VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В этом состоит ,вометрический смысл интеграла Ньютона. Теперь, используя геометрическую интерпретацию интерала Ньютона, можно пояснить геометрический смысл теоре,ы 5.2 о среднем значении и формулы (5.8): если неотрицательная подынтегральная функция ~(х) имеет на отрезке [а, 6~ иервообраэную, то на этом отрезке найдется хотя бы одна та кая точка х = с, что площадь криволинеинои трапеции с основанием м м У Лх) [а, Ц (на рис. 5.1 заштрихована) фЫфЯ.
будет равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой 7= У(с) (для графика функции Дх) на рис. 5.Г таких то- О а с1 ся Ьх чек две, с1, сг Е [а, Ц, для которых ~(с1) = Дс~) =7). С геометрической точки зрения ясно, что для тождественно не равной нулю, неотрицательной и непрерывной на отрезке [а,6] функции Дх) площадь Я соответствующей криволинейной трапеции не равна нулю.
В силу свойства аддитивкосеа площади (см. Д.1.1) Я можно рассматривать как сумму прямоугольных площадок ЫЯ(х) = Дх) Их, основания которых заполняют весь отрезок [а, Ь). Такая трактовка определенного вФВеграла будет детально рассмотрена в гл. 6. Здесь огра иичимся лишь замечанием, что введенный Г. Лейбницем зкак "к~пеграла ~ является стилизацией удлиненной первой буквы латинского слова яипппа. ПРимер 5.8. а. Для рассмотренной в примере 5.1 линейной функции Дх) =2х ~(х) ах = 2 2хЫх = хг 1~ -0 о о о 198 б.
ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Действительно, фигура, ограниченная графи ком этой функции, отрезком [О, 1) и прямой х = 1, является прямоугольным треугольником (на рис. 5.2 он заштрихован) с основанием и высотой, равными соответственно 1 и 2, так что площадь этого треугольника равна 1. б. Для неотрицательной на отрезке [О, 2я~ функции Дх) = 1+ в1п х площадь криволинейной трапеции, имеющей основание [О, 2я), равна Рис. $.2 2фг 2з 2ю 21г Ях) Йх = (1+втх) Йх= Их- Ы(совх) =х -совх =2~г о о о о о о и совпадает с площадью прямоугольника с тем же основанием и высотой ~ = 1.
Это означает, что среднее значение функции Дх) =1+в1пх на отрезке [0,2я~ равно 1. Данная функция достигает этого значения в точке с Е [О, 2я1, удовлетворяющей условию ~(с) = 1+ в1п с =,~ = 1. В рассматриваемом случае на отрезке [0,2л~ таких точек три: с1 -— О, с2 — к и сз -— 2т (рис. 5.3). 4~ Рис. $.3 Отметим, что определенную геометрическую трактовкУ имеют при ~(х) > 0 и свойства интеграла Ньютона (см. 5.З) а также следствия теоремы 5.2 о среднем значении (см.
5.4) Так, равенству нулю интеграла Ньютона с одинаковыми преде 5.6. Иитсрпретеции иитаграш Ньютона 199 лами интегрирования соответствует равенство нулю площади криволинейной трапеции, имеющей равную нулю длину основания. Аддитивность интеграла Ньютона можно трактовать как равенство площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции ~(х) > 0 и имеющей основанием отрезок ~а, Ь), сумме площадей криволинейных трапеций, построенных на всех частях этого отрезка (рис.
5.4, а). Геометрически линейность интеграла Ньютона означает равенство площади кривадинейной трапеции, ограниченной графиком функции Дх) = — ~1(х) + ~з(х) ®(х) > О, 1~(х) > О) и имеющей основанием отрезок 1а, 6], сумме площадей криволинейных трапеций с тем же основанием, ограниченных графиками функций Ях) и ~~(х) (рис. 5.4, б). Рис. 6.4 С геометрической точки зрения неравенство (5.12) означает, что при у(х) > Ь(х) Чх б (а, 6) У площади соответствующих криволинейных трапеций связаны таким Же неравенством (рис. 5.5). В случае неотрицательной на Цх) ~а~ Ц функции ~(х) геометрический смысл неравенства (5.16) за~почается в том, что значение Ь х н®нцади криволинейной трапеции Рис.
5.$ 200 б. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА А~ абВА, ограниченной графи М-- В ком этой функции и име. ющей в основании отрезок У(м) ~а, Ь~, заключено между зна„ чениями т(6 — а) и М(6-а) площадей прямоугольников пь-- аЪВ1 А1 и аЪВ~Ау соответ О а ственно (рис. 5.6). Интегралу Ньютона мож Рис. $.6 но дать и механическую интерпретацию. Пусть точка движется прямолинейно и в момент времени й имеет мгновенную скорость е(Ф) [П1. Если текущее положение. точки характеризовать расстоянием 8(1), отсчитываемым вдоль направления движения от ее начального положения при $ = 10, то для мгновенной скорости получаем е(~) = з'($) = Йф)/Й, т.е.
з($) является одной из первообразных функции о(Ф). Тогда интеграл с переменным верхним пределом (5.28) о(т') Йт равен расстоянию, которое пройдет точка к моменту времени 1, если движение она начала в момент времени $0. Таким образом, путь, пройденный точкой к моменту времени $, является для функции о($) той первообразной, которая обращается в нуль при Ф = $0, поскольку пройденный путь отсчитывается именно от этого момента времени. Подынтегральное выражение в (5.28) является дифференци алом сЬ(~) = о(8) й расстояния.
Он соответствует расстоянию пройденному за промежуток времени й точкой, которая движется с постоянной скоростью, равной ее значению о(8) в мо мент времени 8. В случае й>0 знак дифференциала <Ь(~) е момент времени $ зависит отзнакаскорости о(1), вычислен ной в тот же момент времени. 201 $.6. Интерпретации нытеграаа Ньютона За отрезок времени ~8О, $,1 точка пройдет расстояние о(т) й". (5.29) Ори этом средняя скорость точки за этот отрезок времени составит Ф) =Фо)+ (5.30) а(т) й, где е(ФО) — скорость точки в момент времени $о. За отрезок Времени [$О, $,] приращение скорости точки составит Ье = о(~,) — о(~о) = а(т) 4т, где е(1,) — скорость точки в момент времени $,.
Это еще одна Вз возможных механических трактовок интеграла Ньютона. Пример 5.7. Найдем закон прямолинейного движения точ"® с постоянным ускорением а = сопз$. Пройденное точкой "моменту времени $ расстояние 6(1) будем отсчитывать от "Омента времени $О = О, в который точка имеет скорость ое. Ясно, что при равномерном движении точки со скоростью о = =сопв$ средняя скорость за любой отрезок времени совпадает со скоростью равномерного движения, т.е. е, = о. Поскольку между скоростью точки и ее ускорением а(8) существует зависимость а(8) = Ио(8)/Й, т.е. скорость является нервообразной функции а($), то, согласно (5.21), можно напи- сать 202 Л.
ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Тогда, согласно (5.30), скорость точки в текущий момент вр~. мени $ будет равна 1 ю($) =во+ ай.=ио+ат =оо+а$, о о а пройденное ею расстояние, согласно (5.28), а з14 а М+ ат) М~ = [ио~+ -~ ] = в~1+ -$ . 2 1о 2 в($) = В частности, при падении тела в пустоте с постоянным ускорением а = у, если движение началось из состояния покоя (ео = О), скорость тела о($) = у$,. а пройденное им расстояние в($) = уР/2. 5.Т.
Способы вычисления интеграла Ньютона Применение формулы (5,3) Ньютпона — Лейбница для вычисления интпеграла Ньютпона от функции ~(х) по отрезку ~а, Ь3 требует знания на ~а, Ц первообразной Г(х) этой функции. При нахождении первообразной мы применяли интпегрирование подведением под знак дифференциала, подстпановкой заменой переменного и по частям (см. 1). Те же приемы используют и при вычислении интеграла Ньютона, но при этом следует учитывать некоторые особенности, связанные со свойствами подынтпегральных функций. Сформулируем и докажем теорему о замене переменного и интеграле Ньютона. Теорема 6.3.
Пусть на отрезке ~а, ~3) определена сложная функция ~(у(8)), а функция х = у($) непрерывна на эт®" отрезке и дифференцируема в интервале (а, ~3). Если функция 204 $. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Пример 6.8. а. Вычислим интеграл Ньютона от функции хе на отрезке [0,2). Для этого используем подведение под знак дифференциала с последующим использованием формулы (5.3) Ньютона — Лейбница: г г з 1 з г 1 1 4 е4 — 1 хе* ах = — е а(х ) = — е Й = -е 2 2 2 о 2 б. Чтобы вычислить интеграл Ньютона от функции Дх) = =~/е~ — 1 ваотреэке [а,е) прн е=О в е=)п2,сделаемэамеэу переменного Е = с~~ — 1.
Прн этом в [5.3Ц нмеем х = у[э) = =1п(1+Р), Их=28Й/(1+Р), значению а=О переменного х соответствует значение а = О переменного 8, а значению 6= = 1п 2 соответствует значение )[3 = 1. Используя тпабличкый иитеграл 13 (см. 1.4), находим Р+1 — 1 1+$ г 28Й ~ее — Их= С вЂ” =2 1+~г о о 1 1 Й 1 ~г — = 2$ — 2агс$ф = 2 — —.
1+юг о о 2 о о в. При нахождении интеграла Ньютона от функции Дх) = = 1/([х - 1)эГхэ+ 1) ва отреэке [2, 3[ целесооораэво сделать замену $ = 1/(х — 1) (см. замечание 3.4). Тогда в (5.31) будем иметь х = у(1) = 1+1/$, ~Ь = -Й/Р, а пределы интегрирования а=2 и 6=3 изменят значения на а= 1 и ф=1/2 необходимо вернуться к первоначальному переменному инте. грирования, при использовании (5.31) и (5.32) для вычисления интеграла Ньютона этого делать не нужно, поскольку полу чеиное число в силу теоремы 5.3 равно значению интегралов в обеих частях этих формул.
205 5.Т. Способы вычислеиии иитегрвлв Ньютоив соответственно. С учетом табличного интеграла 16 получим з 1/г Ых (х-Ц~/х'+1 ./ Р г 1 1 1 Ф+Щ 42./ — 1п -+ / й 1/г ~р(1) й = р(-х)(-Йх) = у(-х) дх = ср(-й) сВ = ср(й) ж. Таким образом, интегралы Ньютона от четной функции по отРезкам [а,ф] и [-ф, -а], симметричным относительно начала координат, равны.
Отсюда при а = 0 для четной функции У(~), имеющей наотрезке [0,,8] первообразную, сучетомсвойства (5.6) аддитивности интеграла Ньютона получаем Р о Р Р ~р® й = (р($) Й+ ~рЯ М = 2 ~р(1) й. -Р -Р о о (5.33) 4ля нечетной функции Ф($), имеющей первообразную на отрезке [а, Д, та же замена переменного с учетом равенства Пусть четная функция у(8) имеет первообразную на отрезке [а, ~3]. Проведем замену переменного $= -х (й= -~Ь, х= — 1). В этом случае новому переменному х соответству1от пределы а=-а и 6= —,8. Поскольку для четной функции у(-Ф) = у®, то в силу (5.31) и свойства 1' (см. 5.3) смены знака определенного интеграла при перестановке пределов, запишем 207 б.7.
Способы вычислеыма ннтегрвав Ньютонв ® проведем замену переменного $ = х+Т во втором интеграле в правой части этого равенства, что приведет к замене в этом интеграле нижнего предела на,д, а верхнего — на а. Тогда с учетом Й=дх получим 4В+~ ~9+Т а 13+Т а Д~) й= ~®й+ «х+Т) ах= Д~) а+ У+Т) И. а а Ф а Р $ак как для периодической с периодом Т функции Д$+ Т) = — Д1) ~1-3.4~, то в силу (5.6) приходим к равенству У(~) й+ У(~) й = У(~) й, которое совпадает с (5.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
