VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Второй случай: д Е Е. Теперь пусть р = з/!, где з Е Е и ! Е И. Заменой переменного г = (а+М)'~' преобразуем (3.26) к виду х (а+Ь ™)Мх= — (а+Ь|)~Рй= 1 и ! иМ+1 (г~ — а)~я~+' ~~В. (3.29) Так как !+ з — 1 Е Е, то подынтегральная функция в правой части (3.29) будет рациональной дробью. После вычисления интеграла от этой функции для возвращения к исходному переменному интегрирования х нужно использовать равенство з-(а~ Ь~)1/~- (а~ Ьх )1/~. Третий случай: р+ д Е Е. Снова положим р = з/!, где з ЕЕ и ! Е И.
Преобразуем (3.26) к виду 1 1 х (а+Ьх") Ых = — (а+В) ~Рй =— и и Сделав в правой части (3.30) замену х' = (а+И)/$ ($ = а/(л~- Ь) й = -а!л~ Мх((л~ — д)я), получим Р+ч,Ц а~+я+1 < а+Ь| ~ Ф и поскольку Й+ г — 1 Е Е. Для того чтобы после вычисления этор„ интеграла перейти к исходному переменному интиегрирован1,. х, следует использовать равенство х=Ф~=х"~". Отметим, что в первом случае интеграл (3.25) можно вычн слить непосредственно, не прибегая к преобразованиям (3.26) и (3.27), а используя замену переменного х = у~, где Ф Е 1ч общий знаменатель дробей т и и.
Действительно, из (3.25) с учетом Их = Фу~ ' ау получаем интеграл 3.6. Интегралы от дифференциального бинома 127 поскольку р+ е+ 2 и 1+ л — 1 — целые числа, то подынте- ГР . еьная функция будет относительно аргумента л рациональрй дробью. После вычисления интеграла от этой функции для рехода к исходному переменному интегрирования следует ис®ьзовать равенство ~ = (Ь+ а/8)1~' = (Ь+ а~ ")'~'. 'Гаким образом, интеграл (3.25) от дифференциального 6®нома можно свести к интегралу от дро6но-рациональкой у~нщии, если (рЕ Е) Ч ( — Е Е) ч ( — +ре 2), (3.31) Пример 3.9. Проинтегрируем следующие функции: а); б) ~/х (1+ з~-)з' а.
Из записи 1!я~1+ 1!з~-з (1+ Ю' 'аедует, согласно(3,25), чтоздесь т=1/2, я=1/3 и р=-2, ~.е 'е показатель степени р — целое число (это отвечает первому с~учаю). Общим знаменателем дробей ш и в будет И=6. гда при замене переменного з = у® (Ыж =бубону), согласно т.е. будет целым одно из трех чисел р, (т+ 1)/а — 1= д, р+ д.
Условие (3.31) было известно, по существу, еще И. Ньютону, а Я. Эйлер предположил, что ни для каких других показателей степени т, и и р подынтегральную функцию в (3.25) не удастся свести к дробно-рациональной. Для рациональных чисел т, а и р, неудовлетворяющихусловию (3.31), предположение Л.
Эйлера доказал П.Л. Чебышев, а для иррациональных чисел — русский математик Д.Д. Мордухай-Болотовский (1876-1952). 128 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ (3.28), получаем 4 " 6 1 у'~у 6 1уа+2у +у'~ (1+ у-)2 / (1+у2)2 / (1+у2)2 У +У Д 6 4~ 12 У + У +У ~ + 26 4 6 24 2 (1+у2)2 " У " (1+уг)2 4+2 2+1 у'ф+18 2,2 ф- 1 + у2)2 Зу4+ 2у2 +6 (1 + у2)2 5 ф= -у5 — 12 3+4у2 6 5 (1+у2)2 5 Ыу= -у -4у +18у-18 пу — — 6 1+у2 (1+у2)2' у 1 —, + -агсФду+С1. 2 1+у2~ 2 В итоге, учитывая, что у = Я, имеем 4хЬ 65 з Зу = -у — 4у +18у+ — — 21агсФду+С= (1+ фх) 1+у бв Зфх 5 = — ~х~ — 4~х+ 18фх+ — 21агс1~ фа+ С 1+ фх б.
Интеграл ,Ух х1/2(1 -3/2) Ц4 ~ отвечает второму случаю, поскольку, согласно (3.25), эдей~ т = 1/2, а = — 3/2, р = 1/4, т.е. д = (т+ 1)/в — 1 = -2 б Интегрированием по частям с учетом табличного интеграла 13 находим 129 3.6. Интегралы от дифференциального биноиа уи р=1/1= 1/4 имеем 1=4. Выполним замену переменного -3/2 От а х = (1 — '4) 2/з и с1х = -(1 — л4)-5/з з ~ 8 3 В.лчислим полученный интеграл по частям: л4(Ь (1 4)2 (1 — л ) / л-(1 — х ) / я И2'=— 3 3 Представив числитель подынтегральной функции в интеграле справа в виде 2=(1+г2)+(1 — г2) и разделив почленно на знаменатель, придем к двум табличным интегралам 14 и 13: ~Ь 1 1+я = -1п — + агс$фл+ С.
1+л2 2 1 — г В итоге после перехода к исходному переменному интегриро- вания получаем 2 Ых = -х~/х 3 1 ахс® 1 — -1п 6 +С. в. Из записи 0(1 + 4) -1/4 1 +х4 ~'ласно (3.25), следует, что т = О, и = 4, р = — 1/4, т.е. (и2+ 1)/и — 1 = — 3/4 и р+ д = -1 Е Е. Это соответствует ретьему случаю, причем в силу равенства р= з/1= — 1/4 130 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ можно выбрать 8 = -1, ! = 4 и использовать замену (1+2,-4)1/4 (1+ 4)1/4/ т >гд.. ол „, «» ( 4 ц-5/4 З«~ (24 ц-1/4 и далее, используя табличные интегралы 14 и 13, запишем «Ь ~ (я4 1)-Ч4яз«ь~ Я+ х4 / х(х4 Ц-1/4 я2«~д, 4 1 1( '+1)+(~'-1) 2,/ (22+ 1)(Я2 — 1) 2 «Ь 1 ~' «Ь 1 — л2 2/ 1+я2 1 1+я! 1 = -1п — ~ — — агсф~г+С = 4 1 — л~ 2 1 Л+х4 — -агсФ~ +С.
а 2 а 1 = -1п 4 Урд = (а+ М)Ч~«И и интегрируя по переменному 8 тождества (а+ М,)р+1О = а(а+ 6|)Ч + Ь(а+'ег)т+', (~ й — ((а+68)Р+ Р+ ) = (р+1)6(а+И)Ю+ +(у+1)(а+Ы)Р+ ~~ находим Ь+1, =а~р, +~~р, + (а+ ЬЬ)р+1Ьч+1 = (р+1)В1„+.1+ («,+1)1„+1, В случае большйх по абсолютной величине показателей степени р и а в правой части (3.26) непосредственное вычисление интеграла даже при выполнении условия рЧдЧр+а Е Е мо. жет привести к весьма громоздким выкладкам. Эти выкладки можно сократить, если использовать следующий прием. Обозначая 3.6.Интегралы отдифференциальиого бинома 131 (3.35) тв ~ > тЕЕ. 3 ~есь п=2 и р=-1/2.
Следовательно, как при т нечетном +1)/в=(т+1)/2ЕЕ,так и при т четном (ш+1)/а+р= (п~+ 1)/2 — 1/2 = т/2 Е Е, т.е. во всех случаях подынтеграль- О,суада получаем рекуррентные соотношения (а+ ЬФ)~+'6+1 р+ д+ 2 1р,д =,, +, 1р+1,д, рф. -1; (3.32) а(р+1) а(р+1) " а(а+ 1) а(д+ 1) ~'~~ ' * р ~~ая эти уравнения относительно 1р+1д и 1р,~+1, а потом меняя р+1 на р в первом выражении и у+1 на д во тором, при условии р+д+1ф- О приходим к соотношениям (а+ 6$)Ю+1 ар (а+ 6$)~+10 ад 1,— Ь(р+ а+ 1) Ь(р+д+ 1) "' 1, -1 ° Яз соотношений (3.32)-(3.35), называемых формулами вриеедамил, можно выразить 1рд через аналогичные интегралы с большими или меньшими показателями степеней.
Если р Е И или д б И, то соответственно (3.34) или (3.35) позволяют зти показатели в интеграле вида 1„д последова тельно свести к нулю, а если -р б И или -д б И, то соответственно (3.32) или (3.33) дают возможность в аналогичном янтеграле зти показатели довести до — 1. Ясно, что вычислеВие интеграла вида 1р, при р Е (-1, 0) или при д Е (-1, О) сУщественно упрощается.
Третий случай (р+дб Е) заменой леременного 1=1/и можно свести ко второму случаю (уб Е). Отметим, что формулы приведения можно применять, если ни Р1 ии д, ни р+ д не являются целыми числами. Првмер 3.10. Рассмотрим неопределенный интеграл 133 Д.З.1. Геометрический смысл подствыовок Эшера 1 и использовании этого рекуррентного соотношения значее ~и уменьшается на 2, а вычисление,7 „последовательно рдится либо к ~Ь 1 1= =1и х 1 — х~ ри и нечетном, либо к Их Д:Р +с зЗ 1 — х2 Х при р четном. Дополнение 3.1. Геометрический смысл подстановок Эйлера Подстановкам Эйлера можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Уравнение или у~ = аз~+ 6х+ с, (3.38) задает плоскую кривую второго порядка ~11Ц. Из канонического уравнения (3.39) 4а~ 4а м зтои кривой видно, что она симметрична относительно оси " а вертикальная ось симметрии имеет абсциссу — 6/(2а).
Ри о > О зта кривая будет гиперболой, причем в случае "4ас с осью Ох совпадает ее действительная ось (рис. 3.1), в случае Р < 4ас — ее мнимая ось (рис. 3.2). При а < О ~®ваЯ будет эллипсом (рис. 3.3) (согласно замечанию 3.3 в ° ° ° 4ейст „м случае квадратный трехчлен азу+ 6ж'+ с должен иметь ствительные нули, т.е. Р > 4ас). Все кривые изображены случая с> О. 134 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ рис. 3.2 Рис. 3.1 Рис. З.З Для координат произвольной точки (хо, ро) любой из указанных кривых справедливо равенство уо = ахо+6хо+ с.
2 2 (3.40) Проходящая через эту точку секущая, представленная уравне- нием (3.41) у-уо=Ф вЂ” хо), (ро+$(х — хо)) =ах +6х+с пересечет гиперболу или эллипс еще только в одной точке (х",у). Координаты точки (х;р) можно выразить рациональ- ными функциями углового коэффициента $ секущей. Действ®- тельно, исключая у из (3.38) и (3.41), запишем 135 Д.3.1. Геометрическый смысл полстановок Эйлера учитывая (3.40),— М~ 2уо~(х — хо) + ~~(х — хо) = а(х2 хо2) + 6(х — хо) Отсюда, сокращая на х — хо и принимая во внимание (3.38) и (3 41), получаем ~д хо- 2уо$+ ахо+6 х2 (3,42) 6+ауоФ -ЗуоР = уо+ Ф(х — хо)— Таким образом, при изменении углового коэффициента секущей, проходящей через фиксированную точку (хо, уо) рассматриваемой кривой, вторая точка пересечения этой секущей с кривой опишет всю кривую.
Иначе говоря, угловой коэффициент $ в данном случае играет роль параметра, при помощи которого соотношения (3.42) параметрически задают данную кривую. Эти соотношения и определяют подстановки Эйлера, позволяющие подынтегральную функцию в (3.9) привести к рациональной функции одного переменного $. Конкретный вид подстановки зависит от выбора точки (хо, уо).
Если квадратный трехчлен ах2+6х+с имеет действительные нули а и ф, то рассматриваемая кривая пересекает ось абсцисс в точках (а; 0) и (ф; 0) (см. рис. 3.1 и 3.3). Приияв хо = а и уо — — О, придем к третьей подстановке Эйлера. При с>0 кривая пересекает ось ординат в точках (О;~Я и (01-~/с). Положив хо — -0 и уо— - -Ь~/с, получим вторую подстановку Эйлера. Так как в случае хомпяексно сопряженных ~У4е4 квадратного тпрехчяена радикал в (3.9) имеет действи~ей ельное значение лишь при а ) 0 (см. замечание 3.3), то в Результате замены х на 1/л получим г 136 3.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ т.е. кривая, заданная в плоскости яОу уравнением у~ = сг~~ +Ы+а, пересечет ось Оу в точках (О;~/а) и (О;-/а). Пр этом вторая подстановка Эйлера примет вид = ~~а+И, или — =~ — +$ ~(а После обратного перехода к переменному х получим нерву 0 подстановку Эйлера (3.10). Эту подстановку можно тракт0- вать иначе. При а > О значения =Ь~/а соответствуют угл0. вым коэффициентам наклонных асимптот ветвей гиперболц (см. рис. 3.1 и 3.3), а прямая с уравнением у = х~а+$ ила у = — х /а+ $, параллельная одной из асимптот, пересекает обе ветви только в одной точке. Тогда параметр $ будет ординя, той точки пересечения такой прямой с осью Оу. Дополнение 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
