VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Эти соотношения следуют из теоремы, которая получила название твеоремы 0 ередием зквчемии. ЧЪорема 6.2. Если определенная наотрезке ~а, Ц функция ~(х) имеет на нем первообразную Г(х), то существует такая точка сб (а, Ь), что ~(х) Ых = Дс) (Ь вЂ” а). (5.8) Согласно определению 1.1 первообразной,,Р(х) = ~(х), х 6 ~ ~а Ч т.е. функция Р(х) дифференцируема, а значит, и Обобщая это свойство, заключаем, что интеграл Ньютона от линейной комбинации функций, имеющих первообразные, равен линейноЙ комбинации интегралов Ньютона от каждой из этих функций, т.е.
вычисление интеграла Ньютона является линейной операцией. 188 Б. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА непрерывна на отрезке 1а, Ь]. Поэтому она удовлетворяе. условиям теоремы Лагранжа 111], согласно которой можн, записать ь ~(х) Их = Р(Ь) — Р(а) = Р'(с) (Ь вЂ” а) = У(с) (Ь вЂ” а), (5.9) где с6 (а, Ь). Юь Замечаиие 6.1. Число 1 7 = — У(х) Их а (5.10) Следствие 6.1. Если функция Дх) имеет наотрезке [а, Ь] первообраэную и Дх) > О Чх Е (а, Ь), то интеграл Ньютона от этой функции по данному отрезку неотрицателен, т.е. Дх)ах > О.
а (5.11) ~ Так как Дх) > О М б (а, Ь), то (5.11) следует из (5.8). )~ Следствие 6.2. Если функции д(х) и Ь(х) имеют на отрезке ~а, Ь] первообразные и у(х) > Цх) Ух Е (а, Ь), то ь Ь (5.12) Цх) ах. у(х) ах > называют средним значением функции на отирезне ~а, Ь]. Таким образом, (5.9) означает, что для функции, имеющей на ~а, Ь] первообразную, существует по крайней мере одна внутренняя точка отрезка 1а, Ь], в которой значение функции совпадает с ее средним значением на этом отрезке. 189 БА. Теорема о среднем значении и ее следствии 4 Поскольку Дх) = д(х) — Ь(х) > 0 ~Ь Е (а, 6), то в силу ледствня 5.1 Ь (д(х) — Ь(х)) ах ) О, .е.
с учетом линейности интеграла Ньютона Ь Ь д(х) ах— Ь(х)сЬ) О, откуда следует (5.12). 1ь Следствие 5.3. Если функции д(х) н Ь(*) = Дх)д(х) нмеют на отрезке 1а, 6] первообразные н т(~(х) <М, д(х) >О ЧхЕ(а, 6), Ь Ь Ь т д(х) йх < Ях)д(х) с8х < М (5.13) д(х)Ю . 4 Поскольку д(х) ) О, то тд(х) < Дх)д(х) < Мд(х) Чх Е (а, 6). (5.14) т(,~(х) < М, д(х) <О Чхб (а, Ь), Из определення 1.1 первообразной следует, что если функция У(х) имеет первообразную С(х) наотрезке ~а,Ь1,то функция сд(х) также имеет первообразную на этом отрезке прн любом е~.В, равную сб'(х). Применяя к (5.14) дважды следствие 5.2, получаем (5.13). > Следствие 6.4.
Если функции д(х) н Ь(х) = Дх)д(х) вмеют на отрезке 1а, Ь1 первообразные н 190 б. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА то ~ Так как тд(х) >,~(х)д(х) > Мд(х) Чх б (а, Ь), то (5.15) можно получить двукратным применением (5.12). ° Следствие 6.6. Если функция ~(х) имеет наотрезке ~а, Ь~ первообразную и т< Дх) (М МЕ (а, Ь), то ~(х) ах ( М(Ь вЂ” а). т(Ь вЂ” а) ( (5.1б) 4 При д(х) = 1 Чх Е 1а, Ь1 д(х) ах = ах = Ь вЂ” а Следствие 6.6.
Если функции Дх) и ~~(х)~ имеют иа отрезке ~а, Ь] первообразные, то ь ь Дх)ах ( Щх)~Их. (5.17) < Поскольку -Щх)~ (,Г(х) ( ~~(х)~ Чх Е (а, Ь), то, дважд~ применял (5.12), получаем т д(х) ~Ь ~~ Ях)д(х) Йх 3 М д(х) Ых. и неравенство (5.1б) следует из (5.13). 3~ ь ь ь Щх)~~Ь ( Дх) Ых ( Ц(х)~Йх, что равносильно неравенству (5.17). ~ (5 15) 191 бА. Теорема о среднем значении и ее следствии У(х) <Ь > О. (5.18) 4 При указанных условиях записанный интеграл в силу след©твия 5.1 неотрицателен. Предположим, что он равен нулю, т.е., согласно (5.3), Р(а) = Р(Ь).
Из условия Р'(х) = Дх) > ~ >О Чх Е ~а, 6] следует, что первообразная Р(х) не убывает яа отрезке ~а, 6], т.е. с учетом сделанного предположения ~(а) < Р(х) < Р(Ь) =Р(а) Чх Е ~а, Ь]. Это означает постоянство 7(х) на ~а,Ь], а тогда ~(х) =0 Ух Е ~а, Ь], что противоречит одному из условий следствия. Поэтому неравенство (5.18) верно. ~ Следствие 5.8. Если функции д(х) и Цх) имеют на отрезке 1а, Ь] первообразные и у(х) > Ь(х) Чх б ~а, Ь], причем у(г) и Ь(х) различаются хотя быводной точкеотрезка ~а, 6], у(х) Ых > Ь(х) Й:. (5.19) 1 Поскольку ~(х) = у(х) — Ь(х) > О, х е [а, Ь], причем ~(х) ф ~О в некоторой точке, то в силу следствия 5.7 и свойства линейности интеграла Ньютона О ( / (Дх) — р Я их = ~ ~(х) йх — ~ д(х) йх, "Уда следует (5.19).
° Следствие 5.7. Пусть функция Дх) имеет первообраз®ую Р(х) на отрезке ~а, 6] и,'~(х) > О Чх Е ~а, Ь], причем у(х) > О хотя бы в одной точке отрезка ~а, 6]. Тогда 192 б. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Замечание 5.2. Подчеркнем, что следствия 5.1-5.8 спра ведливы только для отрезка, т.е. в случае, когда нижний преде интегрирования а не превосходит верхнего предела интегри рования 0. Если это ограничение снять, то в формулировкн следствий нужно вносить коррективы.
Так, вместо (5.17) сле. дует писать ~~(х)~Ых . ~(х) Их (5.20) Действительно, при а > 6, принимая во внимание изменение знака интеграла Ньютона при перестановке пределое интеграл. рованил (см. свойство 1' в 5.3), соотношение (5.17) и неотри цательность интеграла от неотрицательной функции ~~(х) ~ по отрезку (см. следствие 5.1), имеем ~~(х) ~ Их ~Д(х) ~ Их = ~(х)Их < Ь Ь в а при а < 6 неравенства (5.17) и (5.20) эквивалентны в силу неотрицательности функции ~~(х) ~.
Пример 5.4. Найдем среднюю мощность электрического нагревателя, имеющего сопротивление В, если через нагреватель проходит переменный ток, изменяющийся во времени 1 в соответствии с законом 1($) = уо81пЫ, где 1о — амплитудное значение силы тока, ю — угловая частота. Мгновенная тепловая мощность, выделяющаяся нри прохо ждении электрического тока силой 1 через сопротивление ~ согласно известной из школьного курса физики формуле Джо уля — Ленца, равна ФК = РВ. В данном случае мгновеннэл мощность является периодической функцией времени 1 с пеР» одом Т = 2~г/м. Используя (5.10), найдем среднюю мощнос'1~ Ж нагревателя как среднее значение функции ФК(Ф) = У Р) 193 5.Б.
Интеграл Нъютоыв с переменнмми .пределами за этот период, т.е. т Т т 1 )К = — Ю($) й = — 81п ~$ й = — (1 — со82И8) (Й = ~О~ ° 2 ~О~ Т Т 2Т о т ~о~ ~о~ 2 И$ — 0 — О 31п 2 $~1 2 4ыТ ~о 2 2Т в~пхЫх < х~Ь. О< зг/8 $.$. Интеграл Ньютона с переменными пределами Пусть Р(х) — некоторая первообразная функции ~(х) в промежутке Х. Тогда для произвольных точек а,6ЕХ, согласно формуле Ньютона — Лейбница, ь Дх) ах. Р(Ь) — Р(а) = Обозначим переменное интегрирования в интеграле справа чеРез Ф, а верхний предел интегрирования через х. Тогда получим ~0~ ~0~ 1 2 0 0 81п 2,д~ = '~02 ц ®~ 2о 'Гаким образом, средняя мощность нагревателя вдвое меньше максимального значения его мгновенной мощности.
Пример б.б. Установим, от какой из функций 81пх и х интеграл Ньютона по отрезку [т/8, ~г/21 больше (не вычисляя значений интегралов). Поскольку при х Е (к/8, я/2) имеем О < 81п х < х, то в силу следствий 5.7 и 5.8 получаем ~г/2 ~г/2 194 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА или Р(х) = ~(8) Й+ Р(а), х е Х. (5.21) ~($)Й=~(х) Мб [а, Ц.
(5.22) Следовательно, неопределенный интеграл функции ~(х) можно представить в виде ~(ж) Ых = ~ЯЙ+С Ч~ Е [а, Ь~. (5.23) Это соотношение устанавливает связь неопределенного интеграла и интеграла Ньютона с переменным верхним пределом. Интеграл Ньютона в правой части (5.23) является функцией своего верхнего предела и представляет собой одну из перво- образных подынтегральной функции ~(ж).
График этой пер. вообразной проходит через точку х = а на оси абсцисс. Используя (5.3) и аддитивность интеграла Ньютона, запишем (5.21) в виде ~(Ф) Й+ Р(6) — Р(а)— Р(а) = Р(а)+ У(~) Й = Унтеград Ньюшока в правой части равенства (5.21) иа. зывают интвеараяом Нъютионв с иеременным еерхнц и а Из формулы (5.21) следует, что производная интеграла Ньютона по переменному верхнему пределу равна значению по. дынтегральной функции при текущем значении этого предела т.е. х 195 $.6, Иытеграа Ньютоыа с аеремеыиыми аределами — ДЙ) Й = -Дх) Чх Е ~а, Ь~, И х (5.25) т.е.
в отличие от (5.22) значение подынтегральной функции ~(х) при текущем значении этого предела должно быть взято с обратным знаком. Из (5.24) видно, что функция Р(Ь)— является одной из первообразных функции ~(х) на отрезке ~а,Ь], а тогда все множество первообразных этой функции можно записать в виде Я) Й+С, где С вЂ” произвольная постоянная, т.е. Дх) сЕх = — ~Я й+ С Чх е ~а, Ь). (5.26) ~аким образом, взятый с обратным знаком интеграл Ньюто®а с переменным нижним пределом, будучи функцией своего нижнего предела, является одной из первообразных подынтеральной функции ~(х). График этой первообразной проходит ерез точку х=Ь наоси абсцисс.
интеграл в правой части (5.24) называют интегралом Нью- ,тона с переменным кижмим пределом. Так как Р'(х) = - ~(х), то из (5.24) следует, что производная от интеграла Кьютона по переменному нижнему пределу х равна 196 $. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА $.6. Геометрическая к механическая интерпретации интеграла Ньютона Д$)й Чх б [а, 6]. 8(х) = 8(а)+ Но в данном случае из геометрического смысла первообразной 8(х) следует, что 8(а) = О, поскольку 8(а) соответствует пло- щади криволинейной трапеции, длина основания которой равна нулю.
Следовательно, в рассматриваемом случае получаем (5.27) Итак, интеграл с переменным верхним пределом и' нижним пределом а от неотрицательной и непрерывной на отрезке [а, 6] функции у = Дх) равен площади криволинейной тря пеции, имеющей основанием отрезок [а, х] и ограниченной сверку графиком этой функции. Поскольку аЯ(х) = 8'(х) а» то подынтегральное выражение в (5.27) будет дифференциалом площади укаэанной криволинейной трапеции в текущей то" ке х. Полагая в (6.27) х = 6, придем к интегралу Ньютона от функции у = ~(х) по отрезку [а, 6], равному площади криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а 6] Пусть функция у = У(х) неотрицательна и непрерывна н отрезке [а, 6].
В силу утверждения 1.1 (см. также теорему 1 4 и следствие 1.1 в Д.1.1) такая функция имеет на этом отре;„ ке первообразнрю Я(х), причем геометрический смысл этой первообразной состоит в том, что она является площадью нри волинейной трапеиии, имеющей основанием отрезок [а, х] ® ограниченной сверху графиком функции у = ~(х) (см. рис. 1.5) Согласно (5.21), для первообразной Я(х) можно записать 197 $.6. Интерпретации интеграла Ньютона ® ограниченной сверху графиком этой функции, а с боков— ,рямыми х = а и х = о (см. рис. 1.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
