VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Поэтому в силу (1.4) 1А. Осиовные неопределеиные интегралы 1.4. Основные неопределенные интегралы аи = ®и+С. соз2и — = -с®и+С. аи в1п2и и'+1 1. и'Ыи = — + С, з у6 — 1. в+1 2. — = 1п ~и~+С. и а21 3. а" Ыи = — + С, а > О, а;Е 1. 1па 9. вЬиди = сЬи+С. 1О. / сЬ и ди = в11 и+ С. е"аи = е" +С. 4. — = йи+С. сп2и — = -сйи+С. аи зП2и в1пиаи = — сози+С. 12. совий~ = в1п и+С. г1и 1 и 1 и = -агсг2-+С= --агссгК-+~г, иг+аг а а а а ~Е О. 13. Ии 1 = — 1и иг — аг 2а +С, аф- О.
15. — С афО. = агсв1п — +С = -агссоз — +С1, ~Гас - иг а =1с~и+ 1/и~+А +С. ~Я~г+ А К основным относят неопределенные инп1ег алы от некор ых элементарных функции. Поскольку у ч в сил свойства 2' торых эле операции интегрирован е енци ования вза (см.. ) и п и помощи та им т но о рат б тные эти интегралы можно найт р ы производных элементарных фу ц " ~ ] ° нк ий ~П]. В связи с этим такие неопределенные интегралы обычно наз ывают тпабличМы ограничимся шестнадцатью тачными интегралами, приведенными ниже. Каждая из форбличными интеграл С и сп аведлива в мул содерж е жит произвольную постоянную С и с р зо в ю ей каждом интервале из о з области непрерывности соответству щ " подынтпегральной функции.
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 26 Пример 1.8. а. Найдем неопределенный интеграл от функции ~(х) = 2/х — Зе . В силу линейности неоиределенного интеграла получаем (2~/х — Зе ) Нз = 2 / и'~ Нх — 3 = — х~~~ — Зе +С = -х~/х — Зе +С, х ~ О. 3/2 3 Здесь использованы табличные интегралы 1 и 4. б. Для вычисления неопределенного интеграла от подынтегральной функции Дх) = (~/х — 2~за) /х, х ) О, сначала возведем выражение в круглых скобках в квадрат и разделим почленно на знаменатель х: ( Д 2фГ~) х 4х5/в+ 4хз(з ~Г(х)— 1- 4х-'/в+ 4х-'!' х х Представив теперь искомый неопределенный интеграл в виде линейной комбинации трех табличных интегралов вида 1, най- дем (~/х — 2ф'х) / и*= х ~~~сЬ+4 -1~з~ =х- — х ° + — х ° +С=х- — х ° +6х ° +С, х >О.
4 в,~в 4 з~з 24 ь!в г,~з 5/6 2/3 5 в. При нахождении неопределенного интеграла от функции 1/сов~(х — 5) используем тот факт, что добавление к переменному х постоянного числа Ь не изменяет дифференциал пх, Замечание 1.2. Формулы 13-16 непосредственно не следуют из таблицы производных, представленной в ~Щ, но справедливость этих формул нетрудно проверить дифференцированием, используя свойство 1' (см.
1.3). Формула 16 в случае А = О верна лишь при условии и > О. Табличные интегралы 14 и 16 иногда называют „высоким" и „длинным" логарифмами соответственно. 1А. Оановные неопредалениые интегралы т.е. Ы(х+ 6) = сЬ. Учитывая свойство 5© иивариамтиости неопределемного интиеграла (см. 1.3) и используя табличный интеграл 7, получаем сЦх — 5) соз~(х — 5) = ®(х — 5)+С. ~Ь соз~(х — 5) Г 1 зЬ(7х) ~Ь =— 7 зЬ(7х) Ы(7х) = -сЦ7х)+С.
1 7 д. При вычислении неопределенного интеграла от функции ~(ах+ 6) также могут быть полезны свойства дифференциала, использованные в двух предшествующих случаях: ~(ах+ 6) Ы(ах+ 6) = — Г(ах+ 6) + С, 1 а 1 У(ах+ 6) Их =— а где Р(ы) — некоторая первообразная функции ~(ы). В част- ности, для функции ~(ах+6) = (ах+6)~ получим (ах+6)~Ых = — (ах+6) й(ах+Ь) = +С. 1 7 (ах+ 6) а 8а Здесь снова использованы инвариантность неопределенного 'нтеграла и табличный интеграл 1.
З®мечааие 1.3. Целью первых четырех глав этой книги я " является освоение техники интегрирования, т.е. освоение риемов и навыков построения „цепочки" преобразований, свощих вычисление исходного неопределенного интеграла к та- г. Чтобы неопределенный интеграл от функции зЬ7х свести к табличному вида 9, следует под знаком дифференциала получить выражение 7х, которое является аргументом гиперболического синуса. Используя возможность вносить под знак интеграла и дифференциала постоянный ненулевой сомножитель, находим 28 1.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Замечание 1.4. В результате различных преобразований подынтегральной функции можно прийти к разным выраже ниям для первообразной. Надо помнить при этом, что в силу теоремы 1.1 эти выражения могут различаться только на константу. Покажем это на простейшем примере вычисления двумя способами неопределенного интеграла от функции (2х -1)г.
В первом способе представим дифференциал Ых в виде Ых = (1/2)Ы(2х — 1) и в силу инвариантности неопределенного интеграла получим (2х — 1) Ы(2х — 1) = +С1. (2х — 1)з 6 (2х — 1) «Ь =— 1 2 Во втором способе выполним возведение в квадрат и разложим исходный неопределенныЙ интеграл натри табличных интегра- ла 1: (2х — 1) йх= (4хг — 4х+1)«Ь= = 4 хг«~х — 4 Ых= — х — 2х +х+Сг. 4 з г 3 Выясним различие в полученных двух выражениях перво- образной, для чего преобразуем первое выражение: (2х 1)з 8хз 12хг+6х 1 4 з хз-2хг- 6 6 3 6 Из сравнения полученных результатов видно, что оба выраже- ния для неопределенных интегралов совпадают, если принять Сг = С1 — 1/6.
бличным интегралам. Поэтому впредь не будем обсуждать области существования подынтегральной функции и ее перво образной, кроме, разумеется, тех задач, где зто требуется по условию. у 5. Интегрирование подстановкой и эаменой переменного 2Я 1.6. Интегрирование подстановкой и заменой переменного П и интегрировании подведением под знак дифференциала ис ользуют инвариантность неопределенного интеграла и полагают, что в (1.12) первообразная Р(1) функции Д~) тна. Однако часто подведение под знак дифференциаявляется лишь первым, подготовительным этапом перехода исходной подынтегральной функции д(ж) к более простой подынтегральной функции Д$), первообразную которой еще предстоит найти.
В этом случае (1.12) применяют в виде д(и) Из = ~ Яи(х) ) Йи(х) = ( Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл в левой части (1.14), представляют у(ю) в виде произведения ~(и(м))и'(м), подводят и'(ж) под знак дифференциала, обозначают и(х) через 1 и, подставляя в подынтегральное выражение $ вместо и(х), находят неопределенный интеграл от более простой функции Д1). Затем, полагая 1 = и(х), возвращаются к первоначальному аргументу ж. Такую процедуру называют интпеарированием подстпамовкой. Пример 1.Т.
а. Подынтегральное выражение в неопреде- ленном интеграле е Ых е~х+ 2ех — 3 преобразуем к виду е ~ю с~(е*) Же + 1) зх+2, 3 ( х)з+2е — 3 (е +1) — 4 знаменателе полный квадрат и использовав раделив в з веиство е "з'=й(е ) =й(ех+1). Обозначая е +1 через 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 30 приходим к тпабличнояу интпегралу 14 относительно перемен ного й Возвращаясь к исходному переменному х, окончательно запя сываем 1 з~п (х ) й(х ) =— 4 1 х з~п х п'х =— 4 з1п $Й.
Чтобы свести полученный неопределенный интеграл к линейной комбинации табличных, понизим степень тригонометрической функции, перейдя к двойному углу, т.е. используем равенство яп~ 1 = (1 — соз21)/2. Принимая во внимание табличный интеграл 6, получаем в1п 1Й = — (1 — сов28)Й =— 1 1 2 2 Й вЂ”вЂ” соз21Й = з~п 2$ сов 2Н(21) = — — — + С. 2 4 1 2 4 Возвращаясь к исходному переменному х, находим э ° г 4 1 у 1 в~п 28 ~ х з1п(2х~) х нп х Ых = -~- — — +С~ = — — +С~.
4~2 4 ~ 8 16 В предыдущих примерах при нахождении неопределенного интеграла мы использовали подстановку вида и(х) = ~. Рассмо трим теперь интпеарирование заменой переменноао, те метод, основанный на замене вида х = у($). б. В интеграле ~хзз~п~ х4Их, подведя сомножитель хз под знак дифференциала и обозначив х4 через 1, запишем 32 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ При этом Ых = -(1/Р) йй и 1 = 1/х, что позволяет исходный неопределенный интеграл привести к табличному вида 15: Замечание 1.5.
В записи выкладок при интегрировании заменой переменного символ ~,, обычно опускают, а необходимую информацию о замене помещают в разрыве ра венств перед началом преобразований. Пример 1.9. а. Неопределенный интеграл от функции 1/(е +1) можно вычислить, выполнив замену переменного х = — 1п1: йЬ ех+ 1 йК(й+ 1) 8+1 =-1п~8+1~+С= -1п1е +Ц+С. Ясно, что здесь использован табличный интеграл 2. б.
Для вычисления неопределенного интеграла от функции х/~х+1 удобно сделать замену Г = ч/х+1: ) 2 (~2 Ц йр ~~2 1Щ Р /,/х+1- ~з 2 =2 Рй-2 й=2 — -1 +С= — (х+1)з-2 х+1+С. 3 3 в. Неопределенный интеграл от функции х(2х+5)'о можно свести к линейной комбинации табличных при помощи замены х = — 1п~ ~Ь = -й/~ 1 =е в=~+1 х=1 — 1 Их = 21йЫ 1 = агссовв~ +С= агссов — +С. В=1/х х Й ~(1/~+1) 1.б. Интегрирование подстановкой и заменой переменного 33 2х+5=8: 2х+5= $ х = (8 — 5)/2 Ох = й/2 ~-5 1ой 2 2 х(2х+ 5) ~~Нх = (1 — 5$ )й=— 4 4 1' Й вЂ” 5 1 11~ М11 1 (2х -~- 5)1~ 5 — — +С=— 4 12 11 4 12 11 — — (2х + 5) 11) + С = (2х+5)11~2х+5 5 ~ (2х+5)11 22х — 5 4 ~ 12 11/ 4 132 (2х+ 5)1' (22х — 5) + С.
г. Найдем первообразную Р'(х) функции ~(х), для кото- рой При этом график искомой первообразной должен проходить через точку (1п2;0). Положим х=1п1. Тогда 1, х Е (-оо, О~; е', х б (О, +оо). Используя табличные интегралы 1 и 4, получаем х+С~, х 6 ( — оо, 0); Р(х) = е + Сг, х Е (О, +оо). Ясно, что Р(х) дифференцируема во всех точках числовой оси, включая х=О, и при этом .Р(х) =Дх) Ух бй. Изусловия непрерывности первообразной при х = 0 имеем С1 — — 1+Сг, а из 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 34 условия Р(1п2) =0 прохождения ее графика через точку (!п2;0) — Ср — — -2 и С1 — — -1. В итоге искомая первообразная ( ю — 1, ~ 6 (-оо, 0]; ~ е* — 2, ж 6 (О, +оо). Графики Да) и Р(ж) приведены на рис. 1.5.
При решении прикладных задач часто возникает необходимость вычислять неопределенные интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. Простейшими из них являются неопределенные интегралы вида Рис. 1.$ Ых и Й:. (1.18) Общий прием нахождения таких неопределенных интегралов состоит в выделении из трехчлена полного квадрата с после- дующей заменой переменного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
