VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Применим теперь для вычисления интеграла Ньютона интегрирование по частям. Пусть функции и(х) и о(х) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ц. Тогда на ~а, 6~ существуют неопределенные интегралы от подынтегральных выражений о(х) <!и(х) и и(х) Й~(х), причем, согласно (1.19), и(х)сЬ(х) = и(х)о(х) — о(х)сЕи(х). и(х) Й~(х) = е и(х) о(х) — о(х) Ыи(х) Ь = и(х) о(х) — о(х)йс(х). (5.36) а и Рассматривая правую часть этого равенства как одну из пер- вообразных функции, стоящей под знаком интеграла в левой части, и применяя формулу Ньютона — Лейбница в виде (5.4), получаем 208 $.
ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Пример 6.9. Применим (5.36) для вычисления интеграла Ньютона от функции !пх но отрезку ~1, 3], положив и(х) =1пх и 4Ь(х) =Их (Иа(х) =<Ь/х и е(х) =х): 3 Их 1пхдх = х1пх — х — = 31п3 — 2. х Вопросы и задачи Нх а) — = 1п~х~ = 0; б) х -1 1 11 ~г Иагс®- = агсФдх х -1 2' -1 -1 22Г Ых 1 ФВх з в) — агсф~ — = О.
(2+ Фдзх) сов'бх Я ~/2 о о 6.3. Можно ли в интеграле Ньютона от функции х 1- х з на отрезке ~0, 3] провести замену переменного интегрировв' ния х=в1п$? 6.1. Найти интегралы Ньютона на указанных отрезках от следующих функций, имеющих на этих отрезках первообраз ные, и изобразить соответствующие криволинейные трапеции) а) х~, [-1,2); б) 10~х, ~-, — ]; х) х — 2х~+х — 1, [-1, Ц; г) 2, 101 2]; д) —, ~1,4]; е) Я1 ~-111]; ж) — з, ~1,2]; ~х х), [О, 4); х), [О, Ц; к) [1 — х[, [О, 2); 1 1 1+ ~/х ' х +2х+2 л) —, ~е, е ]; м) агсв1пх, ~0, -~; н) хагс®~х, ~0, ~/3]; х1пх' ~ ' 21' в1п'б х 4 3 1+ 2в)пг х, 4 6.2.
Объяснить, почему не верны равенства: 209 Ваи)росы и задачи 6.4. Доказать, что если функция ~(х) имеет первообразную на отрезке [О, Ц, то ~г/2 ~г/2 ,'~(сов х) Нх. 6.6. Применима ли подстановка ~~х =8 при вычислении интеграла Ньютона от функции 1/(1+нп2х) на отрезке [О, 7ГГ 6.8.
Доказать, что если функция ~(х) имеет на отрезке [а, Ц первообразную и Да+ 8) = У(6- $) ~Й Е [О, 6 — а~, то 6 ь х,Г(х) Ых = — ~(х) Ых. а+Ь 2 6.7. Вычислить интеграл от функции (1+ х — 1/х)е~+1~~ на отрезке [1/2, 2~, используя подстановку х+ 1/х = 1. 6.8. Доказать, что одна из первообразных четной функции есть функция нечетная, а любая первообразная нечетной функции есть функция четная. 6.В. Найти интеграл Ньютона на отрезке [О, 2) от функции х2, хЕ [О, 1]; У( )= 2 — х, хЕ(1,21. 6.10. Доказать, что первообразная периодической функции с периодом Т есть сумма линейной функции и периодической Функции с тем же периодом. 6.11. Доказать, что для функции ~(х), имеющей на отрезке ['~ 61 первообразную, верно равенство Ях) йх = (6 — а) | ~(а+ (6 — а) х) йх.
210 б. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА 6.13. Доказать, что при Й, тв б Е интегралы на отрезк [-я, ~~1 от функций я1пЙхя1п~пх (Й ф. ~п), сояйх соя~ах (Йф. щ) и з1пЙхсовтх равны нулю. 6.14. Доказать, что для и+ 1 раз непрерывно диффе ренцируемых на отрезке [а, б~ функций и(х) и о(х) верно равенство Ь Ь (в+11д ~[ цй (Й1 (в-Й) г ( цп+1 / (в+1) а й 1=о О 6.16. Установить, для какой из функций, ап7 х или 81п~х, интеграл Ньютона на отрезке [О, ~г] имеет большее значение. 6.1В.
Выяснить, какой из интегралов Ньютона на отрезке [1, 2) имеет большее значение: от функции 1/х или от функции 1/~/Г+ х~. 6.1Т. Доказать неравенство е — 1 е Их е — 1 4 — < < —. 9 (х+ 1)(2 — х) 2 о 6.12. Установить знак интегралов Ньютона (не вычисляя и„ значений) от функции хз2* на отрезке [ — 2, 21 и от функции хз1пх на отрезке [1/2, 11. 6. ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ Рассмотренный в гл.
б оиределенныб интеграл Ньютона ~(х) сЕх = Г(Ь) — Р(а) существует лишь для таких функций Дх), которые имеют на отрезке [а, Ц первообраэную Р(х). Но можно ввести понятие определенного интеграла от функции Дх) по отрезку [а, Ь|, не используя понятия первообразной этой функции. 6.1. Интегральная сумма и ее предел Пусть функция Дх) определена на отрезке [а, Ц. Определение 6.1.
Конечное множество точек а= хо < х1 « ... х; 1 < х; « ... х =Ь называют разбиением отпрезяа [а, Ь1 и обозначают Т = [хо, х1, ..., х; 1, х;, ..., х„~. Длину отрезка [х; 1, х;] С [а, Ь~, который назовем часшичньем отпреэяом разбиению Т, обозначим Ьх; = х; — х; 1 (~=1,п,).
Число (6.1) называют маясилимьным шаеом разбиению (или диаме- ~Ром разбиения) Т. Заметим, что Ь ) (Ь вЂ” а)/и. 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 212 На каждом частичном отрезке произвольным образом з фиксируем точку 5 Е ~х; ~, х;). Определение 6.2. Выражение я(т) = ~ у(6)М з=1 (6.2) называют аювезральмой суммой для функции У(х) на от резке 1а, Ь) при заданном его разбиении Т и выборе точек (,. Для неотрицательной на отрезке ~а, Ц функции У(х) гео. метрически каждое слагаемое интегральной суммы (6.2) равно площади прямоугольника с основанием Ьх; и высотой,Я;), а вся сумма равна площади ступенчатой фигуры, объединяющей такие прямоугольники на всем отрезке (рис. 6.1). Рмс.
6.1 Определение 8.3. Число 1 Е Е называют лределом импзеаральных сумм вида (6.2) для функции ~(х) на отрезке [а, 6] при стремлении к нулю максимального шага Ь разбиения этого отрезка и обозначают если для любого е > 0 найдется такое число 8 = 8(е) ) 0' что для любого разбиения Т с максимальным шагом Ь ( Й4 213 6.1. Интегральная сумма н ее предел ®еравенство (6.4) выполняется при любом выборе точки ('; на каждом иэ частич®ь1х отрезков [х; 1, ж;] (1 = 1, п) разбиения Т. Замечание 6.1. Отметим, что при стремлению к нулю «1ага разбиения Й количество и частичных отрезков разбиения неограниченно возрастает: а -+ оо при Ь -+ О. Пример 6.1. Пусть функция ~(х) = А =сопвФ Чх 1= [а, 6~. ц этом простейшем случае значения интегральных сумм не зависят ни от разбиения отрезка [а, 6~, ни от выбора точек ф на частичных отрезках [х; 1, я;~ с [а, Ц: и и ~~ф)Ьз; ='~А(х< — з; ~) = А( — а).
Предел интегральных сумм для данной функции на отрезке [а, Ц, согласно (6.3), будет равен и Х = Ит ~ У(~<)Ьх< = А(6 — а). ~~1 Пример 6.2. Для фуксии Дирихле на любом отрезке [а, 6) С Й не существует предела интегральи®х сумм. В самом деле, если для любого иэ разбиений Т отрезка [а, 6~ выбирать на частичных отрезках только рацииа)1ьные значения ~; Е Я, 1 = 1, а, то любая из интегральных умм примет вид и и Я(Т)=~ уф)Ьх;=~ 1 Ьх;=6-'а=сопвй.
~~1 ~=1 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 214 Тогда такие суммы в пределе при Ь -+ 0 дают 6 — а. В случа же выбора на частичных отрезках произвольного разбиения '1 только иррациональных значений ~; б Е ~ Я любая интеграль ная сумма равна нулю, так что в пределе такие суммы рави~ нулю. Эта ситуация противоречит определению 6.3 предела интегральных сумм, значение которого не должно зависеть от выбора точек (; на частичных отрезках разбиения. Поэтому для функции Дирихле предел интегральных сумм действитель но не существует. 6.2. Интеграл Римана Определение 8.4. Фуняа~ию ~(х) называют аятегрируемой (интегрируемой ио Рнману) на отрезке 1а, 6), если существует конечный предел 1 Е Е ее интпегральных сумм на этом отрезке.
1= Дх)ах (6.5) и называют иятвегралом Римана от функции 1(х) по отрезку ~а, Ь), поскольку именно немецкий математик Б. Риман (1826-1866) впервые сформулировал в общей форме определение предела интегральных сумм. Отметим, что обозначение (6.5) совпадает с обозначением интпеграла Ньютпона, рассмотренного в гл. Б. Однако понятие интеграла Римана является Здесь важно напомнить, что каждая интегральная сумма функции ~(х) на отрезке 1а,о) соответствует некоторому разбиению Т этого отпрезка и некоторому набору выбранных точек (; на частпичных отпрезках 1х; 1, х;), т =1,п, этого разбиения. Предел 1 интегральных сумм берут при стремлении максимального шага й разбиения отрезка к нулю, и этот предел, согласно определению 6.3, не зависит от выбора точек $ на частичных отрезках.
Этот предел обозначают 215 6.2. Интеграл Рикана более удобным, так как его можно распространить на многомерный случай. В дальнейшем вместо термина „интеграл Римана" будем использовать термин „овределеииый иктеярал", а в случаях, не связанных с понятием неопределенного внтпеграла, будем говорить просто об интеграле. Итак, согласно (6.3) и (6.5), можно записать ь ~(х) их = ит ~Щ<)ьх<. б 1=1 (6.6) Строгое определение площади плоской фигуры и ее свойства приведены в Е.З, Как и в случае интеграла Ньютона, интеграл Римана от функции У(х) по отрезку [а, б~ является числом, которое не зависит от обозначения переменного интпегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
