IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть ряд (1.15) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд (1.16). Применив к ряду (1.16) критерий Коши сходимости ряда, получим утверждение Чс>0 ЗМ(с) ЕМ Чп>М(с) УтЕИ: ~ ~аь~(с. (1.17) Поскольку Я+И й+Тп (в частности, для комплексных чисел это неравенство вытекает из неравенства треугольника (1-4.3]), то из (1.17) следует утверждение критерия Коши сходимости для ряда (1.15). Значит, ряд (1.15) сходится. ~ь Согласно данной теореме, анализ рядов на сходимость целесообразно начинать с их анализа на абсолютную сходимость.
Причем, поскольку исследование рядов на абсолютную сходимость связано с изучением сходимости знакоположительных рядов (рядов из модулей их членов), признаками абсолютной сходимости действительных илн комплексных рядов являются признаки сходимости знакоположительных рядов, изложенные в предыдущих параграфах.
В соответствии с теоремой 1.10 любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Однако условие, что ряд не является абсолютно сходящимся, не означает, что этот ряд расходвшся. Определение 1.7. Действительный или комплексный ряд )', а„называют условно сходящимся, если он сходится, но в=1 СО не является абсолютно сходящимся, т.е. если ~; а„сходится, а в=1 ряд ~, ~а„~ расходится. в=1 73 1.8.
Абсолютная н усяовнвв сходнмостн Если числовой ряд является условно сходящимся, то говорят также, что имеет место условнал сходнмосяпь этого число„, рлаа. Замечание 1.6. Согласно теореме 1.9, комплексный ряд ап не является абсолютно сходящимся тогда и только тогда, п=1 когда не является абсолютно сходящимся хотя бы один из рядов ~; ап или ~; Д„где ап = Веап, 11„= 1тап, и Е 1Ч. Таким п=1 поп образом, в силу определения 1.7 и теоремы 1.1 комплексный ряд ~, ап является условно сходящимся тогда и только тогда, п=1 оо со когда оба действительных РЯда 2 ап и 2 11„сходлтсл и хотЯ п=1 п=1 бы один из этих рядов сходится условно. Пример 1.30.
Рассмотрим действительный ряд ( цп+1 п=1 Ряд из модулей членов этого ряда является гармоническим рядом и потому расходится. Таким образом, исходный ряд не является абсолютно сходящимся. Тем не менее ряд сходится. Для непосредственного доказательства сходимости и вычисления суммы данного ряда воспользуемся формулой Маклорена для функции 1п(1+ х), х Е [О, Ц: 3 .3 хп 1п(1+ х) = х - — + — —...
+ (-1) и+' — + Л (х), 2 3 и где остаточный член в форме Лагранжа для функции Дх) = = 1п(1+х) имеет вид ~(п-~-0(7 ) ( 1)п+2 ! и+1 ( +1)! (1+д*)"~~ ( +1)!' 1. ЧИСЛОВЫК РЯДЫ 74 Отметим, что при О < х < 1 Переходя к пределу при и -+ оо в последнем неравенстве 11-6.4], получаем 1пп ]В„(х)] = О, х Е [О, 1]. При х = 1 «н-~-~ 1п2 = 1 — — + — —... + + В„(« = Я„+ В„(«, 2 3 п где Б„— пя частпичная сумма ряда ~; ( — «"+~/и. Поскольку н=1 1пп ]В„(«] = О и, значит, 1пп В„(« = О, то 1пп Я„= 1п2. И-ФсО н-+00 н->со Следовательно, ( «н+1 = 1п2, а=1 и, в частности, рассматриваемый ряд сходится.
Наконец, поскольку он не является абсолютно сходящимся, исследуемый ряд является условно сходящимся. Замечание 1.7. Обратим особое внимание на удобство использования признаков Даламбера и Коши для исследования ряда на абсолютную сходимость. Действительно, если при использовании признака Даламбера или радикального признака Коши (см. замечания 1.3 и 1.5) для исследования ряда (1.16) на сходимость оказалось, что ]а. ~-~] >1 или Ц]ан] >1, п>пе, ]а„] т.е. ряд (1.16) расходится, то будет расходиться и ряд (1.15).
В этом случае не выполняется необходимый признак сходимости как для ряда (1.16), так и для ряда (1.15), поскольку 1пп а„= О с=ь !пп ]а„] = О. 75 1.в. Абсолютная и условввв сходимоств Если при исследовании ряда (1.15) на абсолютную сходимость с помощью предельного признаки Даламбера или предельного признака Коши получили, что 11ш > 1 или 1пп ~/Га„~ > 1, (а„+1~ в-ню ~а„~ н-+00 то ряд (1.1б) будет расходящимся вследствие невыполнения необходимого признака сходимости (см.
доказательства теорем 1.7 и 1.8). В этом случае в силу тех же соображений, которые изложены выше, будет расходиться и ряд (1.15). Пример 1.31. Исследуем на сходимость ряд ~~- 11(31-1)" в=1 Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость. Для выяснения сходимости ряда '„)" ~п(31-1)" /Ь" ~ воспользуемся предельным в=1 признаком Даламбера. Обозначая а„ = п(31'-1)"/Ь",получаем п~зь — Ц. и./ГО. (и+ 1)(31 — 1)"+' /а„/ = =, а„~.1 = Ьв.~.1 1 (п+ 1) !31 — Ц "+' (и+ 1) ЛО"+' ! .+1!— Следовательно, ~а„+1~ (и+1)10(в+1)/26" ЛО, и+1 ъ/ГО 1пп — = 1пп = — 1пп — = —.
-~ьс )а„! в-+ Ь '+1 и 10в/з 6 в-+ос п 6 Таким образом, если 1/ГО/6 < 1, т.е. Ь > 1/ГО, то ряд ~; )а„( в=1 сходится и, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Если же 1/ГО/Ь > 1, т.е. Ь < 1/ГО, то ряд ~ (а„! расходится и, и=1 следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся. Более того, исходный ряд в этом случае расходится в силу невыполнения необходимого признака сходимости ряда. 76 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ При 6 = ЛО предельный признак Даламбера использовать нельзя.
В этом случае )а„( = и, и поскольку )ап! = и не стремится к нулю при и + +со, то не выполняется необходимый признак сходимости как для ряда ~, ~ап~, так и для ряда ~ ап. п=1 п=1 Следовательно, в этом случае исходный ряд не является абсолютно сходящимся и не является сходящимся. ф Рассмотрим теперь некоторые свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Теорема 1.11 (1иеорелюа о иерес1иаиовке членов абсолютпмо сходящегося ряда).
Если ряд ~ ап сходится оо п=1 оо абсолютно, то любой ряд ,'1 Ьп, полученный из ряда ~„ап пеп=1 п=1 рестановкой (изменением порядка суммирования) его членов, тоже абсолютно сходится. Более того, он имеет ту же сумму, что и исходный ряд: ~ Ьп = ~, ап. п=1 п=1 ~ Пусть ряд ); ап сходится абсолютно и ~; ап = о и, кроме п=1 оо п=1 оо того, произвольный ряд ~ Ьп получен из исходного ряда ~ ап п=1 п=1 путем некоторой перестановки его членов.
Это означает, что члены бесконечной суммы (ряда) а1 + ао +... + а + ... сначала некоторым образом переставили, получив ряд ап, + ап, + ... + + ап„+..., в котором на первом месте в бесконечной сумме стоит некоторый член ап„ на втором месте — некоторый член ап, и т.д., а затем члены ряда переобозначили следующим образом: 61 = ап„61 = ап„Ь| = апю В результате такой операции никакой член исходного ряда не теряется, не повторяется, он просто, быть может, перемещается на какое-то другое место в бесконечной сумме.
Разумеется, в преобразованном ряде не появляются никакие новые, посторонние члены, не являющиеся членами исходного ряда. 1.В. Абсолсотиая и уояоаиая сходииости Необходимо доказать, что ряд 2 6л сходится и имеет ту л=1 же сумму Я. Поскольку ряд ~, )ал~ сходится, то для этого ряда л=й выполняется утверждение критерия Коши, т.е. и+ль ~й>0 зьс1(е)Е1Ч Чп>%1(с) ЧспЕЯ: ~ ~)ай)< —. (1.18) 2 й=л Так как 2 оп=Я, то, согласно опРеделеншо сУммы РЯДа, имеем л ос>0 зсся( ) ~~1 ьсп> Д~~( ): (Яо — ~~ < -. ййп Если ссе = шах(Ж1,Фз), то из (1.18) и (1.19) следует, что л+пь л )ай) < — и ~ ~~) ай — Я( < —, п > ссе, т Е И. й=л йпя Зафиксируем какой-нибудь номер по > Фе,тогда по+со ла ~) )ай)< — и ~~ ай — Я~< —, шЕМ.
2 2' й=ло ййп (1.19) (1.20) л ним разность ~ 2 Ьй — Я~ при п > Ф, используя (1.20): ьййп сь л ло ло 1' ь„- г~ = (1; ь, - 1;,) ь- (1; „— г) ~ с й=1 ййи йяп йли л ло ло л ло с (1;ь,-Е,)с(Е,ь-я(с)Еь„-1,п ь--. йпи йян йян й=1 йпц л Рассмотрим частичные суммы Ял сл '„~" 6й. Выберем натуййп я ральное число Ф так, чтобы в сумму Яу = 2 6й входили в ййп качестве слагаемых все члены ап ао, ..., а„. Если и > Ж, то сумма Ял также будет содержать все члены ам аз, ..., ало. Оце- 78 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Докажем, что первое слагаемое также меньше с/2. Сумма о ссо ~; Ьсс содержит сумму ~; ао и еще с» — с»е слагаемых, каждое из »»=1 й=1 которых (согласно условию теоремы) есть член аь с некоторым номером й > пд, т.е.
с»о 6| — ~~» аь = асс + аьс +... + асс„„, Е гДе йс >»»е, 1 = 1, с»-с»е. ПУсть число сп Е М таково, что по + т = = шах(Я1, ЙЗ,..., Й„„о~. ТогДа сс-ссо оо+о ~аь»+аоо+...+аь„„~~ < ~~» ~аь,) < ~~» ~аь), что в силу (1.20) меньше с/2. Отсюда с» ЕЬ.-Ы~ < п>Х »»=1 что доказывает равенство 1пп ~; Ьо = о'. Следовательно, ряд сс-»оо Ь ~, Ьь сходится и его сумма равна Я.
я=1 сю Покажем, что ряд 2 Ьо сходится абсолютно, т.е. сходится оо я=1 ряд 2, '~Ц. Из доказанного выше следует, что ряд, полученный /с=1 иэ знакоположительного сходящегося ряда (он автоматически является абсолютно сходящимся) путем перестановки его членов, также сходится и эти ряды имеют одинаковые суммы. Поскольку знакоположительный ряд 2 ~аь~ сходится, а ряд 00 »»=1 оо ~; )6|), очевидно, может быть получен иэ ряда 2 ' )аь~ путем пей=1 оо »с=1 рестановки его членов, то ряд ~', ~6ь~ тоже сходится (их суммы Ь=1 оо при этом равны). Следовательно, ряд 2 Ьь сходится абсолютно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
