VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 5
Текст из файла (страница 5)
<Ь ~' <Цж — 1) 2(з-1)~+5,/ 2(х — 1)~+5 ~Ь 2х~-4ж+7 1 й 1 2 2 — — агсф~ -1+ С = 2 8+5/2 2 5 5 1 г 2 = — агс$~ ~ -(х — 1)) + с. Л ~ 5 Пример 1.10. а. Вычислим неопределенный интеграл от функции 1Д2х~ — 4х+7), представив ее знаменатель в виде 2х~ — 4х+7 = 2(ж~ — 2х+ 1) +5 = 2(ж — 1)~+ 5. Используя подстановку х — 1= $, приходим к табличному интегралу 13: й.о. Интегрирование подстановкой и заменой переменного 35 х — 3 Г х — 3 хз — х+2 1 (х — 1/2)з+7/4 х-1/2=~ х = 1+1/2 Ых=й $+ 1/2 — 3 /' 8 — 5/2 й= „~ сЮ. Разложим последний неопределенный интеграл на два и первый из них найдем, подведя 1 под знак дифференциала и использо- вав табличный интеграл 2, а для вычисления второго исполь- зуем табличный интеграл 13: 8 — 5/2 ~ 1Й 5 1 й Р+ 7/4,/ Р + 7/4 2,/ Р + 7/4 й=~ Ф~+7/4) 5 1 Й 8+7/4 2/ 8+7/4 г 7 5 2 2$ = -1п Р+ — — — — агс~~ — +С.
2 4 2 ~7 Д' Возврахцаясь к исходному переменному х, в итоге получаем х — 3 1 г 1~2 7 Ихж-!и р — -~ + —— х~ — х+2 2 ~ 2~ 4 5 2(х — 1/2) — ~ахсФд +С = г 5 2х — 1 =-1п)х -х+2) — — агсвй +С. 2 /7 ~/7 (2х -8 ' Для вычисления неопределенного интеграла от функции йц~/1 — — х-хз выделим под знаком радикала полный б.
Поступая аналогично, найдем неопределенный интеграл от функции (х — 3)/(х~ — х+2). Выделяем полный квадрат в знаменателе: х~ — х+ 2 = (хз — х+ 1/4) + 7/4 = (х — 1/2)з+ 7/4. Яспользуя подстановку х — 1/2 = 1, находим 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 36 квадрат: 1 — х — х2 = 1 — (х2+ х+1/4)+1/4= 5/4 — (х+1/2)2. Тогда найдем 2х+ 8 ~~~ ~— ~ — х1 — й— 21 — 1+ 8 21й й +7 ~/5/4 $г 1/5/4 — Р 1/5/4 — Р Ы(5/4 — 82) /' й 5 2 ~/5/4 — И,/ ~/5/4- Р 4 28 2х+ 1 + 7 агс81п — + С = — 2 1 — х — х2+ 7агс81п + С, у Л ,/5 Для нахождения неопределенных интегралов вида (1.18) можно использовать и другой способ.
В первом из этих интегралов преобразуем числитель, выделив производную знаменателя: тх+ и т 2ах+ Ь ~ тЬ1 Ых х —— ах+ (и — — 1 ах2+Ьх+с 2а ах2+Ьх+с ~ 2а / ах2+Ьх+с Первый интеграл в правой части этого равенства сведем к табличному вида 2, подведя 2ах+ Ь под знак дифференциала, а второй — к одному из табличных интегралов 13 или 14, выделив в знаменателе его подынтегральной функции полный квадрат: Ы(ах2+ Ьх+ с) + '+" „ г ах2+ Ьх+ с 2а,/ ах2+ Ьх+ с тЬ1 Г ах 2а~ / а(х+Ь/(2а)) +с-Ь2/(4а) 2ах+ Ь тЬ тх+п=т +я — —, 2а 2а' и разложим исходный интеграл на два: х+1/2=1 х =1-1/2 <Ь=й 1.5.
Интегрнрованне подстановкой м эаменой переменного 37 Аналогично можно привести к двум табличным интегралам и второй неопределенный интеграл в (1.18). Пример 1.11. а. Найдем описанным способом неопределенный интеграл от функции (Зх — 7)/(х2+4х+ 1): Зх -7 3(2х+4)/2-6-7 3 (2х+4) Ых — Нх= ~Ь=— х~+4х+ 1 х~+4х+ 1 2 хг+4х+ 1 г 3 ~~( '+4 +1) 13 13 4 / 2 4х 13 И(х+2) (х+2)~-4+1 =3 13 х+ 2 — ГЗ = -1п~х +4х+1~ — — 1п +С. 2 2ъ/3 х+ 2+ ч~З Здесь исходный неопределенный интеграл преобразованиями приведен к табличным интегралам 2 и 14.
б. Аналогично вычислим неопределенный интеграл (4х+ 8)/4 — 2+ 3 х+3 Их= (4 +8) Ь 4/ ~(2хг+ 8х+ 11) 1 И(х+ 2) + Используя табличные интегралы 1 и 16, в итоге получаем х+3 1 дх=— 2 1 + — 1п х+2+ /2 1 + — 1п х+2+ «/2 1 2 1+с. 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 38 1.6. Интегрирование по частям и(х) й~(х) = и(х)и(х) — и(х) Ыи(х), х б Х.
(1.19) ~ По условию теоремы подынтпегральные функции в (1.19) непрерывны. Поэтому в силу утверждения 1.1 они имеют первообразные и существуют входящие в (1.19) неопределенные интегралы. Опуская обозначение аргумента х, по правилу вычисления дифференциала от произведения дифференцируемых функций ~1Ц запишем Ы(ие) = Ми+Ми, или ий~ = Ы(ио) — Ми. Отсюда, используя линейностпь неопределенного ингпеграаа, по- лучаем иди = / (и(ии) — оии) = И(ио)— (1.20) В соответствии со свойством 2' (см. 1.3) имеем Ы(ио) = ив+С. (1.21) Относя произвольную постоянную С к неопределенному инте- гралу ~ ой~, из (1.20) и (1.21) получаем (1.19).
> Использование формулы (1.19) целесообразно в том случае, когда представление подынтегрального выражения в виде и(х) Иэ(х), приводящее к задаче определения функции о(х) и интеграла ~о(х)пи(х), упрощает вычисление исходного интеграла. Уместно дать некоторые рекомендации по процедуре применения (1.19), называемой интиегрированием ао часпмм. Теорема 1.3.
Если функции и(х) и и(х) непрерывно дифференцируемы в некотором промежутке Х, то справедлива формула 1.6. Иыгегрирование ио частвм Пример 1.12. Используя формулу (1.19) интегрирования по частям, вычислим а) агсв1п х Ых; б) х агсф~х Ых; в) (х~+5х — 3) 1пхИх; г) хе йх. а. Следуя высказанным рекомендациям, в первом неопределенном интеграле обозначим и(х) = агсв1пх и запишем Ии = Их/~~ — хх агсв1пхйх = и = агсв1пх, Й~= Их, 41 — х2) хЫх = х агсв1п х— = хагсв1пх+ 2~~ — х1 1 — х~ = хагсх1пх+ 1/1- х1+ С.
Здесь использован тпабличный интпеграл 1. б. Во втором неопределенном интеграле подведем сомножитель х под знак дифференциала: х х~ х агсСдх Их = агсФдх И вЂ” = агсФдх ° —— 2 2 х~ г 1 х~ — Ю(агс®х) = — агсФд х — — Нх. 2 2 2 1+х~ 1. Если подынтегральная функция является произведением многочлена Р (х) степени т > 0 и одной из функций в1п ах, совах, е, то в (1.19) следует выбрать и(х) = Р (х). 2.
Если под знак исходного интеграла входит обратная тпригонометприческая функция (агсв1пх, ахссовх, агсфх, агссфх) или логарифмическая функция 1пх, умноженная на многочлен Р (х) (т > О), то в качестве Й~(х) следует выбрать Р (х)Ых. 40 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Для вычисления полученного интеграла в числителе его подын- тегрального выражения добавим и вычтем единицу: з (г+ц Их= ~Ь= 1+х 1+х ~Ь = х — агсф~х+ С. 1+ х2 В итоге получим х 1 х агсС~х Йх = — агсФ~ х — -(х — агсЪдх+ С) = 2 2 х~+ 1 х 2 — агс~~х — -+ С1. 2 в. Третий неопределенный интеграл вычислим, подведя под знак дифференциала многочлен: хз 5 (х +5х — 3)1пх(Ь = 1пхй — + — — Зх 3 2 хз 5хз хз 5хз ~х — + — — Зх 1пх — — + — — Зх — = 3 2 3 2 х 5х~ хз 5х — + — — Зх 1пх — — + — — 3 <Ь= 3 2 3 2 хз 5хг ~ хз 5 — + — — Зх) 1пх — — — -х +Зх+С.
3 2 ) 9 4 г. В четвертом неопределенном интеграле примем и = х: хе <Ь= хЫ(е )=хе — е~сЬ=(х — 1)е +С. Нетрудно проверить, что выбор сочетания и=е~ и Но=хИх или и= хе~ и Ио=пх после применения (1.19) приведет лишь к усложнению подынтегрального выражения. По аналогии с последним примером при интегрировании по частям функции Дх) = х"е (и Е 1ч) произойдет понижение степени х под знаком интеграла, если в качестве и 1.6. Иитегрироваиие по частим выбрать ю": ж"е <Ь= Х" Н(Ех) = Ех12~п ~У ~пЕх Д ю" е 1Ь. =;2 6 Если а раз последовательно провести интегрирование по частям, то можно найти искомый неопределенный интеграл 1„. яо можно поступить проще.
Представив последнее выражение в виде рекуррентного соотношения У„= ж"е — иХ„1, получим У ~ Ех ~1 (~п — 1 Ех (11 1) ~г 2) пЕх ~1~.п-1Ех + П,(П, Ц (~п-2Ех (~1 2)~ ) ( ) х"а~ах=а!ах~ ' ' х" +С. Й=О (и — й)! (1.22) В некоторых случаях интегрированием по частям (иногда — повторным) можно получить в правой части цепочки равенств выражение, содержащее исходный неопределенный интеграл 1, т.е. прийти к уравнению с неопределенным интегралом 1 в качестве неизвестного. Пример 1.13. Интегрированием по частям вычисляем Ни=в хдх дг г и = 2~а2-х2, — ~~Ь = а~а~ — х2 — х = х~а~ — х2+ а2 Ж2 а2 — (а2 — х2) а <Ь + Ых =х~а2 — х2+ — Х. а2 х2 а2 х2 Используя табличный интеграл 15, приходим к равенству г Х = х а~ — х~+ а агсз~п — — 1.
а Отсюда, учитывая, что равенство, в обеих частях которого сто- ят интегралы, верно с точностью до произвольной постоянной, получаем х й . х — а~ — х~ <Ь = — аз — х~+ — агсв1п — + С. (1.23) 2 2 а еахв1п Ьхй В данном случае в качестве а можно выбрать как показатель- ную, так и тригонометрическую функции. Используя первый вариант и интегрируя по частям з1п Ьх — Ы(е'х) = Ь 1, .
а Ь = -еахв1п Ьх — —,7о приходим к интегралу .1о, который тоже возьмем по частям: ах а Ь = --еах сов бх+ -1о. (1.24) 42 ~. нкоткдптнный интриг~ лл Пример 1.14. Найдем неопределенные интегралы 1о — — е'~ сов Ьх сЬ и,7о —— сов Ьх сов бх совбх еах~ еах + ~(еах) Ь Ь Ь Подставляя это выражение в предыдущее, получаем а УΠ— — -е з1пбх — — ~ --е созбх+ -Уо Ь Ь~б Ь , Ьз1пбх+асовбх =е' Ь 2 2 у ~0~ 43 1.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
