VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Другие ириемы иитекрироваииа ря этого найдем производную Ф хл 1 ахх+Ьх+с 2ах+ Ь ахи + Ьх+ с+ х"-' 2 2(и 1) хл-2(ахи + Ьх + с) + хл-1 (2ах + Ь) =(и-1)х" ~ + и — — Ь х" ~ + (и — 1)с и после интегрирования левой и правой частей этого равенства запишем х л-1 л-1 1 иа и-1/2 и-1 — Ь 1„1 — с — 1л-з. иа иа Отсюда при и=1 1 Ь 11 — — ахи+ Ьх+ с - — 1о.
а 2а Испол1 зуя это выражение и полагая в предпоследнем равенстве, что и=2, получаем ЗЬ~ — 4ас 1 Вакх~ — 10аЬх+159 — 16ас 36аЬс- 15Ьз 48аз 24аз 2ах — ЗЬ 1~ = 4а ~®атее для и=З найдем 1 1„+ и — — Ь1л 1+( — 1)с1„з, 2 112 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Поступая аналогичным образом, для произвольного и Е ~ запишем +Л 10 где Р„д(х) — многочлен степени и — 1, а Л„ЕВ. Таким образом, интеграл 1„для произвольного и Е ~ можно выразить через интеграл который, в свою очередь, после выделения под знаком радикала полного квадрата и линейной замены х+ Ь/(2а) = $ (см. 1.5) можно свести к одному из тпабличных интпегралов 15 илн 16, выражаемых через арксинус или логарифмическую функцидо.
В итоге получим, что интеграл от функции (3.13) будет линейной комбинацией интегралов 1д, Уд, 1з, ..., 1„, т.е. ~тв(х) ~х (3.18) где Я„д (х) — многочлен степени не выше и — 1, а Л Е Ж. Покажем, что такое представление единственно. После дифференцирования (3.18) получим Р„(х) 2ах+ Ь +Я -д(х) 2 + или 2Р„(х) =Щ'„д(х)(ах +Ьх+с)+Я„д(х)(2ах+Ь)+2Л, (3.19) т.е. в каждой части этого равенства стоят многочлены степеня не выше и. ПУсть коэффициенты ао, ад, ..., а„многочленз Р„(х) известны и Я„д(х) = Ьох" д+Ьдх" ~+...+Ь„гх+Ь„д. 113 3.4. Другие ириемы интегрироваииа ,р, гда вместо (3.19) запишем 2(аох" +а1хп ~+...+ап 1х+ап) = =2((и — 1)Ьохп ~+(и-2)Ь1х" ~+...+Ьп у)(ах +Ьх+с)+ +(Ьохп '+Ь1х" ~+...+Ь„дх+Ьп 1)(2ах+Ь)+2Л.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по, учаем систпему я+ 1 линейных алгебраичесхих уравнений с в+1 неизвестными Ьо, Ь1, ..., Ь„1 и Л: 2ап = 2сЬ„~+ ЬЬ„~ + 2Л, 2ап 1 — — ЗЬЬ„~+ 4сЬ„з+ 2аЬ„1, ° Ф 2ап ~ =2ЬаЬп ц+(21+1)ЬЬ„ц 1+2(1+1)сЬп ~ р, ° 1 ° 2а1 — — 2(п — 1) аЬ1 + (2и — 1) ЬЬо, 2ао = 2яаЬо Из последнего уравнения этой системы следует Ьо —— ао/(иа). Если и=1, то Ь„1 — — Ьо, Ь„з —— Ь1 — — О и из первого уравнения системы находим Л = а1 — Ьао/(2а). Если же и > 1, то, подставляя выражение для Ьо в предпоследнее уравнение системы, находим коэффициент 2яаа1 — (2п — 1) Ьао Ь— 2п(е — 1)аз Затем, подставляя выражения для Ьо и Ь1 в предшествующее уравнение, найдем Ьр и т.д.
вплоть до коэффициента Ь„1, "оторый получим из второго уравнения системы, а затем из первого уравнения этой системы вычислим Ь Л = а„— сЬп з — -Ь„д. Итак, полученная система линейных алгебраических урав~е®ий имеет Решение пРи любых значениЯх ао, а1, ..., ап 1, ап, 114 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ т.е. опреде.4итпель этой системы отличен от нуля, а ее рец~~ ние единственно. Таким образом, (3.18) позволяет выделит алгебраическую часть Я„1 ах +ох+с интеграла от фун . ции вида (3.13), не прибегая к интегрированию, а лишь рещ~ систему линейных алгебраических уравнений. На практик коэффициенты многочлена Ч„1(х) и Л в (3.18) находят .це тподом неопределенных коэффициентпое.
,3 = (Ах~+За+О)~~~+х+1+А / х +и+1 мхи+х+!' Числа А, В, О и Л найдем методом неопределенных коэф- фициентов. Продифференцируем последнее равенство: 3 — (2Ах+В)1йе+х+1+ хе+и+! +(Ах + Вх+.О) 2х+ 1 + Л 2~х~+х+ 1 ~х~+ и+ 1 Приведем это выражение к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей: 2х =2(2Ах+В)(х +х+1)+(Ах +Вх+.0)(2х+1)+2Л. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по- лучаем систему уравнений для нахождения неизвестных коэф- фициентов: 6А =2, 5А+4В = О, 4А+ЗВ+20 = О, 2В+ .О+2Л= О.
хО Пример 3.4. а. Вычислим неопределенный интеграл от фуииции хл/~/хе+ х+ 1. Воспольэовввшись (8.18), запишем 115 3.4. Другие нриемы интегрирования решак эту систему, находим А = 1/3, В = — 5/12, В = 1/24, А = 7/16. Таким образом, поскольку Их Ы(х + 1/2) 1 — )п х+-+ ~~х2+х+1 +С, х2+х+1 2 то в итоге имеем 7 1 + — 1п х+-+ х~+х+1 +С. 16 2 х2+ х2 х'2/Р+ 1~х = 22х. х2+1 Теперь применим (3.18): х2+х2 Ых Их =(Ах +Вх~+Вх+Е)~х2+1+А ,Ги+1 ЧР+1 Продифференцируем это равенство: х +х2 = (ЗАх~+ 2Вх+ 0) ~х~+1+ + ~ 4хз+Вхг+ 0х+Е) иУ+1 ЧЯ+1 Риведем последнее выражение к общему знаменателю и при"а®нием числители полученных дробей: +х = (ЗАх +2Вх+,Оих +1)+Ах +Вх +.Ох~+ах+А.
б. Подынтегральную функцию в интеграле ~х~~/хг+1Ых умножим и разделим на ~/а~+ 1: ЗА. Другие приемы интегрировании 1огда с использованием (3.22) и (3.23) получим (1 — 8~)~ ~Й, (3.24) е, интеграл от многочлена степени 2(т — 1). В частном ~учае при т=1 можно написать 4Ф 2(2х+ р) +С— +С. 4~- ~г (4~- рг) В случае, если в (3.15) ру66/а, применяют такую замепу переменного интегрирования х, чтобы в обоих трехчленах исчезли слагаемые с первой степенью заменяющего переменного. Последовательность вычислений рассмотрим на несложном примере. Пример 3.6.
В подынтегральной функции ,~(х)— (х1 — х+ 1)~х~+ х+ 1 проведем замену переменного х = (ф+ и)/(1+ 1), подобрав значения и и и так, чтобы в выражении х =~х+1— (1Р ~ х+ 1) 11 + (2ри х (х + и) + 2)1+ их ~ и + 1 (~+1)г ~тратился в нуль коэффициент при заменяющем переменном $, а именно 2~им~(,и+и)+2= 0. '~о Условие выполняется, если, например, )и = -и = 1. В этом случае $ — 1 2Й 48+ 2 х= —, (Ь= х+3=— ~+ 11 — (~+ 1)г1 — ~+ 1 г 11+ З.../ЗА+1 х — х+1= , хг+х+1= (8+ 1)г 8+ 1 120 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ и для рассматриваемой-подынтегральной функции У(х) Ых =8 +4 (1 +З)~ва +1 11 +З)~/31в+1' К первому интегралу в правой части этого равенства приме. иим водотавовку и = ~/313+ 1, Ии = 131/~/313'+1) й, 1в+ 3- = (а~+ 8)/3 и найдем, учитывая табличный интеграл 13, 1/3 3~Й 11в+ З)~З~ +1,/ Й а~+8 1в+3 ~в~ +1 1 и 1 ЗР+ 1 = — агсЫ вЂ” + С1 = — агсфц + С,.
=М Л =Л 8 Для вычисления второго интеграла используем подстановку Абеля в виде о = ЗР+1 т.е. о~ 27 — 8о2 2осЬ 3(3- о2)' 3(3-о2) ' (3-о~)~' и получаем, принимая во внимание табличный интеграл 14, Й /' 1 31 1 Ив+3)~312+1,/ 1'+3,/ЗФЗ+1 31' $Й= 3- о2 3- о~ осЬ 4Ь 3 о — 3 27 — 8о~ и~ (3 — о~)~ 27- 8о'3 З~/3+ 2~(2о ~/312 + 3+ 2~/21 343 — 2~Г2е Л1в+ 3- Зм'21 1 = — 1п 4/6 1 +С2 = — 1п 4~/6 3.$.
Ч)жгоиоййетрические и й.ипербоиические подстаиовки 121 Обьединяя результаты и заменяя 1 на х, находим (х+ 3) й1х (хи -и+1)~/хи+и+1 ~х~+ х+ 1+ х1/2/3 1 + — 1п с/6 = ~Г8 а|се~ ~~+ х + 1 — х ~/2/3 ,де С=8С1+4Ср, Зев..чание 3.6. Если в (3.15) р= 6/а, но д ф- с/а, то обращения в нуль слагаемых с первой степенью $ в обоих трехчленах можно достичь более простой заменой переменного интегрирования х = 1 — р/2. З.Ь. Тригонометрические и гиперболические подстановки Рассмотренные в 3.3 и 3.4 способы интпеарироеания функций вида В(х, ах +дх+с) и В,(х)/ ах +дх+с часто связаны с достаточно сложными выкладками. Иногда интегра лы от этих функций можно найти более простыми способами, например выделяя полный квадрат в трехчлене Сделав линейную замену переменного 1 = х+ 6/(2а), при а < О ® дз — 4ас> О приведем подынтегральную функцию (3.2) к уаииональиой функнии и1(1, ~/Ал — 1л), а при х > 0 — к одному з двух видов: Ил(1 ~~л — Ал) или Ил(1, ~~и+ Ал).
Для первой из них, выполнив замену 8 = Асое~р, получим И1(1, ~Ал — 1л) = И1(Аоохр, Ав!п1л), 122 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ и тогда интеграл от функции (3.2) примет вид В (з1пу, сову) саар, где В' — рациональная функция синуса и косинуса угла у. Наряду с рассмотренной подстановкой для подынтеграль. пой фупкцпп Л~($, тАй сй) )можно прнмеппть замену перь менного 1 = Аз1п у или 1 = Ай у. У функцпн Лз ($, ~/сз - Аз) пзбавнтьсн от раднкана можно с помощью одной из замен 8 = сЬ у, $ = А/сову или ~ = А/з1п у. Функцию Лз(С, ьАУ+ А~) можно упростнть заменой переменного 1 = Азй у или $ = А®~у. Общие способы интегрирования получающихся в результате таких преобразований рациональных функций, аргументами которых являются тригонометрические и гиперболические функции, рассмотрены в гл.4, но в частных случаях к целя можно прийти более быстрым путем.
Рассмотрим несложный пример. Пример 3.7. Для иррациональной подынтегральной функиии х~/ 6 — 4х — 2х имеем Для вычисления интеграла от этой функции сделаем замену х+ +1=2сову. Тогда Ых= — 2з1пуйр и 6 — 4х — 2х~=242з1п Р Учитывал, что у = агссов((х+1)/2) и е1 а ~р = ~~- соез м = 3.$. Ч)эигоионетрические и пшерболические иодстаиовки 123 акодим (2соз(р — 1)~(-2з1п (р) ~Бр 2~/2з1п (р = -2Д созе(рйр+ 2Г2 соз(рс6р — — = (1+ соз2(р) Йр+ 2~Г2з1п (р — — (р = ~/2 2 ~/2 = — — (3(р+ з1п2(р — 4з1п(р) + С = 2 3~/2 х+ 1 ~/2 = — — а1ссое — + — (3 — х) 2 2 4 Для данной подынтегральной функции применима также замена х+1=2з1п(р.
В заключение рассмотрим неопределенный интеграл от фуннцнн [(ха+а) ~ха~+], где т — лвоое натуральное число, большее единицы. Преобразуем подынтегральную функцию, вынося х за скобки: Ох (хгв+ о) Щ~~Щ ув (1+ -ув) -(ув+1) ~ ~Ь х'"+1(1+ах-т) "ф+)1х ~ (1+ах х) 7/1+фх'" Полученный интеграл заменой 1+][Ь = $ можно свести " интегралу от рациоиальиой дроои. Действительно, при этом 0ТПХ (ув+1) ОХ = т8 1 й, Отхуда а-(ув+1) ~ув 1 „~ув+р )Ых=- — й и 1+ах =1+а Р Ф Ф 125 3.6. Интегралы от дифференциального бинома З.б.
Интегралы от дифференциального бинома Согласносвойству 1' неопределенного интеграла(см.1.3), „о~ынтегральное выражение является дифференциалом перво~азно6 подынтегральной функции. Если подынтегральная функция рациональнал, то подынтегральное выражение иногда ®эзывают рациоиа вькым дифференциалом, а если она ирациональнал, то — иррациональным дифференциалом. В неопределенном интеграле х (а+ Ьх")Ых, а ф О, Ь ф. О, (3.25) х- (а,. Ьх-)юДх (а+Ьй)Ч~сИ, д= — — 1 Е Я. (3.26) т+1 п Можно указать три случал, когда (3.26) удается свести к ®итегралу от рациональноб дроби. Первый случай: р Е Е. Пусть д = г/Й, где г Е Е и Й Е И. огда замена переменного 8 = х~ (й = йх~. 1ах) приводит (~ 26) к интегралу от рациональной дроби х~а и (а+Ьх")Мх = — (а+В) "~РЙ = — (а+Ьз~)" з~+" ~Ил, (3.27) г й и и нодынтегральное выраженйе называют бииомиальмым дифференциалом, но чаще — дифференциальным бииомом.
При т, и, р Е Е дифференциальный бином будет рациональным дифференциалом, а если хотя бы один из показателей степени не является целым числом, то дифференциал будет иррациональным. Рассмотрим неопределенный интеграл от дифференциального бинома при т, и, р Е Я. Ясно, что в частных случаях Йри п=О или р=О (3.25) переходит в табличный интеграл 1 или 2. Поэтому такие случаи исключим из дальнейшего рассмотрения. Заменой переменного х = Я = Ф" (~Ь = 111" 1й/и) 'преобразуем (3.25) к виду 126 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ (а+Ьу"")"у" +" 'ау (3.28) х (а+ Ьх")~сЬ = Ф от рациональной функции, так как Фш, Жи Е Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
