VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ф 8 4 32 Ц ~-1/2 (1+~) -1(2 ххх = ~Д+хх х = ~~+3, ххахЂ Й 2зЬх сЬх 2 Тогда получим интеграл 1 1' = зЬ~х сУхЫх =— 22х1Ю 2 Ю( -1)/2(1+ Ю)й-1УЗа аналогичный (4.7). Этот интеграл можно выразить чеРеэ элементарные функции в тех же трех случаях: когда хотя 6® Второй интеграл в (4.14) можно привести к интегралу от диЯЯеренциального бимама подстановками 1 = зЬх, $ = зЬ~х, $ = сЬ х или 1 = сЬ~ х. Так, приняв 1 = зЬ~ х (й = 2зЬ х сЬх ~Ь), запишем 170 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ В случае, когда оба показателя степени т и д явля о ся целыми числами, последовательное применение этих форм „ позволяет привести У„; ~ либо к одному из табличмых цц~, грааов, либо к интегралам в,(е~) Ых фз е-х-' Ых — =2 зЬх (е~)з — 1 е — 1 е*~~ — е ~~~ х =!и — + С = 1п + С = 1п й — + С, п(е ) 1+ (ех)2 = 2агс®~ е*+ С.
Ых Юх — =2 — 2 сЬх е~+е ~ Пример 4.17.' Для интегрирования функции сЬ4х/зЬз», нечетной относительно зЬх, пригодна подстановка 8 = сЬх, но удобнее последовательно применить формулы приведения (4.16) и (4.17): сЬ4х сЬзх 3 сЬ4х 1+зЬ~х — Их = — + — — ~Ь = — сЬзх+ зЬз х 2зЬг х 2 зЬ х 2зЬз х Ьзх + — — +— 2 3 2 сЬ~ х Их 1+ зЬз х Их=— сЬх+ зЬх 2зЬ~х 1+зЬ х сЬх 3 х -~~Ь~+-1 й- +С Ф: зЬх 2зЬ~ х 2 2 1 вЬ ах сЬДз = — вЬ(а+ф)х+ вЦа — ф)з), 2 1 абрах вЬДз = -(сЬ(е+ф)х — сЬ(а — ф)х), 1/ сЬ ах сЬфх = — ~сЬ(а+ ф)х+ сЬ(а — ~З)х1. 2~ При вычислении интегралов от произведений гиперболиче.
ских синусов и косинусов различных аргументов целесообразно использовать формулы 171 4.4. Раэличыые трансцендентыые ащиикеиы Яример 4.18. Функцию вЬх зЬ2х вЬЗх перед интегриро~ием преобразуем последовательно к виду 1 1 ~,х вЬ2х вЬЗх = -(сЬ4х — сЬ2х) зЬ2х = -(зЬ6х — зЬ2х — вЬ4х). 2 4 ,гогда получим сЬ6х сЬ4х сЬ2х зЬх вЬ2хзЬЗх~Ь вЂ” — — — — +С. 24 16 8 4.4.
Раэлкчные трансцендентные выражения Р„(х) = а0х" +а1х" 1+...+а„1х+а„, ао ф-О, степени и Е Х и любой трансцендентной функции в общем слу®". можно представить как сумму интеграла от этой функции и ® интегралов от произведений данной функции на натуральные степени переменного интегрирования х. Поэтому целесообраз®в рассмотреть подынтегральные функции вида х"~(х), где (х) — иекоторал трансцендентная функция. ~"сли ~(х) = е~ — экспоненциальная функция, то интеграл *"е при помощи рекуррентной формулы, полученной Для большинства выражений, содержащих трансцендентные функции, не удается установить общие правила интегрирования. В таких случаях вычисление интеграла (если оно вообще возможно) обычно связано с подбором подходя1цей замены переменного или использованием интегрирования по частям.
Однако можно выделить несколько типов трансцендентных выражений, для которых существуют общие приемы интегрирования. Наиболее простыми и часто встречающимися типами таких выражений являются произведения многочлена и зкспоненциальной, логарифмической, тригонометрической или обратной тригонометрической функций. Ясно, что интеграл от произведения многочлена 172 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ интегрированием по частям, можно представить в виде (1,~~~ /~ К этому случаю нетрудно свести интегрирование функций х"сЬх и х"зЬх.
В более сложных случаях,~1(х) =е"созЬх и ~~(х) =е'*з1пЬ интегрированием по частям (по аналогии с примером 1.14) хп х"е' совЬхах = — е' совЬх —— а а их" е совЬхах— х е (-ЬапЬх) Ых = — е созЬх — — 1„1+ -Х„, а аж х", и Ь а а а а"' и ,7„= х"е'~зщ Ьх~Ь = — е' з~пЬх —— а а их" е~ яп Ьх ах— в аз х" ах. и Ь х е ЬсовЬхйх = — е з1пЬх — —,1„1 — -1„ а а а а получим систему двух уравнений относительно интегралов 1, и,7„, решение которой приводит к рекуррентным формулам „асозЬх+Ыпх „и 1„= х" е" — а1„1+ Ь~'„1, а +Ь а +Ь „ав1п Ьх — Ьсовх, и ,1„= х" .
е'~ —, ~а,1„1 — Ь1„1~. а+о а+о Эти формулы позволяют по известным интегралам 1о и Й от функций 11(х) =е созЬх и Ях) =е в1пЬх (см. примеР 1.14), последовательно увеличивая показатель степени и До требуемого значения, проинтегрировать функции х",~~(х) х"Ях). 4.4. Рвзлнчные трансцендентные выраженна 173 Из этих же рекуррентных формул при а = О (е' = — 1) епосредственно следуют формулы для интегралов и ь х .
и х соабх~Ь = — а1'пх — — х в1пбхдх, Ь Ь л х а1п Ьхйх = — — совх+ — х соабхйх. и ° х рь-1 Ь Ь х~+1 1 ~лрх х~+1 1 х" 1пхЫх = — 1пх — — х"+ — = — 1пх — — 1) +С, и+1 и+1 х и+1 и+1/ анри Дх) = 1п~х (ги ф. -1) получаем рекуррентную формулу х"+1 1п"' х т х" 1п хдх = и+1 и+1 х" 1п~ 1хсЬ.
(4.19) Если в подынтегральном выражении сомножителем трансцендентной функции ~(х) является рациональная функция (х), то после выделения из В(х) целой части и разложения оставшейся правильной рациональной дроби на простейшие пРидем к интегралам вида Г У(х) Их )' ЦхИМх+ М) йх и ~ ~е~~~ ~ „, вкМ, аМКрдкй. %на тным случаем этих интегралов является интеграл от функ- У(х)/х (и Е И). Рассмотрим этот случай подробнее. 3 результате интегрирования по частям вычисление интералов от функций х" агса1п(х/а) и х" агссов(х/а) сводится к интегрированию иррационального выражения, содержащего радвкал ~а — хе, тогда как длх интегралов от х" агеева(х/а) и х»агссф~(х/а) такой путь ведет к интегрированию рациональпой функции переменного интегрирования х.
В случае Дх) = 1пх интегрирование по частям приводит к простой формуле 174 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Если ~(х) = 1пх, то нетрудно установить, что !п~х — +С, 2 ( +1пх)+с, вф1, / — Их = анри Дх) =1п х (тф--1, аф1) достаточно в (4.19) сменить знак перед и,. При а=1 получим 1п х 1п + х — ~Ь= — +С, х т,+1 В случае и > 1 через элементарные функции можно выра. зить интегралы, в которых ~(х) является обратной тригонометрической функцией: атсв1п(х/а) агсв1п(х/а) 1 ах= + х (я -1)х~-1 и -1 х"-~ т/а~ — х~ атэц(х/а) атсйд(х/а) а /' сЬ (т -1)х -1 и -1,/ х -1(хам+аз)' Их= + В связи с этим напомним, что агссов(х/а) = ~т/2- агсв1п(х/а) в агссйд(х/а) = я/2 — агс®(х/а).
При и = 1 эти интегралы уже не удается выразить через элементарные функции. К не6ерущимся относятся также интегралы от функций е вюх сов х — — — Уи Е Х. хп ' хФ3 ' хФВ Интегралы от этих функций путем последовательного икте грирования по частям можно выразить через элементаркме функции и три основных неберущихся интеграла в1п х совх — ~Ь, — ~Ь.
х х е~ — ах, х (4.2О) 175 4.4. Различыые трансцендентные выраженим ,у ~, например, | еМх е* 1 + (и-1)х -1 и-1 е ах ®т~-1 1 ~Ейх е ~(а-й — 1)! (и — 1)' / (и — «)' ' 1=1 К неберущимся также относятся интегралы со8 х Йх 81п х Йх ~Ь 1пх (4.21) Последний из них заменой х=е' (ах= е'<Ь) можно свести к интегралу от функции е'/х. Можно привести достаточно много примеров неберущихся интегралов от трансцендентных выражений.
Некоторые из таких интегралов часто встречаются в прикладных задачах и хорошо изучены. С их помощью определяют функции, которые ие выражаются через элементарные, и поэтому их называют аиеииамьиыми фуима~илми. К ним относятся, например, упомянутые в Д.3.1 функции Г(Й, ~р) и Ж(Й, у), определяеиые эллиптическими интпегралами. При помощи интегралов (4.20) вводят специальные функции, называемые иитеграмьиой иомаэатиелъной функцией, интпеграмъными синусом ® иосииусом соответственно.
Первый интеграл в (4.21) связан неспециальными функциями, широко используемыми в теории яероятностей, статистической физике, теориях теплопроводност® н диффузии. Функции, связанные со вторым и третьим яитегралами в (4.21) и называемые иитегралами Фреие- ®% находят применение в оптике. При помощи последнего ®интеграла в (4.21) определяют функцию, которую называют ""~Веграмъиым,логарифмом. Ввиду важности для приложей упомянутых функций они изучены с той же полнотой, что 1 зяементарные функции. Поэтому их отличие от последних ~®®яется достаточно условным.
176 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Таким образом, в отличие от дифференцирования элене тарных функций их интегрирование далеко не всегда сно приводит к элементарным функциям. Следует подчеркнут различие между существованием неопределенного интеграла возможностью его представления при помощи элементарнь,„ функций.
Но если такая возможность имеется, то ее желател но реализовать. На это и направлены рассмотренные в этой ® предшествующих главах способы интегрирования. Однако даже известная теоретическая схема интегриров~. ния того или иного класса функций не во всех конкретных случаях быстрее всего ведет к цели. Обычно интегрирование можно выполнить несколькими способами, среди которых сле. дует выбирать наиболее простой. Рассмотрим элементарный пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
