VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Об интегрировании функццй вида И(в, ~/Р (а)) Большинство из рассмотренных в этой главе интегралов можно представить в виде В(х, у)ах, где В(х, у) — рациональная функция оеремеиного иктпегри90 ваиия х и аргумента у, который, в свою очередь, являетс" алгебраической функцией х. Если эта алгебраическая фут ция обращает в нуль многочлен Р(х, у), то (3.43) называю~ абиевым интиегралом. В частности, интеграл от водмя ппегральной фуксии вида (3.2) является абелевым, посколь~6 алгебраическая функция у = ахз+6х+с обращает в нул~ многочлен Р(х, у) = уя — (ахи+ бх+с).
140 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Во втором случае все нули многочлена Р4(х) комплекснь причем как ~9=а, так и 0= у. Но тогда ~9 — 8=а — у ~ ф — у= а-З, т.е. (о — 7)(ф-Ю) >О и (~У-7)(а-Ю) > О. ~~И+ и ~ ~+1' (р+1)г при отличных от нуля коэффициентах А, т и т'. Интеграл от функции В способами, аналогичными разобранным в 3.4, можно свести к интегралу от рациональной функции аргумента $ и функции В'(8) Рациональную функцию В ($) представим в виде двух слага емых: В'(~) — + В'(~)+ В'(-~) В'(~) — В'(-~) Первое слагаемое не меняет своего значения при замене ~ я~ м г -$, и поэтому его можно свести к рациональнои функции от ~ обозначив В~ф), а второе при такой замене меняет знак, т е может быть представлено в виде Вг(Р)$. Тогда интеграл от подынтегральной функции (3.48) мож0~ свести к сумме интегралов В ( г),ц В (рг)р,р~ А(1+ яраг)(1+ ЫР) А(1+ т~г)(1+ т'Р) Таким образом, неравенство (3.47) будет выполнено в обои~ рассмотренных случаях.
Итак, замена переменного интегрирования в (3.45) позволя. ет перейти к рациональной подынтегральной функции вида дгг. Ои ввтвгрироввиви фриввий вида Я(в, ~/Р„(х) ) 141 ~ ~~еной и = Р (Ии = 21 й) второй интеграл приводится к уже ~смотренному интегралу от функции вида (3.18), а первый— „так называемой канонической форме эллиптпического ,~мртвеграла В(л~) сЬ (3.49) 0<1<1, которой Й называют модулем эмьитпического интие«а,ва.
Обозначим для краткости у = А(1+ тР)(1+ т'Р), ограяячимся положительными значениями переменного интегрироеаиия ($ > 0) и рассмотрим различные сочетания знаков А, т я ув', положив без потери общности А = Ы. 1) А=+1, т,= — Ь~, т'= — Ь'~ (Ь>Ь'>0). Тогда у будет ииеть действительные значения при 0 < $ < 1/Ь и 8 > 1/Ь'. Полагая Ьй=л (й=сЬ/Ь), получаем л Е (О, 1) 0 (л: л > Ь/Ь ~.
Из сравнения с (3.49) следует, что в этом случае й = Ч/Ь. 2) А=+1, т=-Ь2, т'=)Р (Ь, Ь'>0). Теперь уЕЕ при ~ < 1 < 1/Ь. Положим Ь$ = ~/1 — Р (О < л < 1). Тогда Й 1 ~~в+ д~г «для перехода к канонической форме эллиптического интеграга аУжио привить 1г = 1/~/~+ив//Р. 3) А =+1, т, = Ьз, т'= /Р (Ь > Ь' > О).
В этом случае втЙ ири г Е К. Поиагаи Ы = и/и'г — ггг г(О( в (1), находим 142 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ так что канонической форме интеграла соответствует й 4) А=-1, т=-Ь~, т,'=Ь~ (Ь, Ь'>0). Теперь убй при 1 > 1/Ь. Принимал М = 1/~~ — ла (О < л < 1), получаем й ~Ь так что здесь Й =1/ 1+ЬуЦУ. 5) А = -1, т = -Ь~1 т' = -Ь~ (Ь > Ь' > 0). В данном слу чае у Е И при $ Е (1/Ь, 1/Ь').
Пусть Ь'$= 1 — (1 — Ьу~/Ь~)~2 Тогда и из сравнения с (3.49) устанавливаем, что й = 1 — ЬУз/Ь~. Сочетание А= — 1 и т, тв'>О приводит к тому, что радикал уфй ФЕИ. Если з> Ь/Ь'=1/Й, топри первом сочетании знаков А, т и т' подстановка Йя=(' обеспечивает выполнение условия ~ ( 1. Таким образом, во всех рассмотренных случаях для переменного интегрирования в (3.49) можно ограничиться значениями ~ < 1.
Ясно, что при всех рассмотренных сочетаниях знаков А, т и т' и подстановках функция В(Р) в (3.49) переходит в рациональную функцию от л~. После выделения из этой фу»- кции целой части в виде линейной комбинации степеней л~" и = О, У (в частном случае целая часть может отсутствовать т.е. Ф = 0), останется несократимая правильная рациональна» дробь, которую можно разложить на простейшие рациональ ные дроби вида 1/(л~ — а)ура, где а — нуль (действительны» или комплексный) кратности т знаменателя правильной ра циональной дроби.
В итоге (3.49) можно представить линейно» комбинацией интегралов вида и Н = (я2 ли)т 144 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ Н1 приводят к виду Н1 —— (1+ йл~) Французский математик А,М. Лежандр (1752-1833) назвал интегралы Уо, 11 и Н1 эл вивтвичесними интпеграда4,п первого, втпорого и твретввего рода соответственно и зам~, ной я = 81п~р (Ыя = сов~рйр) преобразовал их к виду 1 — (1-йзз1пз ~р) И~р = »1п~уфр 1 11 —— И ~р Н1 = (1+ й81п~ у) Интегралы в правых частях первого и третьего равенств назы- вают э~иииптвичесними интпегрсмами первого и тпретвье- го рода в форме Лежандра, а э~мивтпичесним интпегр~мом втпорого рода в форме Ле жандра.
Французский математик Ж. Лиувилль (1809-1882) показал, что эти интегралы ие6ерущиесл. Достаточно часто встречающиеся в прикладных задача" эллиптические интегралы первого и второго рода в формт Лежандра хорошо изучены. Если принять, что при ~р = эти интегралы обращаются в нуль, то их можно представ»т~ как функции независимого переменного ~р, которые Лежа»М обозначил Р(й, д) и Е(й, у) соответственно.
Значения эт»" функций табулированы в обширных таблицах. 147 Вощюсы и эвдййчи 3.9. При каких рациональных значениях показателя степени Ф ввтегрзл ) ~~+ хзхх хвллетсв злемектвркой фувкцвей? 3.10. Найти интегралы от следующих дифференциальных биномов: ) З/хе+и~; б) 1/йх — хз; в) )/~+Я г) х~~(х+1)з; Л) з~~~хз' ' (1+ зУ-)з' Я+ Г' ' зтз!(2+ .з)з' 1 х ~/1.1- Щ и) ) хззз/11.1.1~х ~~+ зу — з /х Д~1х к) л) м) 3.11. Вычислить псевдоэллиптические интегралы от следующих функций: х2 — 1 а); б); в) хтт в~+ 1' (х'+ 1)~хе+ 1 (х+ 1) хе+ хе+ в' х~+ 1 г) ,х)1.
3.12. Выразить через элементарные функции и функции Щ у), Е(Й, ~р) эллиптические интегралы: в) / г) д) хз е) 4Г+ хЗ' 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ Ф>УНКЦИИ 4.1. Рациональные функции синуса и косинуса Покажем, что рациональную функцию В(и(х), и(х)) при и(х) = в~пх и о(х) = совх всегда можно привести к дробно- рациональной функции заменой переменного ®~(х/2) = Ф, часто называемой универсальной подстановкой. В самом деле, при 8= ф(х/2) имеем 2й х = 2агс$д $, Ых = —, 1+~г 2в~п(х/2) сов(х/2) 2®(х/2) 21 в~п х— совг(х/2) + в1пг(х/2) 1+ ®~г(х/2) 1+ р сов х — . — . (4.3) совг(х/2) — в1пг(х/2) 1 — ®г(х/2) 1 — Р совг(х/2) + з1пг(х/2) 1+ фг(х/2) 1+ Р (4.1) . Следовательно, 2$ 1 — Р Й В(в1п х, совх) йх = 2 В( —,— (.~~..
р Пример 4.1. Проинтегрируем функцию 1/(2в~п х- совх+5) используя замену переменного Фд(х/2) =1. Учитывая (4.1)-(4 3) Напомним, что трансцендентной называют функцию, зна. чения которой не удается вычислить при помощи конечной последовательности алгебраических операций (сложения, вм читания, умножения, деления и возведения в целую степень) Рассмотрим приемы интегрирования трансцендентных функ ций и выражений, содержащих такие функции.
149 4.1. Рациональные функции синуса и косинуса ах 2в!пх — савх+5,/ ~2 ~~ 1 — +5)р+р) 1+8 1+8 Й 21 й 4~-1+8+5(1+юг) ( 6гг+4~+4 ~ 2 6гг+4~+4 3 / ~г+2~~3+2(3 1 /' И(~+ 1/3) 1 3 8+ 1/3 3/ (й+1/3)г+(,5/3)г 3 5 ',5/3 ' 1 Зй+1 = — агсф~ — + С. Л Л Здесь использован табличный имтпеарал 13. Возвращаясь к переменному х, записываем | Их 1 ЗФд(х/2)+1 агс® + 2в1пх — совх+ 5 ~~5 Л Пример 4.2. При помощи универсальной подстановки ~$(х/2) =1 найдем интеграл от функции 1/(Зв1пх+4совх+5). Используя (4.1) — (4.3) и принимая во внимание табличный интегРал 1, получаем Г ах Й Зв1п х+ 4совх+ 5 ./ 61+ 4(1 — ~~) + 5(1+ Г~) — 2~ Ы(й+ 3) й 8+ 6~+ 9 2 2 1+ 3 3+ ф~(х/2) Вынесем за знак последнего интеграла 1/6 и выделим в знаме- ®ателе подынтегральной функции полный квадрат: 150 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРА НЩЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Подстановке ~ = ®(х/2) (-я < х < т) можно дать следу щую геометрическую интерпретацию.
Аргументы и(х) = в1пх и ю(х)=совх рациональной функ ции В(и(х), е(х)) принимают м лишь те значения, которые иа координатной плоскости чОи от В вечают координатам точек ок В х!2 х ' А ружности единичного радиуса (рис. 4.1), причем текущее зна чение переменного интегрирова. ния х соответствует углу АОМ, а значение х/2 — углу АВМ. Тогда новому переменному ииРие. 4.1 тегрирования 8 будет отвечать ордината точки .0 пересечения луча ВМ с осью Ои. При движении точки М по окружности от точки В против хода часовой стрелки переменное ~ пробегает значения в интервале (-оо, +оо). Таким образом, рассматриваемая подстановка позволяет выразить ординату и абсциссу текущей точки М через ординату точки В при помощи рациональных функций (4.2) и (4.3).
Эти функции, будучи подставлены в функцию В(а, о), не нарушают ее рациональности. Подстановка ®(х/2) = 1, являясь универсальной, часто приводит к громоздким выкладкам. В некоторых частных случаях рациональной функции синуса и косинуса к цели можно прийти более простым путем. Пример 4.3. Применение подстановки 1 = ®(х/2) при интегрировании функции 1/(в1пзх совх) приведет с учетом (4.1)-(4.3) к интегралу от довольно сложной дробно-рациональной функции: ° ° 1 ~(1+Р)з~ в1пзх совх 4,/ Р (1 — Р) 151 4Л. Рациональные функции синуса и косинуса р~есто этого, используя известное соотношение 81п х+ сов х = 2 2 1, находим йх 81п2х+сое2х Их сов х Ых + сов х и1пз х сов х 81п х соя х н1пз х додынтегральную функцию первого интеграла в правой части ~ого равенства умножим и разделим на совх и затем подведем 1~сов2х под знак дифференциала, а во втором интеграле подведем под знак дифференциала совх: Ы(81п х) Ых — + и1пх совх И($®х) + Фцх созхдх .1 3 н1п х 1 =1п~йДх~ — .
2 +С. 2и1п2 х Здесь использованы табличные интегралы 2 и 1 соответственно. 4~ Пусть рациональная функция В(», о) не изменяет своего значения при изменении знака одного из своих аргументов (например, »), т.е. В( — », ю) = В(и, е). Будем называть такую функцию четной по отношению к». Ее можно привести к некоторой рациональной функции В,(»2, ю), зависящей от ю и лишь от четных степеней». Пусть теперь при изменении знака» функция В(», о) сохра няет значение по модулю, но изменяет знак, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
