VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В(-», о) = =-В(», е) (В(», ю) — нечетная функция по отношению к ") Тогда она представима функцией В'(»2, о)», что выте"ает из предыдущего свойства, если его применить к функции Ю(», ю)/». Пусть, наконец, функция В(», о) не изменяет значения при о дновременном изменении знаков» и ю, т.е. В( — », -о) = %» ю). Такая функция является четной по совокупности арг ргументов» и ю. В этом случае можно записать и 152 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ поскольку при одновременном изменении знаков и и и отно.
шение и/ю не изменяет значения. Любую рациональную функцию В(и, ю) можно предста. вить тождественным соотношением В(и, о) — В(-и, ю) 2 В(-и, о) — В(-и, -ю) В(и, а)+В(-а, -ю) + + (4 4) й(и, и) = Я1(й, и)и+ Йр(и, и )и+ Из( —, и ). Из сказанного следует, что если и = з|пх и а = совх, то функцию В(и, ю) = В(з1пх, созх), нечетную по отношению к з1пх, можно привести к виду В1(з1пгх, созх)з1пх, функцию, нечетную по отношению к совх, — к виду В'(в~в х, созг х) созх, а функцию, четную по совокупности в1пх и совх, — к виду Вэ(з1п х/совх, созг х).
Наконец, пРоизвольнУю РациональнУю функцию В(и, ю) = В(в~пх, созх) можно привести к виду В(и, о) = В(ап х, созх) = В1(в1п х, совх) з1п х+ г Гз1пх + Вг(в1п х1 соз х) сов х + Вэ ~ соз х) созх Если от этой функции необходимо найти неопределенный интеграл, то в подынтегральных выражениях В1 з~п х "» Вгсозх~Ь и Вэ Ых целесообразно сделать замены переменно го 1=совх (Й=-з~пхпх) 1=нпх (Й=созхс~х) и 1=~6» (й = Ых/совг х, Ых = й/(1+ Р)) соответственно (в последне" Первое слагаемое в правой части изменяет знак при изменении знака и, второе — при изменении знака и, а третье слагаемое сохраняет значение при одновременном изменении знаков и и ю.
Итак, отмеченные выше свойства функции В(и, е) позволяют записать ее в виде 153 4,1. Рационалъныа функции синуса и косинуса ~учае иногда удобна замена 1 = с®~х). При этом Я,(яп х, созх)81ПХ~Ь = -В1(1 — соз х, созх)дсозх = =-В,(1-Р, ~)й=В,(~)й, Я2(81пх, соз х)созхпх = В2(81пх, 1 — 81п х) Йыпх = = В2(~, 1-Р) й = В2(~) й, Вз — ~ соз х пх = ВЗ ~ЮХ1 1 й — В3~~ = ВЗ(~) й ~ ' 1+9 1+0 Пример 4.4. Функция 1 В(, ) —.3 3 1=®х х = агсФф й/(1 + ~2) 81п2 х = ~2/(1+ ~2) Фаях Их 81П4 Х ЫПЗХ СОЗХ 1(1+ Р)2й ~4 (1+9) 1+~2 — й= ~з 1 1 = 1п ф — — +С1 —— 1п ] йдх~ — + С1.
2Р 2®2 х ®~Учен результат, совпадающий с ответом в примере 4.3 при ~ =С-1/2. рассмотренная в примере 4.3, является четной по совокупности аргументов ып х и созх. Поэтому для ее интегрирования целесообразно применить замену 1 = Фдх: 154 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Пример 4.5. Найдем неопределенный интеграл от функ ции 1/(аз1п х+ бсозх+ с). Преобразуем ее к виду аз~п х+ 6созх+ с с+ гз1п(х+ у) ' где г = ~/аз+ее и у= агсвояг), и, согласно (44), запишем 1 -гз1п(х+ у) с + .. (4.5) с+ гйп(х+ р) с~ — г~з1пз(х+~р) са — г~зпР(х+у) Проинтегрируем каждое слагаемое в правой части (4.5). Для первого из них применим замену гсоз(х+у) =1.
При этом -гз)п(х+ ~р) Ых = Й и -гз1п(х+ ~р) пх с~ — г~з1п~(х+ у) $2+ с2 г2' Если ~с~ > г, то с учетом табличного интеграла 13 1 1 гсоз(х+ ~р) 11 —— агсФд = агс®~ о'сз:гз ~~з:гз Если же ~с~ < г, то с учетом табличного интеграла 14 г сов~в + у) — ~~з — сз г сов(х + у) + ~~з — сз Наконец, при ~с) = г 1 1 11 ---+С=- +С. гсоз(х+ ~р) 1 11 = ~!п 2~/~ С~ 1 1п 2~/рз —,з 4.1. Рациональные функции синуса и косинуса При интегрировании второго слагаемого в правой части (.
4 5) сделаем замену Ф$(х+ у) = $ (Их/сов (х+ ~р) = Й): сИх сэ — г~з1п~(х+ у) с Их/сов2(х + ~о) сЦсозЦх+ ~р) — г~Фд~(х+ ~р) (с~ - г')Р+ с~' При ~с~>г ассС~~/Г-(г/с)сС вгсщ(~~ — (г/с)~ф(с+у)) ь +с 4с~:Р +С, анри ~с~ < г $~~с — сс+с $~/гс — сс — с ~ссг С~(с «-у) «-с ~2-сс ФК(с+у) -с Наконец, если ~с~ = г, то ПРимер 4.8.
Подынтегральные функции интегралов в'1п х а'х и Ур —— ав1п х+ 6совх ав1п х+ 6созх Фе изменяют своего значения при одновременном изменении зн Фнт ®ков з1п х и сов х. Следовательно для вычисления этих ) ~егралов можно испольэовать замену 1 = ®х. Но проще их 1 1~ — — 1п 2 /„г с 1 1п 2/„г г 1 1~ — — -+С= -ФК(х+~р)+С с с 156 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ вычислить из следующих двух соотношений: ах = х+Сь аХ~ + 0Хг —— асов х — 0япх ах = аз1п х+ бсозх — ЬХ~+ аХг —— Ы(аяп х+ Ьсозх) — 1п ~аз!п х+ бсозх~+ Сг. аз!п х+ Ьсозх Отсюда ах — 6!п ~аз1п х+ бсозх~ +С 1 аг+ 62 Ьх+ а1п ~аз!их+ Ьсозх~ Хг— а +6 2 г +С', где С и С' — линейные комбинации произвольных постоян- ных С~ и Сг. В общем случае интеграл от дробно-линейной функции а~ з!пх+ б~созх+ с~ аяп х+ бсозх+ с а~ яп х+ б~ соьх+ с~ — — А(аз!п х+бсоьх+с) + В(асоьх-Ьзт х) + 0 Приравнивая коэффициенты при з!пх, созх и свободные члены в левой и правой частях этого равенства, получаем с~ — — Ас+ Р.
а~ — — Аа — Вб; Ь~ —— Аб+ Ва; Отсюда аа~ + 60| аб| — Ьа~ аг+Ьг ' аг+бг ' может быть сведен к вычислению интеграла, рассмотренного в примере 4.1. Действительно, выразим числитель этой функции через ее знаменатель и производную знаменателя: 157 4.1. Рациональные функции синуса и косинуса а1 в1пх+ 61 совх+ с1 ~Ь=А ~Ь+ аз1п х+ 6совх+ с асовх — 6яп х й:+.О аяп х+ 6совх+ с аз1п х+ бсовх+ с ~Ь = Ах+В!п~аз1пх+6совх+с~+.О аяп х+ 6созх+ с Последний интеграл справа можно вычислить при помощи замены ®(х/2) = ~. Если подынтегральная функция представляет собой рациопвльную функцию синусов и косинусов различных, но кратных аргументов, то путем тригонометрических преобразований сипус и косинус следует привести к одинаковому аргументу.
Пример 4.7. Функцию з1пЗх/(з1пх соз2х) с учетом иэвестных формул соз2х =сов х — в1п х= 1 — 2з1п х г г и в1пЗх=Зз1пх — 4в~п х з пРеобразуем к виду 3з1п х — 4з1п~ х 3 — 4з~пг х 1 +2. з~п х соз2х соз2х соз2х з1п Зх в1п х сов2х "итегрированием этой функции получаем з1п Зх ах в1п х сов2х ах — +2 сов2х сов2х й: +2х = 1 — з1пг 2х Ы(з1п 2х) 1 +2х = — !п 1 — з1пг 2х 4 1+ яп2х 1 2 +2х+С. 1 — в1п 2х 3 4есь использован табличный интеграл 14. р итоге исходный интеграл будет линейной комбинацией трех ,интегралов: 158 4.
инткггллы от т~лнсНиндкнтных Функиий При вычислении интегралов от произведений синусов и к,„ синУсг различных аРгУментов полезно использовать фоРмУл, 1г. в!пах совхх = -~в~п(а+~9)х+в)п(а — )))х); 1г в! и ах в!п Дх = — ~сов(а — о)х — сов(а+ о) х); 1г совах совах = -~сов(а+о)в+сов(а — )))х). Пример 4.8. Функцию 81пхз1П(х/2)81П(х/3) перед инте. грированием преобразуем к виду х . х 1Г х Зх~.
х 81П Х 81П вЂ” 81П вЂ” = — ~СО — — СОЗ вЂ” ~ 81П вЂ” = 2 3 2~ 2 2~ 3 1 г . х . 5х . 7х . 11х~ = -~-81П вЂ” +81п — +з1п — -81п — ~. 4~ 6 6 6 6~ В итоге получаем х 81ПХ 81П вЂ” 81П вЂ” вйХ = 2 3 3 х 3 5х 3 7х 3 11х = — сов — — — сов — — — соз — + — соз — + С.
4~ 2 6 10 6 14 6 22 6 В общем случае, если аргументами рациональной подыитегральной функции являются синусы и косинусы углов, э*- висящих от произведений переменного интегрирования х ва различные рациональные числа, то следует найти общий зпз менатель а 1= Х этих чисел и после замены х =п$ с помоШЬ1О формул для тригонометрических функций с кратными углаМ" выразить аргументы подынтегральной функции через нату ральные степени 81п1 и сов$, а затем использовать расс11О тренные выше замены переменного.
4.3. Рациональные степени синуса и косинуса 4,2. Рациональные степени синуса и косинуса Неопределенные интегралы вида 1, = в!п хсов~хгх, т,або, (4.6) 2 ~~ ~ (1 ~) сова= 1-8!п~л=~~ — 1, Их — . й, 2в1пх совх 2 Следовательно, 1 в1п~ х сов~ хсЬ =— 2 д~ '~~ (1 — 1)~' Ц~'Й. (4.7) 3тот интеграл можно выразить через элементарные функции в трех случаях (см.
3.8): 1) (д-1)/2Е Е, 2) (т+1)/2б Е, 3) (т+д)/2Е 2, т.е. когда хотя бы один из показателей степеней т или д является нечетным целым числом или в сумме они дают четное целое число. Однако сведение интеграла вида (4.6) к интегралу от дифференциального бинома (как и применение универсальной подстановки ~~(х/2) = $) может привести и громоздким вычислениям. В рассмотренных ниже трех частных случаях к цели можно прийти более простым путем. Первый случай.
Если одно из чисел т или д в (4.6) по'®Жительно и нечетно, то следует сделать замену, указанную 41 для рациональной функции й(в1пх, совх), нечетной по "тиошению к одному иэ ее аргументов. В некоторых случаях интеграл удается вычислить подведением под знак дифферен- Чаала Пример 4.9. а. Найдем интеграл от функции совэх/виях, вляюп~ейся нечетной по отношению к сова, причем а поло- заменой переменного $=в1пх, $=в1п~х, ~=совх или $=сов2х <ркно свести к интегралу от дифференциального бинома. В самом деле, принимал для определенности 1 =в1п2х ( тогда Й = 2в1п х сов х Их), запишем 160 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ жительно.
Подведем со8х под знак дифференциала и испол зуем равенство соьгх = 1 — япгх: 1 — 81п х ° г ~( )= ;пв 3 2 — ввХ = —.8 св(81ПХ) = ;„е 81пе х 11(яп х) Ы(8'1п х) 1 1 4 5 + 3 +С" 81п4х 581пн х 381пзх 8'1п8 х б. для подынтегральной функнии в1п~х/чу~овен виаченне т положительно и нечетно, т.е. эта функция нечетна и„ отношению к япх. Подведем 81пх под знак дифференциала н используем равенство япгх = 1 — совгх: 1-со8 х 2 й(совх) = 3 со84 3 11Х =— 3 со84х 3 со8 ~~ хи(совх) = -со8 ~ х+ 5 со8 у хй1(со8х)— +Зсов '~~я+С=-~/~овен+ в +С.
ф 5 в совх Второй случай. Если и т, и д в (4.6) — четные и неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равно нулю), то (4.6) при помощи замены $ = фх можно свести к интегралу от дробно-рациональной функции. Однако проще предварительно уменьшить сумму показателей вдвое переходом к удвоенному аргументу по формулам 81п2х . г 1 — со82х 2 1+со82х 81ПХСО8Х= —, ЯП Х= 2 ' 2 ' 2 сове х = Пример 4.10. Проинтегрируем функцию 81пгхсо84х. Ис пользуя формулы удвоения аргумента, запишем 4 481П хсо8 х ЯП ХСО8 Х = со82х = 4 яп22Х 1+ со82х 1 — со84х яп22х со82х + 4 2 16 8 161 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
