IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 10
Текст из файла (страница 10)
° »»=1 80 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 1.9. Знакочередующиеся ряды Определение 1.8. Действительный ряд, у которого любые два соседних члена имеют противоположные знаки, называют энаночередующимс* рядом. Знакочередующийся ряд можно представить в виде ( — 1)п+ ап =а1 — аг+аз— Е и+1 п=1 ап>0, пЕ1Ч, если первый член ряда положителен, или в виде виям: 1) а1 ~ >а2 > ° ~ )Оп ~> оп+1 )~ 2) 1пп ап =О. и-+ ос Тогда этот знакочередующийся ряд сходится. ~ Рассмотрим частичную сумму ряда с номером 2п. Ее можно представить в виде огп = а1 — аг + аз — а4+...
+ агп-1 — агп— = (а1 — а2) + (аг — а4) + ... + (а2п-1 — а2п). ( — 1)"ап = -а1+аг — аз+... а„> О, и Е И, п=1 если пеРвый член РЯДа отРицателен. РЯДЫ ',1 ( — 1)п+1ап и оо п=1 ~', ( — 1)пап являются сходящимися или расходящимися одновреп=1 менно, поскольку первый ряд есть произведение второго на число — 1.
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только знакочеРеДУюшиесЯ РЯДЫ виДа );( — 1)п+1ап, ап > О. п=1 Для знакочередующихся рядов верен следующий достаточный признак сходимости. Теорема 1.13 (признан Лейбнигза). Пусть знакочереду- ющийсЯ РЯД 2 ( — 1)п+ ап, ап > О, и Е М, УДовлетвоРЯет Услоп=1 81 1.9. Зяакочередуюсциеся ряды Поскольку (агь ! — агь) > 0 для всех Й6?Ч, тофиг„>0. Крометого~ ~ге ~г(с-!) — агс-! аг > О, и Е ?ч, и последовательность (эг )„-! является неубывающей.
Представляя частичную сумму Бг„иначе, получаем, что последовательность (Яг„)~ ! ограничена сверху числом а!: сгс = а1 аг + аз а4 + ° ° ° + агс — ! ага — а! — (аг — аЗ) — (а4 — аэ) — — (ага г — аг„ !) — аг < а!, поскольку (аг» г — аг)с !) > О для всех Й=2, 3,..., и. В силу признака Вейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной последовательности [?-0.5] последовательность (Яг„~~ ! сходится. Пусть !пп Яг„= 5. Поскольку Яг„+! = Бгя+агя+! то 1пп Яг„+! = 1пп Яг„ + 1пп аг„е! = Я+ 0 = Я. е-+со с-чсо с-чсо В силу определения предела имеем 1пп Ягс=Я 4=» че>0 ЛЯ!=А!4(е) е?Ч Чи > Х4(е): )Ягс Я) < е, 1пп Яг +! = Я 4ссс» Че > 0 ЗИг = Хг(е) е ?Ч с-чсо '4и > А~г(е): Фгя+! — Я < е. Пусть М = шах(2А!!, 2Хг + Ц.
Ксли т > А! — четное число, то т = 2и, где и > Х!. Поэтому )Я вЂ” Я) = )'Яг„— Я) < е. Аналогично рассматривается случай нечетного т > А!. Таким образом, 1пп Я,„= Я, ряд 2 ( — 1)"+!а„сходится и имеет сумму Я. ! и-чсо ™ Следствие 1.3.
Еслизнакочередующийся ряд 2 ( — 1)"+ а„, а=! ас > О, и Е 1Ч, удовлетворяет условиям признака Лейбница, то его сумма 5 удовлетворяет неравенству 0 < Я < а!. < В ходе доказательства признака Лейбница было показано, что последовательность частичных сумм (Яг„~ является 82 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ неубывающей и ограничена снизу нулем, а сверху — числом а11 0 < Я2„< а1. Переходя в этом неравенстве к пределу, получаем, что предел последовательности (о2„)„1, равный о' и совпадающий с суммой ряда, удовлетворяет неравенству 0<о'<а1.
> Следствие 1.4. Если знакочередующвйся ряд '„> ',( — 1)"+1а„, О=1 а„ ) О, и Е М, удовлетворяет условиям признака Лейбница, то модуль суммы всякого его осптатпка В„= 2, '( — 1)"+ аь оценивается сверху числом а„+1. В=в+ 1 (1.21) (В„~ < а„+1, и Е Р1. ~ Если ряд ,'1 ( — 1) "+1а„удовлетворяет условиям признака О=1 Лейбница, то и любой его остаток с четным номером В2„= ( — 1)"+1аь удовлетворяет условиям признака Лейбница. я=2О~-1 В силу следствия 1.3 имеем оценку для суммы остатка с номером 2п: 0 < В2„< а2„+1, и, следовательно, ~В2„~ < азв+1.
ряд ( — 1) 2 ( — 1) "+1аь — — 2 ( — 1)ьаы противоположный осЬ=2н 1с=2О татку с нечетным номером, также удовлетворяет условиям признака Лейбница. В силу следствия 1.3 имеем 0 < — В2„1 < < азв, и, следовательно, ~В2„1~ < а2„. Таким образом, для любого номера и справедлива формула (1.21). 1 Вернемся к произвольным знанопеременным рядам. Учитывая соотношения между сходимостью, условной сходимостпью и абсолютной сходимостпью рядов (см. 1.8), отметим, что при исследовании знакопеременных рядов на сходимость следует придерживаться следующего плана.
1. Исследовать ряд на абсолютную сходимость. Если ряд ~а„~ сходится, то исследование завершается, поскольку в О=1 ОО этом случае ряд 2 а„сходится (абсолютно) (см. теорему 1.10). О=1 83 П 9. Зяекочередуюееиеея ряды Если ряд ~; ~а„~ расходится вследствие невыполнения необп=1 ходимого признака сходимостаи числового ряда ( 1нп ~а„~ ~0), 00 е-чее то 1пп о ~~ 0 и ряд 2 а„расходится, а исследование завершае +00 е=1 ется. Если ряд ,'> ~а„~ расходится, но необходимый признак охоч=1 димости выполнен ( 1пп ~а„~ = 0), то переходим к п.
2. 2. Исследовать ряд на условную сходимость. Если при этом ряд является знакочередующимся, то при условии монотонного стремления к нулю последовательности (1а„Ц можно использовать признак Лейбница. Пример 1.32. Исследуем на сходнмость знакочередующиеся ряды: а. Проверим сначала, сходится ли ряд абсолютно. Для этого составим ряд из модулей его членов: Этот ряд, как рлд Дирихле с параметром р = 1/2 < 1, расходится (см.
пример 1.18). Итак, исследуемый ряд не является абсолютно сходящимся. Но ~( — 1)"+~/~/й~ -+ 0 при и -+ оо, и необходимый признак сходимости ряда выполнен. Исследуем ряд на условную сходимость. Данный ряд имеет вид ~; (-1)я+~а„, я=1 где а„= 1/,/п, т.е. является знакочередующимся, причем последовательность (1/~/й)„ ~ монотонно стремится к нулю. Усло- 84 1.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ вия признака Лейбница выполнены. Согласно теореме 1.13, ряд ~; ( — 1)"+1/~/й сходится. Таким образом, исследуемый ряд а=1 является условно сходящимся. б. Выясним, сходится ли ряд абсолютно. Составим ряд из модулей его членов: а=1 Этот ряд расходится (см. пример 1.13), поэтому исследуемый ряд не является абсолютно сходящимся. Выясним, имеет ли место условная сходимость. Докажем, что для некоторого остатка исследуемого ряда выполняются условия признака Лейбница. Ряд имеет вид 00 00 1п2 и ( — 1)"+ а„= С( — 1)" 1а„, а„= — >О, а=1 п=1 о=2,3, значит, он является знакочередующимся, причем 11ш а„= И-+0О = Бш 1п2 и/и = О. Покажем, что при некотором выборе натурального числа пе последовательность (1пзп/и)'„„~ будет не- возрастающей.
Для этого рассмотрвм функцию ~р(х) = 1пзх/х, х > 1, и вычислим ее производную: 21пх(1/х)х — 1пзх 21пх — 1пэх 1пх(2 — 1пх) ~р'(х)— х2 х2 х2 Видно, что у'(х) ( О при х > е2. Поэтому функция ~р(х) убывает в промежутке (е2, +ос) [П], а также убывает последовательность (1п2 п/и)'„~ ~, начинающаяся с номера пе = 8 > е2. Согласно признаку Лейбница, ряд )', ( — 1)" 11пзп/и сходится, а=я и, следовательно, сходится ряд 2 ( — 1)" 11пзп/и. Итак, исслеп=1 дуемый ряд сходится условно. 85 1.10. Умяожевве рядов в.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Проверим, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда: п ~а, 1 . 1 1 11ш ( ~ = 11ш „= 1пп „= — фО. -+00(о+1) в-~ о (и+1)" -н (1+ ~)" е Необходимый признак сходимости ряда не выполнен, поэтому сО а Оэ л ряды ~; ( — ") и Я ( — — ") расходятся. г. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов: Воспользуемся радикальным признаком сходимости Коши: Следовательно, ряд 2 ( — ) сходится, и, значит, исследуе„,Ь+) 3 а мый ряд 2 ( — — ) также сходится, причем абсолютно. за+ 1 1.10. Умножение рядов В 1.3 для рядов были введены арифметические операции сложения рядов и умножения ряда на число.
Определим операцию умножения ряда на ряд. 86 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Рассмотрим двапроизвольныхчисловых ряда 2 а„и ~, Ь„. п=1 а=1 Составим бесконечную таблицу (матрицу), элементами которой являются всевозможные произведения а,„Ь| членов этих рядов (рис. 1.2). г апьЬ1 алзЬг атпЬз атпЬ4 а„,Ьь ~ г Рис. 1.2 Элементы таблицы можно различными способами эанумеровать, представив таким образом таблицу в виде некоторой последовательности 1е„)~ 1. Например, нумерацию можно начать с верхнего левого угла и далее продолжить по диагоналям, как показано стрелками на рис.
1.2: ез = агЬ1 е4 = азЬм ез = агЬг ,Ь, ег = а1Ь4, о1 = а1Ь1, Ь, ез азЬг е10 а4Ь1 ез = агЬЗ~ Занумеровав элементы таблицы (см. рис. 1.2) каким-либо способом (не обязательно продемонстрированным выше), получим некоторую числовую последовательность (е„)~ 1, любой член которой является произведением некоторых членов а и Ь| ря- а1Ь1 а1Ьг а1Ьз а1Ь4 г ~ г агЬ1 агЬг агЬз агЬ4 ~ г азЬ1 азЬг азЬз азЬ4 г а4Ь1 а4Ьг а4ЬЗ а4Ь4 ~ г а1Ьз агЬз азЬз г а4Ьу, 87 1.10.
Умножение рядов оо Оо дов ~„а„и ~', 6„. В соответствии с этой последовательностью о=1 о=1 (г„)„, составим ряд 2 е„. Всякий числовой ряд 2 е„, пан=1 о=1 лученный таким способом, называют произведением рядов ~" а„и 2 6„. о=1 а=1 Сходимость и сумма произведения рядов, вообще говоря, зависят от последовательности (е„)'~ 1, т.е. от способа нумерации элементов таблицы (см. рис. 1.2). Однако если какое-либо произведение рядов 2 а„и 2 Ь„является абсоаютпно сходяо=1 о=1 н1имся рядом и имеет сумму Я, то, согласно теореме 1.11, и любое другое произведение рядов ',> а„и ~„6„, использующее о=1 о=1 иную нумерацию слагаемых а,„Ьь, абсолютно сходится и имеет ту же сумму Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
