VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Зна чение интеграла Римана определяется лишь подыншегральиой функцией Дх) и отрезком интегрирования. Концы отрезка интегрирования, как и в случае интеграла Ньютона, мы будем называть пределами интпеарированчив (левый конец отрезка — нижним пределом интпегрирования, а правый конец — верхним пределом иктвеврироваиил).
Для неотрицательной на отрезке ~а, Ц функции ~(х) геометрически интеграл (6.6), согласно определению 6.3 предела интегральных сумм, является пределом (при стремлении максимального шага разбиения Ь к нулю) площадей ступенчатых фигур. Каждая из этих фигур объединяет на отрезке ~а, Ц прямоугольники с основанием Ьх; = х; — х; 1 и высотой ~®) (см. рис. 6.1). Этот предел естественно считать площадью' криволинейной трапеции а6ВА, имеющей основанием отрезок ~в, 61 и ограниченной графиком функции у = ~(х) и прямыми ®= а и х= б, если значения ~(а) и ~(6) функции отличны от нуля. Необходимое условие интегрируемости функции Дх) на отрезке устанавливает следующая теорема.
6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 216 Теорема 6.1. Если функция Дх) интегрируема на отрез ке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке. ~ Предположим противное: функция Дх), интегрируемая на отрезке [а, 6], не ограничена на этом отрезке. Согласно опре. делению 6.4 интегрируемости функции на отрезке, существует конечный предел интегральных сумм для этой функции на дан ном отрезке. Выберем произвольное число е > О. Тогда в силу определения 6.3 предела интегральных сумм найдется та.
кое число 0=8(е) > О, что для любого разбиения отрезка [а, 6] с максимальным шагом Ь < 6(е) и любого выбора точек (; на частичных отрезках будет выполнено (6.4), т.е. Отсюда следует, что множество интегральных сумм с максимальным шагом Ь < 8(е) ограничено. Выберем одну из таких интегральных сумм. Поскольку по предположению функция Дх) не ограничена на отрезке [а, 6], то найдется частичный отрезок [х; 1, х;], на котором функция ~(х) является неограниченной.
Путем соответствующего выбора точки 5 Е Е [х; 1, х;] слагаемое ~(~;)Ьх; в интегральной сумме можно сделать сколь угодно большим по абсолютной величине, а вместе с этим слагаемым сколь угодно большой по абсолютной величине будет и интегральная сумма. Но последнее невозможно, поскольку интегральная сумма была выбрана из ограниченного множества интегральных сумм. Возникшее противоречие опровергает принятое предположение и доказывает утверждение теоремы. ~ Подчеркнем, что ограниченность функции на отрезке является лишь необходимым, но не достаточным условием ее интегрируемости на этом отрезке.
Так, функция Дириаае (см. пример 6.2) ограничена на любом отрезке [а, Ц С Е, но не интегрируема, поскольку не существует предел соответствуюши" интегральных сумм. 217 6.3. Суммы и интегралы Дврбу 6.3. Суммы и интегралы Дарбу М= Вир ~(х) и т= Ы Дх), хб~а, Ь) хб1а, Ь) а точные верхнюю и нижнюю грани этой функции на каждом частичном отрезке— М;= Впр Ях) и т;= М ~(х). ХЕ~Хе-1е Хе) ХЕ~хе-1е Хе) Разности М вЂ” т=(1 и М; — т; =ы; называют колебанием фуюсции на отрезках [а, 6) и [х; 1, х;~ соответственно.
Суммы и и У(Т) = ) Ы<Ье< в Я(Т) = ~ еее<Ьее (6.7) называют верхней и нижней суммамм Даубу для функции ~(х), соответствующими фиксированному разбиению Т (Ж.Г. Дарбу (1842-1917) — французский математик). Значения этих сумм могут не совпадать ни с одной из интегральных сумм Я(Т) для функции ~(х) и данного разбиения отрезка [а, 61, поскольку эта функция может и не принимать значений М; или т; начастичныхотрезках [х; 1, х;1 (рис. 6.2) „ Для ограниченной функции Дх) суммы Дарбу определены при любом разбиении Т отрезка, поскольку в этом случае значения М; и т; (1=Т,т~) в (6.7) конечны.
При этом для любого разбиения отрезка [а,6] т;<~®) <М;, $Е[х; 1,х1, к=1,а. Пусть ~(х) — функция, ограниченная на отрезке [а, 61, а Т = (хо, х1,..., х; 1, х;, ..., х„) — некоторое фиксированное разбиение отрезка [а, Ц на частичные отрезки [х; 1, х;), ~= — 1, е. Точные верхнюю и нижнюю грани функции ~(х) на отрезке [а, 61 обозначим 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 218 Рис. 8.2 или ЯТ) < Я(Т) < Я(Т), (6.8) где Я(Т) — интпегральная сумма функции ~(х) на отрезке 1а, Ц при его фиксированном разбиении Т и произвольном выборе точек ('; на частичных отрезках 1х; 1, х;) (~ = 1, и). Ясно, что значения ЯТ) и У(Т) являются точной нижней н точной верхней гранями множества интегральных сумм 5(Т) функции Дх), соответствующих данному разбиению Т. Пример 6.3, Найдем суммы Дарбу для функции ~(х) = х на отрезке 1-2, 31, соответствующие разбиению этого отрезка на и равных частей.
В этом случае 5 5$ Ьх; = —, х; = -2+ —, ~ = 1, и. и и В силу непрерывности и возрастания этой функции при любо~ разбиении отрезка она достигает наименьшего т; = х~ 1 наибольшего М; = хз значений на левом и правом конп»" Умножая это неравенство на Ьх; > 0 и суммируя по ~, для любого фиксированного разбиения Т получаем 6.3. Суммы и иытекрвлы Дарбу и Я(Т) = -~~ ( — 2+5 — ), з=1 74 я(т) =-~'(-2+ — ')'. 1=1 Яринимая во внимание, что' а(11+ 1) .~ а(а+ 1)(2а+ 1) .
яа(в+ 1)э 1— 2 Ф Ф 6 1 4 Ф в=1 и=1 в итоге получаем 65 175 125 ЯТ) = — — — + —, 4 2а 4а~' 65 175 125 У(Т) — + — + —. 4 2Я 41Р Определение 6.5. Разбиение Т' отрезка [а, 6~ называют изме,яъчением разбиения Т этого отпреэяа, если множество точек разбиения Т' получено добавлением к множеству точек разбиения Т некоторого числа новых точек отрезка [а,0], так что Т' ) Т. 'ХЪорема 6.2.
Если разбиение Т' получено иэ разбиения Т добавлением Й новыхточекотрезка [а, Ц, то выполняются неравенства ,~(Т') < У(Т), «~(Т) < йТ'); (6-9) У(Т) Я(Т') <Ь ~, Ю(Т')-Л(Т) <~ ~, (610) где Ь вЂ” максимальный шаг разбиения Т; ы = М вЂ” т— колебание функции У(х) на отрезке [а, Ц. ~ Пусть разбиение Т1 получено иэ разбиения Т добавлением ~®1пьодной новой точки х', т.е.
1=1 и х'е [х~ 1, х;1. Тогда слагаемое М (х -х 1) всумме У(Т) для отрезка [х~ 1, х1 ° ~ тп тоадестзв момпо доказать с помощью метода математической а®юкарщ. частичного отрезка [х; 1, х;1 соответственно. Согласно (6.7), находим 221 6.3. Суммы и иитет ралы Дарбу Теорема 6.3. Для любых двух разбиений отрезка ~а, 6] любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любую верхнюю. Я(Т') < Ю(Т'о Т") < У(Т'о Т") < У(Т").
в Согласно теореме 6.3, для функции ~(х) при любых разбиениях отрезка ~а, Ц множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху любой верхней суммой, а множество верхних — снизу любой нижней. Поэтому на множестве 7 всевозможных разбиений Т существуют конечные точные верхняя и нижняя грани [1-2.7] 1, = вирЯ(Т) и 1'= Ы У(Т), тя7 ТЕ7 (6.13) причем ЯТ) < 1, < 1' < У(Т). (6.14) Числа 1, и 1' называют нижним и верхним июаеераюами Дарбу функции ~(х) на отрезке ~а, 6] соответственно. Теорема 6.4.
Для ограниченной на отрезке ~а, 6] функции ~() 1, = Йп Я(Т), 1' = 1пп Я(Т), (6.15) где Ь вЂ” максимальный шаг разбиения отрезка ~а, Ц. 4 Докажем справедливость лишь первого равенства (6.15), по~кольку справедливость второго можно доказать аналогично. Для доказательства необходимо при произвольно выбранном е> О найти такое о(е) > О, что для любого разбиения Т с максимальным шагом Ь < о(е) будет выполнено неравенство !8(Т) — 1,~ < е, которое с учетом (6.13) эквивалентно неравен- ству (6.16) О < 1. — ЯТ) < е. 4 Пусть Т' и Т" — любыедва разбиения отрезка ~а, 6].
Тогда Т'СТ'ОТ" и Т" С Т'ОТ". В силу (6.8) и (6.9) получаем 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 222 В силу свойств точной верхней грани [1-2.7) найдется тако разбиение Т' отрезка [а,Ь), что (6.17) 1 — — < Я(Т') < ЙТ'ОТ), т.е. с учетом определения У, (см.
равенство (6.13) ) О < 1, -3(Т' О Т) < —. (6.18) Прн объединении разбиений Т' н Т число Й новых точек деления отрезка [а, Ь], добавленных к Т, не превышает и' — 1. Поэтому, согласно теореме 6.2, Я(Т'0 Т) — Я(Т) < )ыЬ < (и — 1)ыЬ < (и — 1)и8 — < (и' — 1)ые е т.е. Я(Т'0Т) < Я(Т) + е/2. Учитывая это неравенство в (6.18), приходим к (6.16), что в силу произвольности е доказывает первое равенство (6.15).$ь 6.4. Критерий существования определенного интеграла Прн помощн верхней У(Т) н нижней Я(Т) сумм Давай можно сформулировать необходимое н достаточное условня ннтегрнруемостн функцнн на отрезке [а, Ь], т.е.
условия сУ ществовання на этом отрезке определенного интиеграла. Положим Ю = е/(2п'ы), где и' — число частичных отрезков разбнення Т', а ы = М вЂ” т — колебание функции ~(г) на отрезке [а, Ь]. Пусть произвольному разбненню Т с максимальным шагом Ь<о отвечает нижняя сумма Дарбу Я(Т). Тогда, согласно теореме 6.2 н неравенству (6.17), имеем 6А. критерий существоваииа определеииого интеграла 223 и Х = 1!т Я(Т) = 1!т ) Я<)Ьх;, (6.19) где Ь вЂ” максимальный шаг разбиения отрезка ~а, 6].
Тогда в силу определения 6.3 предела интегральных сумм для любого е > О найдется такое число о = о(е) > О, что для любого разбиения Т с максимальным шагом Ь < о(е) и при любом выборе точек ~; на частичных отрезках ~х; 1, х;1 будет выполнено неравенство ~1 — Я(Т) ~ < е, или 1 — е<5(Т) <1+а. Так как при заданном разбиении отрезка значения Я(Т) и У(Т) являются точными нижней и верхней гранями множества интегральных сумм, то в силу свойств точной верхней (нижней) грани 11-2.7), принимая во внимание (6.8), имеем 1 — е < Я(Т) < Я(Т) < 1+ я.
Поскольку зто неравенство верно для произвольного числа е', то Ьп ЯТ) = 1ип У(Т) = 1. Отсюда на основании теоремы 6.4 Й-+О Ь-+О получаем 1' = 1ип У(Т) = 1пп ЯТ) = 1.. й-+О й-+О Достаточность. Предположим, что выполнено равенство 1' = 1, = 1, где 1 — общее значение верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Тогда из теоремы 6.4 следует 1ип Я(Т) = 1пп Я(Т)) = 1. Теорема 8.6 (критерий Дарбу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
