VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Геометрически это означает, что если построен график первообразной у= Р(х) функции У(х) в промежутке Х, то графики всех остальных "Р"образных можно получить параллельным сдвигом этого 16 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ графика вдоль оси ординат вверх на произвольное расстояние С > 0 (рис. 1.1) или вниз (когда С < О). При этом для произвольной точки х0 Е Х тангенс угла а0 наклона касательной к графику функции Г(х) Чтобы из множества графиков первообразных Р(х) + С выбрать одну кривую, достаточно задать координаты одной из точек кривой, например точки М(х0',у0).
Тогда из условия уо — — .г (х0) + С получим С = — у0 ~ (х0) ° Рис. 1.1 Определение 1.2. Множество всех первообразных функции Дх) в некотором промежутке называют неопределенным интпеграмом от этой функции в данном промежутке и обозначают ~Дх) Нх. При этом символ ~ именуют знаком интпегрола, Дх) — подынтпегральной функцией, ~(х)вх — подынтпеграяьным выражением, а х — переменным интпегриров вне. Если Е(х) — какая-либо первообразная функции Дх) в рассматриваемом промежутке, то правомерна запись ~(х) сЬ = (Р(х) + С), (1.3) где С вЂ” произвольная постоянная величина, называемая обычно постпоянной интиегрирования.
Правая часть (1.3) определяет бесконечное множество, состоящее из элементов Р(х) + + С. Однако обычно фигурные скобки в (1.3) опускают и пишут просто (1.4) Дх) сЬ = Р'(х)+С, ~ о. Понятна первообразной и неонределенного ин хегралв 17 1(х); Р(х) 3 -~/х~Ь = 2 У(х) Ых = поним „м я под ~Дх) Ых произвольный элемент этого множества. анном случае ситуация аналогична обозначению символом ~( ) не только функции, но и ее значения в точке х.
По определению 1.1 первообразной она является дифферен„руемой, а значит, и непрерывной функцией в рассматриваеом промежутке. Поэтому неопределенный интеграл при фиксированном значении произ льной постоянной С являет в том промежутке непрерывной и дифференцируемой функцией переменного интегрирования. Произвольность (неопределенность) выбора постоянной и объясняет название интеграла. условие существования первообразной функции Дх) рассмотрено в Д.1.1. Здесь же ограничимся лишь формулировкой утверждения. Утверждение 1.1.
Всякая непрерывная в промежутке Х функция имеет первообразную в этом промежутке. Пример 1.2. а. Найдем какую-либо первообразную Р(х) функции Дх) = З~х/2 и ее неопределенный интеграл. Эта функция непрерывна в полуинтервале [О, +со) и, согласно утверждению 1.1, имеет в нем первообразную. Так как (хз~з) = = З~х/2 при х > О, то одной из первообразных заданной функции в силу определения 1.1 будет функция Р(х) = хз~з (х > 0), а неопределенный интеграл от этой функции, согласно (1.4), можно записать в виде = х ~ + С = х~/х + С, х Е ~0, +со) . ~а Рис. 1.2 приведены графики фун"ции У(х) и ее первообразной Р(х) при значении произвольной постоянной С=О б Для функции Дх) = 1/х найдем такую первообразную у= Г(х) в интервале (-оо, О), график которой Рис.
1.2 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 18 проходит через точку М( — 2; 0). Поскольку (! п ф)' = 1/х, одной из первообразных заданной функции, согласно определению 1.1, будет функция 1п ~х~, а искомую первообразную можно представить в виде Р(х) = = 1п ~х~ + С. Постоянную С определим из условия Р(-2) = = О, или )п 2+ С = О. Отсюда С= — 1п2 и в итоге Рис. 1.3 Р(з) =1п)з) — 1п2=!пй, х е (-оо,О).
Графики функции и найденной ее первообразной показаны на рис. 1.3. 2~х~ (Ь = х + С1, х Е [О, +оо), анри х(0 (х~)'=2х=-2ф, т.е. в интервале (-оо,О) одна из первообразных Р~(х) = -х~ и неопределенный интеграл 2~х~(Ь = -х~+Ср, х Е (-оо, 0). Рассмотрим при некоторых постоянных С1 и Сз функцию Р1(х)+С~, х > 0; Г(х) = Г~(х)+С~, х < О. Пример 1.3. Функция ~(х) =2~х~ определена и непрерывна на всей числовой прямой Е. Согласно утверждению 1.1, эта функция имеет на И первообразную Р(х), причем в силу (1.1) Р'(х) =2~х~.
При х) 0 (х~)'=2х=2ф, т.е. в полуинтервале '10, +оо) одна из первообразных Р1(х) = х~ и, согласно (1.4), неопределенный интеграл 20 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ или, что то же самое, дифференциал неопределенного интегра ла равен подынпьегральному выражению, т.е. У(х) пх = Дх) их. Эти свойства непосредственно вытекают из определения 1.1 первообразной. 2'.
Так как для функции ~'(х) = ~(х) одной из первообразных является сама функция г (х), то в силу (1.1) ЛДх) сЬ = Л Дх) сКх. (1.8) Действительно, если Р(х) является первообразной функции Дх) в промежутке Х, то ЛР'(х) всилу определения 1.1будет в этом промежутке первообразной функции Л~(х), поскольку (ЛР(х)) = ЛР~(х) = Л~(х) Чх Е Х.
Поэтому неопределенный интеграл ~Л~(х) сЬ является множеством первообразных вида ЛР'(х) +С, а неопределенный интеграл Л ф Дх) йх — множеством первообразных вида Л(Р(х) + Сд). Но в силу произвольности постоянных С и С1 при условии Л ф 0 всегда можно выполнить равенство С = ЛС1, т.е. при фиксированном значении одной из этих постоянных другую всегда можно выбрать так, чтобы указанное равенство Таким образом, интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями. Поэтому для проверки правильности интегрирования достаточно продифференцировать найденную первообразную Р(х) и убедиться, что,Р(х) совпадает с подынтегральной функцией ~(х).
3'. Если Л вЂ” отличное от нуля действительное число (Л(. =В~(0~), то 1.3. Свойства неопределенного интеграла полнялось. Значит, множества ЛР(х) + С и Л(Г(х) + С1) ВЬ1П сов „впадают, что доказывает справедливость (1.8). Гаким образом, при интегрировании ненулевую постоянную ®~но выносить из под знака интеграла (или же вносить под этот знак) Замечание 1.1.
Если в обеих частях равенства стоят еопределенные интегралы, то говорят, что оно верно „с чностью до аддитивной постоянной". ф 4'. Интегрирование является линейной операцией, т.е. если функции Л (х) и Ь(х) имеют в промежутке Х первообраз- НЫЕ Р1(Х) И г2(Х) СООтВЕтСтВЕННО, тО В ЭТОМ ПрОМЕжутКЕ функция Л1Л(х)+Л2Ь(х), где Л1, Л2 б В, также имеет первообразную, причем при Л2+ Л2 2> О (АаЛ(~) + "зУзСх)) Их = А~ ХЯ (х)~Их+ Х~1 ~а~х) юЬ. (1.9) В самом деле, функция Р(х) = Л1.г1(х) + Л2Р2(х) является одной из первообразных функции Л1~1(х)+Л2Ях) в промежутке Х, так как, согласно определению 1.1 первообразной, Р (х) = (Л1 Г1 (х) + Л2г 2 (х) ) = Л1Р~(х) + Л2г2(х) = Л1~1(х) + Л2Ь(х) Ух Е Х. Поэтому неопределенный интеграл в левой части (1.9) представляет собой множество первообразных вида Р(х)+С = — Л1Р1(х) + Л2Р~(х) + С, а сумма неопределенных интегралов в правой части (1.9) в силу свойства 3' — множество перво- образных вида Л1®(х)+С1) +Л2(Р2(х)+С2).
Но благодаря П о роизвольности постоянных С, С1, С2 всегдаможносчитать выполненным равенство С = Л1С1+ Л2С2. Значит, эти мноества совпадают, что доказывает рассматриваемое свойство, называемое линебностпью неоиределенноао интпеарала. Обоб1цая это свойство, можно заключить, что неопределенныи инт и"теграл от нетривиальной линейной комбинации функций 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 22 Пример 1.4.
а. Функция ~и(х) = 2//х — х~ является линейной комбинацией непрерывных при х > 0 функций у(х) = = 1/~/х и ~(х) =Зх2, первообразные которых установлены в примере 1.1 и соответственно равны С(х) = 2/х и г (х) = хз. В силу свойства 4' функция в(х) имеет первообразную при х > О. Используя линейность неопределенного интеграла, полу- чаем | и(ж) ши = / (2у~и) — -Ди)) их = 1 3 1 ~Ь 1 ,Д 3 = 2 д(х) Йх — — ~(х) йх = 2 — — — Зх') Ых = 3 =2 2~/х — -х~+С=4~/х — — +С.
3 3 Непосредственной проверкой убеждаемся, что хз у 2 (4~/з — — +С = — — ж~ = и(х). /х б. Найдем неопределенный интеграл от функции Л(х) = = е ~ ~, непрерывной на всей числовой прямой Й и поэтому в силу утверждения 1.1 имеющей первообразную на Й. Если х >О, то ( — е ~) =е =е )') =~1(х). Поэтому, согласно (1.1) и (1.4), ~1(х)Их= е ~ ~Их=-е +С~, х>0.
Если же х <О, то (е ) =е'=е ~ 1= ~1(х), поэтому Ях)йх= е ~~Вх=е +С~, х(0. равен такой же линейной комбинации неопределенных интегра лов от каждой из этих функций. Использование этого свойства при интегрировании иногда называют методом размокшее ЯЯМ. 23 1.3. Свойства неопределенного интеграла делим постоянные С1 и С~ так, чтобы выполнялось раОпред е 1-е ~+С1)~ = (е +Сл)~» е, или -1+С1 —— 1+Се. да С1 -2+Сг — — 2+С, и так как левосторонняя производфункции е +С в точке х = 0 совпадает с правосторонней прои роизводной функции — е + 2 + С в этой же точке, то составная функция ~( )= е +С, х<0; -е +2+С, х >0 оказывается первообразной функции ~~(х) при х Е Е, т.е.
е )~)пх= ~1(х) ~Ь = е +С, х(О; -е ~+2+С, х>0. что оэ означает справедливость (1.11). 5'. Пусть в промежутке Х определена сложная функция ~(и(х)), а функция $ = и(х) дифференцируема в этом промежутке. Если функция Д~) имеет в промежутке Т:) а(Х) переообразную Р($), то в силу определения 1.1 первообразной и'(й) = Дй) й (1.10) и справедливо свойство инвариантпностпи неопредехенноао антеарааа в виде ~(и(х)) Ии(х) = Г(и(х)) + С. (1.11) 4 Так как функция Р(~) определена в промежутке Т Э а(Х), то в промежутке Х определена сложна» функция Р(а(х)). И~пользуя свойство инвариантности дифференциала первого порядка 11Ц и учитывая (1.10), имеем ИР(и) = ~(и) Ии, или ИР(и(х)) = ~(и(х)) и~(х) а8х, согласно определению 1.1, Р(а(х)) является одной из "р образных функции ~(а(х)) а'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
