VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Интегрирование по частлм ткуда, согласно замечанию 1.1, следует асовЬх+ Ьв1пбх 1о — — е'~совбх ~Ь = е'* + С. аг+ Ьг (1.25) учитывая (1.25), из (1.24) находим , ав1пбх — Ьсовбх 1о — е' в1пбхсЬ = е' +С. аг+ Ьг (1.26) Пример 1.15. Неопределенный интеграл ~Ь аб Я, ау~О, (хг+ а2)и ' 1з= при а = 1 переходит в табличный интеграл 13 Ых 1 х = -агс$д-+С, а ф О. хг+аг а а Для произвольного и б Х и = 1/(хг+ аг)" Ым = -2пх 4х/(хг+ аг) "+' Й1=ах, О=х -2нхдх х (хг+ аг)~ (Хг+ аг)и+1 (Хг+ аг)е (х2+ д2) д2 Йх = ., +2я1„— 2яа~1„+1. +2я Отсюда получим рекуррентное соотношение 1 х 2яаг (хг+ аг)" + (2я — 1) 1„ (1.27) покоторому последовательно,зная 11, можнонайти 12, затем По 1г найти 1з и т.д.
вплотьдо искомого интеграла 1„+1. В некоторых случаях полезно сначала заменить аеремен"ое амтегрировамил, а затем применить интегрирование по частям. 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 44 Пример 1.16. Вычислим интеграл от функции сов~Д, сделав предварительно замену переменного: х=Фз Ых=21Й =2 1сов1Й= $=~/х =2 И(в1п$) =2 8в1п$— в1п 8Й = 2($в1п 1+ сов1) +С = 2(~/х в1п~7+ совках) + С.
Дополнение 1.1. Первообразная непрерыиной функции Из определения 1.1 следует, что иервообразная Р(х) некоторой функции Дх) является функцией дифференцируемой, поскольку .Р(х) =,~(х). Это означает, что для существования у функции ~(х) в промежутке Х первообразной необходимо прежде всего, чтобы в этом промежутке была определена сама функция ~(х). Попытаемся выяснить, каким еще требованиям должна удовлетворять в промежутке Х функция Дх) для того, чтобы она имела в этом промежутке первообразную.
С этой целью предварительно установим некоторые свойства площади илосяой фигуры, рассматривая ее как линейно связное замкнутое ограниченное множестпво точек плоскости. Напомним, что замкнутое множество содержит все свои граничные точки, а ограниченное множество точек на плоскости можно охватить окружностью достаточно большого радиуса. Геометрически такую фигуру можно представить как часть плоскости, ограниченную, например, замкнутым контуром, причем точки контура также принадлежат этой фигуре (рис. 1.6). На плоскости введем прямоугольную систему координат Оху. Назовем двоичной сеткой ранга и б Я совокупность прямых, параллельных координатным осям Ох и Оу и имеющим соответственно уравнения у= Й/2" и х = й/2", й Е Е.
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Площадь плоской фигуры имеет следующие свойства. 1'. Если фигура с площадью Я' составляет часть фигуры с площадью Я", то 5' ( 5". В самом деле, для сетки ранга п 5„' < Я„". Переходя в этом неравенстве к пределу при п -~ оо, получаем указанное свойство, которое называют монотпонностпъю ияощвди. 2'.
Площадь прямоугольника равна произведению длины его основания на высоту. Для доказательства этого свойства У Ь достаточно ограничиться случаем прямоугольника со сторонами, па- В С раллельными координатным осям. В этом случае квадраты сетки ранга и, покрывающие прямоугольник АВСВ, сами составляют некоторый прямоугольник А'В'С'В' А в (рис. 1.7), в котором вдоль основа- ния А'В' уложено р квадратов, а О вдоль высоты В'С' — д квадра- тов. Значит, Рис. 1.7 Я = руй» = рй» дй» = 1А В'~ ° ! В'С'1, (1.28) где ~А'В') =рй„и ~В'С'~=уй„.
Ясно, что при п-+со получим ~А'В'~ -э ~АВ~ и ~В'С'~ -+ ~ВС~. Поэтому при переходе в (1.28) к пределу при п -+ оо установим, что площадь прямоугольника АВС.О Я = ~АВ~ ° ~ВС~. Если прямолинейный отрезок рассматривать как прямоугольник с основанием, равным длине отрезка, и равной нулю высотой, то придем к выводу, что его площадь всегда равна нулю.
3'. Если плоская фигура, имеющая площадь Я, разделена прямой Ь, параллельной оси Оу, на две части, имеющие соответственно площади У и 8", то 5 = Я'+ Я". Действительно, так как рассматриваемая плоская фигура является замкнутым ограниченным множеством точек, то существует отрезок АВ прямой Ь, такой, что точка А лежит ниже 47 Д.1.1, Первообразнав непрерывной функции сей фигуры, а точка  — выше той фигуры (рис. 1.8).
Сумму плоадей квадратов двоичной сетки ранга и, покрывающих всю фигуру, обозначим Я„, а покрывающих составные части фигуры, — соответственно Я„' и Я„". Кроме того, сумму площадей тех квадратов этой сетки, которые имеют общие точки с обеими частями фигуры, обозначим Я„'". Тогда можно запи- сать Рис. 1.8 При и -+ оо будем иметь Я„-~ Я, Я,', -+ У и Я„" -+ Я". Квадраты сетки с суммой площадей Я„"' входят в число тех квадратов, которые покрывают отрезок АВ. Но площадь этого отрезка в силу свойства 2' равна нулю. Поэтому Я„"'-+ О при п -+ оо.
Тогда при переходе в обеих частях последнего равенства к пределу при п -+ оо получим указанное свойство Я = Я'+ Я", называемое аддитпивностпъю паощади. Теперь применим установленные свойства площади плоской фигуры к нривохинейной тпуапеиии, под которой понима- ют часть плоскости Оху, У В ограниченную снизу отрез- Ух) ком ~а, Ь~ оси абсцисс Ох, сверху графиком непрерыв- у(~)- иой функции у = Дж), при- у~, ) с боков прямыми а=а и ~ = 6 (рис. 1.9). Отрезок ~а~ 6] называют основание® игриво.линейной тпра- МЛЗЬХ пении аЪВА.
В случае не- Рис. 1.9 48 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ прерывной на [а, Ь1 функции Дх) криволинейная трапеция является ограниченным замкнутым множеством точек плоскости, что позволяет применить к такой трапеции понятие площади плоской фигуры и испольэовать свойства этой площади. Обозначим через Я(х) (х б [а, Ь1) площадь криволинейной трапеции ахМА с переменным основанием [а, х~ (эта площадь заштрихована на рис. 1.9). Таким образом, каждому значению х Е [а, Ь~ отвечает единственное значение Я(х), равное площади криволинейной трапеции ахМА, т.е.
Я(х) — функция, определенная на отрезке [а, Ь~1, причем Я(а) = О и Я(Ь) = 5, где Я— площадь всей криволинейной трапеции аЬВА. Теорема 1.4. Если функция у = ~(х) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, Ц, то функция Я(х), равная площади криволинейной трапеции ахМА (см. рис. 1.9), такова, что У(х) = Дх) Чх Е [а, Ь1, т.е. Я(х) является первообразной функции Дх) на отрезке [а, Ь1.
° Дадим произвольному значению х б [а, Ь) такое приращение Ьх>О, чтобы х+ЬхЕ[а, Ь~, иобозначим через ЬЯ площадь криволинейной трапеции, основанием которой служит отрезок [х, х+ Ьх~ (см. рис. 1.9). По свойству 3' аддитивности площади имеем Я(х) + ЬЯ = Я(х+ Ьх). Отсюда приращение функции Я(х) будет ЬЯ = Я(х+ Ьх) — Я(х). Согласно второй теореме Вейерштрасса [1-9.41, непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих наибольшего я наименьшего значений. Пусть ~(~) и Дц) — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции Дх) на отрезке [х, х+ Ьх~ (см.
рис. 1.9). На этом отрезке как на основании построим два прямоугольника с высотами ~(~) и Др). ПервыЙ иэ них включает криволинейную трапецию, площадь которой обозначена через ЬЯ, а второй включен в эту криволинейнУю м трапецию. Поэтому в силу свойств 1' и 2' площади плоскоя фигуры Д~)Ьх < ЬЯ < Я)Ьх, или Д.1.1.
Первообраэнаа непрерывной функцин ЬЯ Я'(х) = 1ип — = ~(х), Ьж-+О Ьх что и доказывает утверждение теоремы. ° Замечание 1.6. Если функция у = Дх) неотрицательна и непрерывна в полуинтервале 1а, 6) и имеет конечный предел 1пп Дх) = ДЬ вЂ” 0) >О, ж-+Ь-О (1.29) то функция 3'(х), х Е ~а, Ь); у(х) = У(Ь-О), х=Ь будет непрерывна на отрезке 1а, Ь~ и в силу теоремы 1.2 для площади Я(х) переменной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у(х), справедливо равенство 8'(х) = у(х) Чх б ~а, Ь~, т.е. Я(х) является первообразной функции у(х) на отрезке 1а, 6].
Но при х б ~а, Ь) 0(х) = Дх), и поэтому Я(х) является первообразной функции ~(х) при *б [а, 6). Отметим также, что в силу непрерывности перво- Образной 1пп Я(х) = Я(Ь) = Я, е-+Ь-О ~де 8 — площадь всей криволинейной трапеции аЬВА, имею- "~ей основанием отрезок ~а, 6] (см. рис. 1.9). Ясно, что полученное соотношение верно и при Ьх < О, так как в этом случае и приращение функции ЬЯ < О. Поскольку ~-+х и и-+х при Ьх-+О, всилу непрерывности функции Дх) имеем Я)-+Дх) и ~(ц)-+~(х). Поэтому, согласно утверждению о пределе „промежуточной" функции ~1-7.1~, предел отношения ЬЯ/Ьх при Ьх -+0 существует и равен ~(х). Но по определению производной функции 11Ц этот предел равен У(х). Таким образом, 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 50 Если функция у= ~(х) неотрицательна и непрерывна в полуинтервале (а, Ь~ и имеет конечный предел 1ип Дх) = Да+0) ~ О, (1.30) х-+а+О то аналогичным образом можно показать, что площадь Я(х) переменной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком непрерывной на отрезке [а, 6] функции У(а+ 0), х = а; У(х), хЕ(а, Ц, будет первообразной функции ~(х) в полуинтервале (а, 61, причем 1ип Я(х) = О.
х-+а+О Ясно, что неотрицательная и непрерывная в интервале (а, 6) функция ~(х) с конечными пределами (1.29) и (1.30) имеет в этом интервале первообразную, равную площади Я(х) криволинейной трапеции (см. рис. 1.9), ограниченной сверху графиком непрерывной на отрезке [а, 61 функции ~(а+0), х = а; и(х) = Дх), х Е (а, Ь); ДЬ вЂ” О), х=Ь. (1.31) Таким образом, неотрицательная и непрерывная в конечном промежутке Х функция с конечными пределами соответственно справа и слева на концах этого промежутка всегда имеет первообразную в промежутке Х. Следствие 1.1. Любая непрерывная на отрезке [а, Ц функция Дх) имеет на этом отрезке первообразную. 4 Если Дх) ~ 0 Чх б [а, 6), то существование первообразной следует из теоремы 1.4. В противном случае в силу ограниченности непрерывной на [а, Ц функции Дх) всегда можно подобрать постоянное число К > О, такое, чтобы Дх)+К ~~ О Ух Е [а, Ь~.
Геометрически это означает, что график функции 51 Волросм и задачи (Ф(х) — Кх) = Ф'(х) — К = фх) + К) — К = Дх), функция Р(х) =Ф(х) — Кх будетпервообразнойфункции Дх) на отрезке [а, 6]. ~ Замечание 1.7. Итак, достаточным условием существова ния у функции первообразной на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Функция, непрерывная в некотором промежутке (конечном или бесконечном), имеет первообразную на любом отрезке, включенном в этот промежуток. Значит, такая функция имеет первообразную на всем рассматриваемом промежутке, что и было сформулировано в утверждении 1.1. Вопросы и задачи 1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
