VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для нахождения коэффициента С2 следует дважды продифференцировать (2.30) по х, приняв затем х =-3: О = (2С(х+2)+2С(х+2)+2С(х+1)+2С1(х+2) + + 2С1 (х + 1) 2(х + 2) + 2Сх(х + 1) (х + 2) ) ~ О= (В(х+3) +В(х+1)3(х+3)'+В1(х+1)(х+3) )) при х=-3 О= (С(х+2)~+С(х+1)2(х+2)+С1(х+1)(х+2) )) х. Отсюда, учитывая, что В= -1 и С=-1/2, соответственно получим ЗА. Интегрирование дробне-рационааъных Функций Отсюда с учетом значений С = -1/2 и С1 — — -5/4 найдем 0-1+1+2 — 5/2 — 10 — 4С2, т.е.
С2- — — 17/8. Кадо сказать, что каждое последующее дифференцироваие равенств вида (2.30) приводит к довольно громоздким выр жениям- В данном случае С2 проще найти приравняв в (2.30) коэффициенты при старшей (пятой) степени аргумента х: 0- А+В1+С2. Отсюда С2 — — -А — В1 — — — 1/8 — 2= — 17/8.
ф Ц некоторых случаях разложение правильной рациональной дроби на простейшие удается получить, не используя (2.25) и ие прибегая к методу неопределенных коэффициентов. Пример 2.6. Для разложения рациональной дроби 1 ~(х) = иа сумму простейших дробей проще всего провести тождественные преобразования в числителе добавлением и вычитанием х2: ( '+1)- ' 1 х2(х2+ 1)2 х2(х2+ 1)2 х2(х2+ 1) (х2+ 1)2 (х2+ 1) — х2 1 1 1 1 х2(х2+ 1) (х2+ 1)2 х2 х2+ 1 (х2+ 1)2 В итоге исходная рациональная дробь представлена алгебраи- ческой суммой простейших рациональных дробей.
2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций Согласно (2.2), любую дробно-рациональную функцию Дх) = е~(х)/Я„(х), где Р~(х) и Я„(х) — многочлены с действиъ'ел ельными коэффициентами степени ти) 0 и и > 0 соответ«венно, в общем случае можно представить суммой некоторого 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ многочлена Р„, „(х) (если т, > и) и правильной рациональной дроби. В свою очередь, в силу (2.25) эту дробь можно разложить на простейшие.
Многочлен Р „(х) определен на всей числовой прямой Й и его интегрирование не представляет трудностей. Неопределенные интегралы от простейших рациональных дробей, рассмотренные в 2.2, могут быть выра жены через дробно-рациональные функции, логарифмическую и обратную тригонометрическую, а именно через арктангенс, т.е. неопределенный интеграл от любой рациональной дроби представим элементарными функциями. Итак, интегрирование любой дробно-рациональной функции состоит из следующих этапов: 1) выделение из нее целой рациональной функции — многочлена (он может быть нулевым) и правильной рациональной дроби; 2) разложение правильной рациональной дроби на простейшие; 3) нахождение неопределенных интегралов от многочлена и полученных простейших дробей. Рассмотрим эти этапы подробнее на нескольких характерных примерах. Пример 2.6.
Найдем интеграл от неправильной рациональной дроби (х4+ х)/(хз — 1). Преобразуем ее числитель так, чтобы в нем можно было выделить слагаемое, кратное знаменателю и включающее старшую степень аргумента х: х4+ х х(хз — 1+ 1) + х х(хз — 1) + 2х 2х хз 1 хз 1,з 1 з х + . (2.31) Многочлен Чз(х) = хз — 1 в знаменателе выделенной правильной рациональной дроби можно представить как разность кубов: Я(х) = (х — 1)(хз+ х+ 1). Он имеет простой действительный нуль х = 1 и пару комплексно сопряженных нулей Поэтому разложение правильной рациональной дроби в (2.31) 2.4. Иытетрироваыие дробно-рац~аоиаиьиых фуиюа~ий „а простейшие, согласно (2.25), примет вид хз-1 х-1 хз+х+1 2х = А(хз+ х+1)+ (Мх+ Ж)(х — 1). Это равенство верно при любых значениях х. Полагая в нем х=1, находим 2=ЗА, т.е.
А=2/3. При х=О имеем О=АЯ, откуда У = А =2/3. Наконец, приравнивая коэффициенты при х~, получаем О=А+М, или М=-А=-2/3. Итак, вместо (2.31) запишем х4+х 2 2 х — 1 хз — 1 3(х — 1) 3 хз+ х+1 =х+ Таким образом, х — 1 ~Ь. хз+х+1 Первые два интеграла в правой части нетрудно найти при помощи та6личных интегралов 1 и 2. В знаменателе аодыктегральной функции в третьем интеграле выделим полный ква драт: х~+х+1= (х+1/2)~+3/4 и обозначим х+1/2= Ф (х = 8 — 1/2, ах = й). Тогда, используя линейность неопределенного интеграла и применяя интегрирование подведением код анан дифференциала, получаем с учетом табличных инте"Ралов 2 и 13 Ы(Р+ 3/4) Ф-3/2 1 ~' ~Й= -у х — 1 — Их= хз+ х+ 1 8+3/4 3 Й 1 з 3 3 2 2$ = -1п 8~+ — — — ° — агсФ$ — +С.
2 Р+ 3/4 2 4 2 ~/3 43 досле приведения правой части данного равенства к общему знаменателю получим 76 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Возвращаясь к исходному переменному х, находим х — 1 1 2х+ 1 сЬ = -1п~х +х+ Ц вЂ” ~/Загс$ц +С, хг+ х+ 1 Гз или окончательно 3 ~х — х~х+ х — 1 пх= хг+х+1 х — 1 3 хг г 2 2х+1 = — +-1п~х — Ц вЂ” -1п~х +х+ Ц+ — агсйд +С. 2 3 3 ~ГЗ ~ГЗ Пример 2,7, функция Дх) = (х4+ 1)/(х5+ х4 хз — хг) является правильной рациональной дробью.
Разложим ее знаменатель на множители: х +х — х — х =х(х+х — х — 1)= = х (х+1)(хг — 1) =х (х+1) (х — 1), т.е. знаменатель имеет двукратные действительные нули х = О и х = -1 и простой действительный нуль х = 1. Следователь- но, согласно (2.25), разложение функции ~(х) на простейшие рациональные дроби имеет вид х4+ 1 А А1 В В1 .0 + + + + х5+ х4 хз — хг хг х (х+ 1)г х+ 1 х — 1 А(х+ 1)г(х 1) + А х(х+ 1)г(х 1) + Вхг(х — 1) + В1хг(х+ 1)(х — 1) + Вхг(х+ 1)г.
(2.32) Последовательно полагая в (2.32) х = О, х = -1 и х = 1 получаем 1= — А, 2= — 2В и 2=4.0, откуда А= — 1, В=-1 Из этого равенства после приведения его правой части к общему знаменателю следует равенство многочленов 2.4. Интесрированке дробно-рациональных Функций ,р = 1/2. Продифференцировав (2.32) по х, выпишем справа пь те слагаемые, которые не обращаются в нуль при х = О 4Х4! = (2А(х+1Их — 1)+А(х+ 1)~+ А1(х+ 1)1(х — 1)) ~ ®при х=-1 4х~~~, = 12Вх~х — 1) + Вх|+ В х~(х — 1))) Отсюда соответственно имеем О= — 2А+А — А1 и — 4=48+ +8-2В1, или с учетом значений А=В= — 1 получим А1 — — 1 и 31 — -1/2.
Таким образом, заданная функция принимает вид 4+ 1 1 1 1/2 1/2 + + х~+ х4 хз — хз хз х (х+ 1)~ х+ 1 х — 1' х4+1 1 1 1 хб+ х4 хЗ х2 — +!и ~х~+ — — — )и ~х+ Ц+ х+1 2 1 1 1 1 + — 1п ~х — 1~+ С = — + 1п ~х~+ — — -1п 2 х х+1 2 х+1 х — 1 Пример 2.8. Функция Дх) = х4/(х4+5х~+4) является неправильной рациональной дробью. Выделив из нее многочлен и правильную рациональную дробь, запишем 5х'+4 — 1— х~+ 5х~+ 4 х4+ 5х~+ 4 "Ули многочлена в знаменателе являются корнями биквадрат®огоуравнения ~1Ц х4+5х~+4= О. Обозначив х~ = а, получим "®адратное уравнение и~+ 5а+4 = О, имеющее простые корни "~= -1 и иг — — -4. Следовательно, знаменатель можно представить в виде х +5х~+4= и~+5и+4= (и+1)(а+4) = (х~+1)(х~+4).
Неопределенный интеграл от этой функции находим при помо- щи табличных интегралов 1 и 2: 78 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Тогда для правильной рациональной дроби, согласно (2.25), имеем разложение 5хг+4 Ах+В Мх+Ф х4+5хг+4 хг+1 + хг+4 Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю, приходим к равенству многочленов -5хг — 4= (Ах+В)(х +4)+(Мх+Ф)(х +1). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по- лучаем систему линейных алгебраичесхих уравнений А +М = О, В +У=-5, 4А +М = О, 4В +Ф=-4.
х4 1/3 16/3 =1+ х4+ 5хг+4 хг+ 1 хг+4 Тогда с учетом табличного интеграла 13 получим х4Ых 1 8 х = х+-агсФдх — -агс1ф-+С. Пример 2.9. Найдем неопределенный интеграл от функции У(х) = (хг+х)/(хе+1), представив его суммой интегралов хг+х 1 Ых=— хв+1 3 ,~( з) Ы(хг) (2.33) хе+ 1' хе+1+ 2 Из первого и третьего уравнений находим А = М = О, а иэ второго и четвертого — В = 1/3 и У = — 16/3.
В итоге заданную функцию запишем в виде 80 г. интеГРиРОВА ние РА ЦиОнАльных ДРОБей Следовательно, Й Й 1 ~ Й 1 ~ — 2 (й+1)(Р— й+1) 3,/ й+1 3 Р— й+1 1 г 1 21 — 1 = - 1п ~$+ 1~ — - 1п(1~ — 8+ 1) + — агсФд — + С = 3 6 ~(3 ~/3 (р+ цг 1 2$ — 1 + — агс$ц — + С. ~ГЗ ~ГЗ 1 = -1п 6 Возвращаясь к аргументу х, вместо (2.33) в итоге получаем хг+х 1 1 2хг 1 1 (хг+Цг — Их = — агсфх~+ — агсф + — 1п + С. хе+1 3 2~/3 ~ГЗ 12 х4 хг+1 Замечание 2.5. При интегрировании дробно-рациональной функции зтап ее разложения на простейшие рациональные дроби не всегда является обязательным.
В некоторых случаях удается найти интеграл более простым путем. Пример 2.10. Ясно, что разложение правильной рациональной дроби Дх) = хз/(х — 1) 100 на простейшие будет весьма громоздким. В данном случае прощеобозначить х — 1=8 (х= =8+1, Их=Й) и вычислить (~+ 1)зй ~з+ З,г+ 3~+ 1 Й= ~100 (х — 1) 100 Й вЂ” +3 ~98 Й вЂ” +3 ~97 1 3 3 1 98198 99~99 96Р8 97Р~ Возвратившись к переменному х, получим 1 3 1 99(х — 1) 3 (х 1)100 96(х — 1)98 97(х — 1)9'г 3 98(х — 1)98 Д.З.1.
Метод Остроградского Дополнение 2.1. Метод Остроградского Итак, неопределенный интеграл от любой дробно-рацио~ьной функции можно выразить в конечном виде при помощи функций трех типов: дробно-рациональной, логарифмической и нтангенса (см. 2.4), т.е. он является линейной комбинацией ,гебраической и трансцендентной функций. В ряде прикладах задач важно уметь выделить эти функции или же найти „словия, при которых неопределенный интеграл содержит либо только алгебраическую часть, либо только трансцендентную.
Интегрирование простейших рациональных дробей (см. 2.2) приводит к выводу, что неопределенный интеграл от дробно-рациональной функции будет содержать только трансцендентные функции (логарифмическую и арктангенс), если ее знаменатель имеет лишь простые нули (действительные и комплексно сопряженные). Присутствие в таком интеграле алгебраической части в виде рациональной дроби возможно лишь при наличии кратных нулей у знаменателя подынтегральной функции. Пример 2.11. Выясним, при каком условии неопределенный интеграл от правильной рациональной дроби аж2+ 6ю+ с ° Л4) = ,З(.
,)2 является рациональной функцией. Знаменатель этой рациональной дроби имеет трехкратный действительный нуль ж = О и двукратный действительный нуль ж = 1. Согласно (2.25), ее Разложение принимает вид ах2+ 6з+ с А А1 А2 В В1 + + + +— 2.3(~ 1) 2 ~З ~2 ~ (~ 1) 2 нтеграл будет рациональной функцией, если в этом разложе- «®И равны нулю коэффициенты А2 и В1 ° При таком условии 2. ИНТЕГРИРОВА НИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕИ 82 ахи + Ьх + с = А(х — 1) з+ А1х(х — 1) Я+ Вхз = = (А1 + В) х + (А — 2А1) х~ + (А1 — 2А) х+ А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
