VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Р ~(х) и Я„(х) — многочлены с действительными коэффициентами соответственно степени т и и, причем т< и. Будем считать, что эти многочлены не имеют общих нулей (иначе говоря, рассматриваемая правильная рациональная дробь несократима). Теорема 2.1. Если число а (= й является действительным Чем храптости й ~ Х (1 «» й < а) многочлена Я„(х), т.е. 64 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ где А у~ О и Р~(х) — многочлен степени 1 ( ть — 1, т.е. рациональная дробь Р~(х) (х — а)" 'Я„~(х) является правильной. ~ По условию теоремы справедливо равенство Р (х) Р (х) Я„(х) (х — а) "Я„~(х) ' Добавим в правую часть этого равенства слагаемые А/(х — а)" (А Е В) с разными знаками и преобразуем его: Р (х) Р (х) А А Я„(х) (х — а)~Я„ й(х) (х — а)" (х — а)" А Р (х) — Ац„ ~(х) (х — а)" (х — а) "Я„у,(х) В знаменателе второго слагаемого в правой части (2.17) стоит многочлен степени а, а степень многочлена в числителе этого слагаемого меньше и, поскольку и т(я, и е — й < ть.
Следовательно, это слагаемое является правильной рациональной дробью. Поскольку по условию теоремы Р,„(а) ф. О и Я„у,(а) ф. О, то действительное число А ф- О можно выбрать так, чтобы многочлен Р (х) — АЯ„~(х) делился на х — а, т.е. из условия Р (а) — АЯ„~(а) = О. Отсюда А = Р (а)/Я„~(а) ф- О. При таком выборе числа А второе слагаемое в правой части (2.17) можно сократить на х — а, записав его в виде Р,„(х) — АЯ„~(х) Р~(х) (х — а) «Я„~(х) (х — а)"-'Я„~(х) где Рф(х) = (Р,„(х) — АЯ„у,(х))/(х — а). Рациональная дробь в правой части (2 18) получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами на мн0 житель х — а, где а — действительное число, и поэтоМ7 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 66 Р (х) Мх+Ф Р~(х) я (х) (хг+~ +Ю)" (хг+~ +Ю)~ 1я -гю(х)' где М, Ф Е Ж и одновременно не обращаются в нуль, а РДх)— многочлен степени ! < я — 1, т.е.
рациональная дробь (хг+ рх+ д) Й-1я ],(х) является правильной. ~ По условию теоремы справедливо равенство Р (х) Р (х) я (х) (хг+ рх+ Ч) "~ — ~(х) ' Добавим в его правую часть слагаемые (Мх+ У)/(хг+ рх+ д)" (М, Ж б Е) с разными знаками и преобразуем: Р (х) Мх+ Ж Рт(х) (Мх+ХЯ -гь(х) я„(х) (хг+ ух+ у)" (х + рх+ д) "я„-гц(х) В знаменателе второго слагаемого в правоЙ части (2.21) стоит многочлен степени и, а степень многочлена в числителе этого слагаемого меньше и, поскольку и тп< и, и а — 2Й+1 < я.
Следовательно, это слагаемое является правильной рациональной дробью. Выберем действительные числа М и У так, чтобы многочлен Р (х) — (Мх+Ф)Я„г~(х) делился на хг+рх+д. Для этого достаточно, чтобы комплексное число х = а+ ~И ф ф- 0) было корнем уравнения Р~(х) (Мх + Ф)Яю-гй(х) = 0 причем Я„г~(х) ф.О и Я„г~(У) у~О, то несократимую прави- льную рациональную дробь Р (х)Щ„(х) (Р,„(х) ф.О, Р Я ~6 «Е 0) можно представить в виде 2.3. Раэложеыие прааыльыой рациоыалыюой дроби ыа лростейшые 67 т.е.
Р Я вЂ” (М(а+ Я) + Ж)Я -2»(х) = 0 (2 22) гогда и сопряженное х комплексное число У= о — /Й также будет корнем этого уравнения. Поэтому многочлен Р (х)— (Мх+Ф)Ч„2»(х) делится на х2+рх+у=(х — х)(х-У). Из (2.22) следует, что М(а+Я+И= - =К+И, Ртв (~) Я~-2»(х) где К и Ь вЂ” некоторые действительные числа.
Приравнивая в этом равенстве действительные и мнимые части, получаем фа+У=К и М)9= 1. Отсюда М= Ц~3 и У= К вЂ” ай(9, причем М и Ф одновременно не обращаются в нуль, так как в противном случае Р (г) = О, что противоречит условию теоремы. При таком выборе М и У второе слагаемое в правой части (2.21) можно сократить на х2+рх+д, записав его в виде Р (х) — (Мх+ЮЯ„2»(х) Р(х) ( 2+ +,)»д ( ) = ( 2+», (2.23) г~е Р~(з) = (Р (а) — (Их+у)д„2~(~))д 2+ + ) р „„ опальная дробь в правой части (2.23) получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффици- ентами на множитель х2+рх+о, где р и д — действительные числа, и поэтому является правильной рациональной дробью с действительными коэффициентами.
Подставляя (2.23) в (2.21), получаем требуемое (2.20). $» Замечание 2.3. К правильной рациональной дроби в пра- аой части (2.23) при Й > 1 можно вновь применить теорему 2.2 ® вместо (2.20) в итоге записать Р,(х) Мх+ Ж М1х+ Ф1 + +" + 9~(х) (х2+ ах+у)» (х2+ рх+ д)» 1 М» 1х+И» 1 Р,(х) + 2 + Рх+ ч Яа 2»(х) 2. ИНТЕГРИРОВА НИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ где Р,(х) Щ„г»(х) — несократимая правильная рациональная дробь (см. замечание 2.1). Если многочлен Я„2»(х) имеет другие комплексные нули, то к этой дроби также применима теорема 2.2.
Любой многочлен Я„(х) степени и с действительными ко эффициентами можно представить в виде произведения сомножителей вида (х-а„)»" (г=1,1) и (х2+р х+щ)'~ (у=1,,7). Здесь а„— действительный нуль этого многочлена кратности Й„, а х +Р,х+ф = (х — х )(х-У ), где х; и Т вЂ” его комплексно сопряженные нули кратности 1 . При этом общее число нулей с учетом их кратности должно быть равно а, т.е. 1 .1 Й„+2~ ! = в.
г=1 ,у~~ Тогда, объединяя утверждения теорем 2.1 и 2.2, с учетом замечаний 2.1 и 2.3 можно заключить, что несократимую правильную рациональную дробь можно разложить на простейшие рациональные дроби следующим образом: Р (х) А(~) А( ~ А» + ' + "+ — ~+ "+ ф,(х) (х — а~)»~ (х — а~)»1 ~ х — а~ А(") А("~ А»', А® +» + + е ° е+ + ° е+ (х — а„)» (х — а,)» ~ х — а„(х — а1)»~ + А( ~ А» ~ М(цх-(-У(') М('~х~-~(ц (х-а1)»1 ~ х-а1 (х2+р~х+дф~ (х2+р~х+дф~-~ хз+ях+ д~ (х2+р х+д')Ь (х2+р х+дДЬ ~[,-Р+~~,-~ М(ах+И(1~ О) 0) х2+ р х+ д (х2+р,1х+д1) ~~ (.1) (.1) М(~ х Ж(~ + 2 М~ х+М, ~ ~х+ , +...+ . (2.25) (х2+р1х+д1)~~ ~ * х2+ р1х+ д1 р.З.
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие 69 цсе и коэффициентов в (2.25) являются действительны- „® числами. Для их нахождения можно испольэовать метод ,еояределенных козффициемтпов, состоящий в следующем: равую часть (2.25) приводят к общему знаменателю и затем ,иравнивают коэффициенты при одинаковых степенях аргуента х у многочленов в числителях обеих частей получив„егося равенства. При этом в числителе правой части этого авенства многочлен будет иметь степень и — 1, что позволит оставить систе,му из и линейных алгебраических уравнений с и неизвестными коэффициентами. Из теорем 2.1 и 2.2 следует, что эта система имеет решение при различных наборах коэффициентов ь огочлена Р (х) в (2.25), т.е. при различных правых частях системы. Поэтому определитель матрииы СЯАУ будет отличен от нуля [Щ Отсюда следует не только существование, но и единственность решения этой системы уравнений, т.е.
единственность разложения (2.25) правильной рациональной дроби на простейшие. Замечание 2.4. Полезно отметить, что каждому действительному нулю а„(г= 1,1) кратности Й„многочлена Ч„(х) в разложении (2.25) соответствует серия из ровно Й„простейших дробей первого и второго типов. При этом степень двучлена х — а„в знаменателях слагаемых серии уменьшается от Й„до 1. Паре комплексно сопряженных нулей кратности 1, много- члена Я„(х) соответствует серия из Ед дробей третьего и четвертого типов также с уменьшающимся на единицу (начиная с ~~) показателем степени трехчлена х2+ рх+ о в знаменателях дробей. ПРимер 2.3. а. Разложим на простейшие правильную рациональную дробь (Зх~+ 4)/(х(х — 1) (х+ 2)), знаменатель которой имеет три простых корня а1 — — О, а2 — — 1 и аз —— -2.
Ее разложение на простейшие дроби, согласно (2.25), имеет вид Зх2+4 А В С вЂ” + +— (2.26) х(х — 1) (х+ 2) х х — 1 х+ 2 70 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ После приведения правой части (2.26) к общему знаменателю получим Зз~+ 4 = А(ж — 1) (ю+ 2) + Вю(ю+ 2) + Сж(ж — 1). (2.27) Раскрывая скобки в правой части (2.27), запишем За~+4 = (А+ В+С)м~+ (А+ 2 — С)а — 2А.
Приравнивая в этом равенстве к~юффициенты при одинаковых степенях х, приходим к системе трех уравнений А+ В+С=3, А+2В-С= О, — 2А =4 с тремя неизвестными. Из третьего уравнения находим А = = -2. Складывая все три уравнения, получаем ЗВ = 7, откуда В = 7/3. Подставляя найденные значения А и В в первое уравнение, вычисляем С= 3 — А- В =8/3.
В итоге, согласно (2.26), разложение исходноЙ дроби на простейшие принимает вид З*г+4 2 7 8 + + ж(ж — 1)(х+2) ю 3(ю — 1) З(х+2) В данном случае неизвестные коэффициенты в (2.26) можно найти более простым путем. Последовательно приравняем в (2.2Т) ж значениям действительных нулей знаменателя заданной рациональной дроби. При ю = О сразу получим -2А = 4, т.е. А=-2. Затем положим в (2.27) х=1 и получим ЗВ=7 откуда В=7/3. Наконец, подставим в (2.2Т) ~= -2 и из равенства 6С=16 найдем С=8/3. Последний способ нахождения коэффициентов особенно эффективен, когда знаменатель рациональной дроби имеет простые действительные нули.
В общем случае полезно сочетать оба рассмотренных способа. 2.3. Разложеиие прааильиой рациоиальиой дроби ыа простейшие 71 б. Разложение дроби (2х~+ 1)/[(х — 1)~(х~+ 1)] на простейшие, согласно (2.25), имеет вид 2х~+ 1 А В Мх+ У вЂ” + + (х — 1)2(х2+1) х — 1 (х — 1)2 х2+1 ' (2.28) После приведения правой части к общему знаменателю получим '2х~+1= А(х — 1)(х~+1)+В(х +1)+(Мх+У)(х — 1)~.
(2.29) хз А +М х~ -А+ — 2М+ И=2, А + М-2Ф=О, хО А+В + У с тремя неизвестными (поскольку коэффициент В уже наЙ- деи). Из первого и третьего уравнений видно, что У=О. Из последнего уравнения находим А = В+ Ж вЂ” 1 = 1/2, а затем из первого уравнения определяем М = -А = -1/2. В итоге, согласно (2.28), имеем 2х2 1 3 х (х — 1) ~(х2 + 1) 2(х — 1) 2(х — 1) ~ 2(х~+ 1) Если знаменатель рациональной дроби имеет кратные нули, ~о для нахождения коэффициентов разложения целесообразно спользовать сочетание описанных способов с дифференцированием равенства числителей после приведения слагаемых разло 'кения к общему знаменателю. Подставив в (2.29) х=1, найдем В=3/2.
Далее, приравнивая в (2.29) коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему четырех уравнений 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Пример 2.4. Найдем коэффициенты в разложении правильной рациональной дроби 1 А В (х+ 1)(х+ 2)2(х+ 3)з х+ 1 (х+ 2)~ + + х+ 2 (х+ 3)з (х+ 3)2 х+ 3 После приведения правой части этого равенства к общему знаменателю получим 1 = А(х+ 2)2(х+ 3)з+ В(х+ 1)(х+ 3)з+ +В,(х+ц(х+2)(х+3)з+С( +ц( +2)2+ + С1 (х + 1) (х+ 2) (х+ 3) + С2(х + 1) (х+ 2) (х+ 3) ~. (2.30) Последовательно полагая, что х = -1, х = — 2 и х = -3, находим А = 1/8, В = -1 и С = -1/2. Дифференцируя (2.30) по х, выпишем справа лишь те слагаемые, которые не обращаются в нуль при х=-2 и 0 = -1/2 — 2 — 2С1 0=-1+3-В, или В1 — — 2 и С1 —— -5/4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
