VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 2
Текст из файла (страница 2)
[Ц, [1Ц 16. Приведите примеры функций, которые имеют: а) точки устранимого разрыва; б) точки разрыва первого рода; в) точки разрыва второго рода. [Ц 17. Приведите примеры функций, непрерывных в интервале (а, 6), но не являющихся непрерывными на отрезке [а, 6]. Каковы свойства функции, непрерывной на отрезке [а, 6]? Имеет ли эти свойства функция, непрерывная лишь в интервале (а, 6)? [Ц 18. Перечислите основные элементарные функции. Какие из этих функций определены и непрерывны на всей числовой прямой? Какие функции относят к классу элементарных функций? Входят ли в этот класс гипербааические тангенс и котангенс? [Ц 19.
В чем различие между монотонной и строго монотонной в некотором промежутке функциями? Каковы условия существования в нем непрерывной и строго монотонной фун~ии, обратной заданной функции? Сформулируйте правило ифференцирования обратной функции. Изобразите графики возраст щей, убы щей, невозрастающей и неубывающеи в промежутке функций.
[Ц, [1Ц 20. Приведите примеры бесконечно малых (б.м.) при х -+ а функций: а) одного порядка малости; б) более высокого порядка малости; в) первого порядка малости; г) несравнимых; д) эквивалентных. Сформулируйте свойства зквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функций. [Ц 21. Каков смысл символов „о малое" и „О большое" ? [Ц 22.
Запишите в виде степенной функции главную часть функции, бесконечно малой при х — ~ а. [Ц 23. Приведите примеры функций, графики которых имеют вертикальную, односторонние и двусторонние горизонтальные и наклонные асимптоты, [Ц 24. Каким услЬвиям удовлетворяет функция, дифференцируемая в полуинтервале [а, 6)? [1Ц 25. Убедитесь, что вычисление производной и дифференциала нетривиальной линейной комбинации функций одного действительного переменного является линейной операцией.
[П1, [ПЦ 26. В чем различие между простым и кратным нулями многочлена? Какие комплексные числа называют сопряженными? Каким значениям дискриминанта квадратного трехчлена соответствуют действительные и комплексно сопряженные нули? [Ц ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА"ЧЕНИЯ М и Ь вЂ” начало и окончание доказательства — окончание примера, замечания а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1.1 АС В, В ЗА — множество А включено в множество В (В включает А) 1-1.2 А С В, В у А — множество А включено в множество В или совпадает с ним 1-1.2 М вЂ” множество натуральных чисел 1-1.3 Š— множество целых чисел 1-1.3 Я вЂ” множество рациональных чисел 1-1.3 Š— множество действительных чисел 1-1.3 [а, 61 — отрезок с концами в точках а и 6 1-1.3 (а, 6) — интервал с концами в точках а и 6 1-1.3 ~а, Ь), (а, Ь~ — полуинтервалы с концами в точках а и Ь 1-1.3 ф — абсолютная величина (модуль) числа х 1-1.3 +оо, — оо — бесконечные точки расширенной (пополненной) числовой прямой 1-1.3 оо — объединение бесконечных точек +~м и -оо 1-1.3 ( — оо, +оо), (-оо, а), (Ь, +оо) — бесконечные интервалы 1-1.3 ( — оо, а], ~6, +оо) — бесконечные полуинтервалы 1-1.3 =Ь: ...
— существует такое т, что ... 1-1.5 Чж — для любого ю 1-1.5 у = Дж) — переменное у — функция переменного м 1-2.1 Да), У(х)~ — вивчеиие функции Дх) в точке а 1-2.1 11 у( у) — точка М плоскости с координатами х (абсцисса) и у (ордината) 1-2.5 а~ — сумма и слагаемых ай, ..., ай,, ..., а„1-2.6 В=1 и, — число Й принимает последовательно все значения из множества И от 1 до я включительно 1-2.6 ~ а — переменное х стремится к значению а 1-Т.1 Бп Дх) — предел функции ~(х) в точке а (при х-~ а) 1-7.1 у(а+О), ~(а — О) — пределы функции ~(х) в точке а справа (х — ~ а+ О) и слева (х -+ а — О) 1-7.2 Ьх и Ьу = ЬУ(х) — приращения аргумента х и функции у = = ~(х) 1-9и1 Дх) ° у(х) — функции Дх) и у(х) являются эквивалентх-+в ными при х-+а 1-10.2 ~(е), Пх)) — значение производной функции Дх) в точке а П-1.3 у'(х), у', Йу(йх, у' — производная функции у = ~(х) П-1.3 ~х и Оу= йч(х) — дифференциалы аргумента х и функции у= ~(х) в точке х 11-3.1 У"(а) и ~'"(а) — значения производных второго и третьего порядков функции ~(х) в точке а 11-4.1 У "~(а) — значение производной п-го порядка (и-й производной) функции ~(х) в точке а П-4.1 ~' И) — вектор-функция скалярного аргумента $ П-9.1 ~ 3 Й вЂ” орты (единичные векторы) ортонормированного базиса (а,,у, Ц П-9.1 Р и у — полярные координаты (радиус и угол) точки на плоскости 1-4.3 О(х) Их — неопределенный интеграл от функции У(х) 1.2 ь О(х) сЬ вЂ” определенный интеграл (Ньютона или Римана) от функции Дх) по отрезку ~а, Ц 5.1, 6.2 12 Основные обозначения Буквы латинского алфавита Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").
Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямб- 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1.1. Вводные замечания Введение понятия производной позволяет проводить исследование свойств заданной функции и решать многие прикладные задачи. Напомним, что понятие производной ~'(х) действительной функции У(х) одного действительного переменного х с геометрической точки зрения соответствует угловому коэффициенту касательной к графику этой функции.
Если функция задает зависимость пройденного пути от времени, то производная этой функции является скоростью движения. Но ясно, что имеет смысл и обратная задача — восстановление функции Г(х) по известной зависимости ее производной Р(х) = Дх) от аргумента х. Решение задачи восстановления функции по ее производной имеет большое прикладное значение. Геометрически решение этой задачи означает построение графика функции Р(х), для которой функция Дх) задает изменение углового коэффициента касательной к графику р = Г(х) при изменении х. В механике поставленная задача возникает при нахождении пройденного пути з(1) по известной зависимости скорости о(1) движения от времени 1.
Аналогична и задача нахождения скорости о(1) по заданному изменению ускорения а($). Измерение расхода жидкости через трубопровод, подводят щии ее к емкости, позволяет судить об изменении во времени количества жидкости в этой емкости. По зависимости от ~р~мени силы электрического тока, проходящего через конденсатор с известной емкостью, можно найти зависимость от времени заряда конденсатора. Измерение теплового потока, подводимого к телу с известной полной теплоемкостью, дает 14 1.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ возможность установить закон изменения во времени температуры этого тела. Общие методы решения рассматриваемой задачи, составляющие содержание интегрального исчисления функций одного переменного, опираются на основополагающие понятия перво- образной и неопределенного интеграаа. 1.2. Понятия первообразной и неопределенного интеграла Пусть функция Дх) определена в некотором промежутке Х (на отрезке, в конечном или бесконечном интервале или полуинтервале). Определение 1.1.
Функцию Г(х) называют тзервообразмойфункции Дх) в промежутке Х,если г(х) дифференцируема в этом промежутке и для любого х Е Х значение производной Р(х) совпадаетсозначением функции Дх), т.е. Г'(х) = Дх) Ух Е Х (или И'(х) = Дх)сЕх Чх Е Х). (1.1) Если Х = ~а, 61, то под дифференцируемостью функции в граничных точках х = а, х =6 отрезка понимают существование конечных правосторонней и левосторонней производных соответственно. Пример 1.1. Функция г(х) = хз является первообразной функции ~(х) = Р'(х) =Зх~ на всей числовой прямой Ж.
Для функции д(х) =1/~Д, определенной при х) О, первообразной будет функция С(х) = 2~Д (действительно, С'(х) = 1//х = = д(х)). Несмотря на то что функция С(х) определена при х > О, первообразной функции д(х) она является лишь в интервале (О, +со). Функция Н(х) = 1/х является первообразной функции Ь(х) = Н'(х) =-1/х2 в промежутках (-оо, О) и (О, +оо). Первообразной функции о(х) = соах при х Е Й будет функция У(х) = в1п х, так как Г(х) = (з1п х)' = сов х = о(х) Чх ЕЙ. ~.2. Понлтна первообраэной и неопределенного интеграла 15 Нетрудно заметить, что если функция ~(х) имеет перобразную, то эта первообразная не единственна. Так, для функции ~(х) = Зх помимо г'(х) = х первообразными будут ифУнкции х +1, х — 2 и вообще ха+С, где С вЂ” пРоизвольное постоянное число, поскольку (х + С)' = Зх = Дх).
Теорема 1.1. Дифференцируемые в промежутке Х функции Г(х) и Ф(х) будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции Дх) тогда и только тогда, когда разн~сть их значений для любого х Е Х постоянна, т.е. Чх Е Х Р(х) — Ф(х) = С = сопаФ. (1.2) ~ Если Г(х) — некоторая первообразная функции Дх) в промежутке Х, то, согласно определению 1.1, Р'(х) = ~(х) ~Ь е Х. Но тогда и функция Ф(х) = Г(х) — С (С = сопв1) также является первообразной функции ~(х) в этом промежутке, поскольку Ф'(х) = (Р(х) — С) = Р'(х) = У(х) Чх ~ Х.
Обозначим Р(х) — Ф(х) = ср(х) и найдем производную у'(х) = (Р(х) — Ф(х)) = Е'(х) — Ф'(х) = Дх) — Дх) = О Ух Е Х. Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа ~11), равенство у'(х) = О Чх Е Х означает, что у(х) = Р(х) — Ф(х) =С=сопа$ Ух Е Х. Итак, доказана эквивалентность (1.2) тому, что функции Р(х) и Ф(х) могут быть первообразными лишь одной и той же функции. ~ Из теоремы 1.1 следует, что для заданной функции Дх) достаточно найти в рассматриваемом промежутке какую-либо одну первообразную Р(х), чтобы знать все первообразные функции дх) в этом промежутке, поскольку они отличаются от Р(х) лишь постоянными слагаемыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
