2(2Й вЂ” 3) + А-1 2х+ р (4д — р2) (ф — 1) (хи+ рх + д)»-1 (4д — р2) (Ус — 1) Подставляя в (2.7) последнее соотношение и (2.8), для интегра- ла от дроби четвертого типа получаем Мх+ Ж М (х2+ рх+ д)» 2(Й вЂ” 1)(х2+ рх+ д)» 1 ах= + + Ф < рМ~ 2х+ р 2 / (4д р2)()с 1)(х2+ух+д)»-1 + + Ф < рМ~ 2(2Й вЂ” 3) 1 ах 2 / (4д-Я()с — 1) / (х2+рх+д)» 1 Итак, неопределенный интеграл от простейшей дроби четвертого типа можно выразить через элементарные функции, а именно через правильные рациональные дроби и арктангенс (при условии У вЂ” рМ(2 у'-О).
Пример 2.2. Найдем неопределенный интеграл от функ- ции х — 2 (х2+ 2х+ 3)з й 1 11 —— = -агсф~-+С, О+а~ а а можно найти У2, затем по 1г найти 1з и т.д. вплоть до искомого интеграла 1». Переходя в (2.10) к переменному х и исходным параметрам, запишем 2.2. Интегралы от простейиих рациональных дробей 61 х — 2 х — 2 х — 2 Дх)— (хг+ 2х+ 3)з ((хг+ 2х+ 1) — 1+ 3)з ((х+ 1)г+ 2)з Обозначив х+1= 8 (х= 1-1, Их= Й) и использовав линей- ность неопределенного интеграла, запишем х — 2 Ф вЂ” 3 „~(х) Их = «Ь= й= (хг+ 2х+ З)з ф+ 2)з (~г+ 2)з Й (, ), (2.12) Первый неопределенный интеграл справа вычислим подведени- ем под знак дифференциала: И(Р+ 2) 1 (Р+ 2)з 4(Р+ 2)г $й 1 (Р+ 2)з 2 (2.13) Подынтегральную функцию во втором слагаемом правой части (2 12) умножим и разделим на 2, в числителе добавим и вычтем $г и получившийся неопределенный интеграл разложим на два: (8+2)з 2~ (Р+2)з — 2/ (г+2)г 2 (г+2)з ('") Знаменатель этой функции имеет комплексно сопряженные нули, поскольку в данном случае р=2, у=3 и р — 4д= г - -8 < О, причем кратность нулей й = 3.
Таким образом, данная функция является простейшей рациональной дробью четвертого типа. Сначала выделим в знаменателе функции Дх) полный квадрат: 62 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Последний интеграл вычислим интегрированием по частям: ~г ц (Р -~ 2)з < 1 4(~г ~ 2)г/ (рг ~ 2)з 1 ~ Й 4(Р -~ 2) г 4 / ф ~ 2) г ' Подставив это выражение в (2.14), получим Повторив описанные преобразования, пониэим еще на единицу степень квадратного двучлена в последнем интеграле: (2 + Рг) — Рг (рг ~ 2)г 2 / (Р -~- 2)г 2 РЙ 1 1 1 (Р+ 2)г 2~/2 ~/2 2 1 2 (0+2)г 1 8 1 = — агсЫ вЂ” —— 2~Г2 ~/2 2 1 ( 2(Р + 2~) 2~/2 ~/2 2 ~ 2(Р+ 2) 2 1 $ 1 1 ~ агсф~ + агсФд — + Сг —— 4~/2 сГ2 4(Р+ 2) Подставив зто соотношение в (2.15), запишем (Р+ 2)з 8(Р+ 2)1 8 ~4(Р 1.
2) ~Я Я ) сМ 1 (~г~ 2)з 2 1 Й (рг~ 2)г 8(рг ~ 2)г й 3/' й (Рг ~2)г 8(Р~ 2)г 8/ (Р~ 2)г' у.3. Раэлохение правильной рациональыой дроби на простейпие 63 ис с учетом (2.12) и (2.13) после воэвращения к переменному х око , ончательно получим х — 2 ~Ь= (хз+ 2х+ 3)з (Р+ 2)з Й 1 3$ (Р+ 2)з 4(8+2)з 1 8(Р+ 2)з — 3 9г $ 1 Ф 8 4(Р+ 2) 4~/2 ъ~2 + — а~сФф — + Сз 2+ 3191 9 $ 8(Р+ 2)з 32(Р+ 2) 32Я Я Зх+5 9(х+1) 9 х+1 8(хз+2х+3)з 32(хз+2х+3) 3242 42 где С = С1 — 9Сз/8. 2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие Я„(х) = (х — а)»ц„»(х), ц„»(а) у~ О, о Равильную несократимую рациональную дробь Р,„(х) Я„(х) ~(а) ~Е 0) можно представить в виде Р (х) А Р~(х) Я,(х) (х-а)" (х-а)» 'Я.-»(х)' (2.16) Пусть Р„(х)Щ„(х) — праеиаьная раиионааьная дробь, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
