IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если ряд ~„иь схоя=1 дится, а действительная числовая последовательность (еь)„ монотонна и огРаничена,то РЯд 2 ,'иссесс сходитсЯ. я=1 м Во-первых, поскольку ряд 2,' иь сходится, то последователь- ь=1 ность его частичных сУмм Я„= 2,' исс огРаничена: /с=1 ЛМ >О ЧпЕ М: фи[= ~~1 1исс! < М. я=1 (1.32) Во-вторых, согласно теореме Вейерштрасса [1-6.5], монотонная и ограниченная последовательность действительных чисел (еь)~~ сходится, т.е. существует предел 1пп иь = е, где е — нея — сов которое конечное действительное число. Тогда, согласно критерию Коши сходимости числовой последовательности [1-6.5], имеем Че > О ЗФ~(е) Е 11 Чп > Ф~(е) Чт Е 1Ч: ]си+1 — ев+св[ < —, (1 33) Че > О Ус"сз(е) е 1Ч Уп > схз(е): ]овев — Яе[ <— и, в частности, М > Фг(е) Чте 1%: [Яв+веи+св — Яе] < —.
(1.34) 3 где М вЂ” константа из (1.32). Пусть сумма ряда 2; иь равна и я=1 Я, т.е. 1пп Я„= Я, где Я„= ~„иь. Тогда, учитывая, что в-+сО 1пп е„= е, получаем 1пп Я„ев = Яе. По определению предела в-соо и-+00 последовательности зто означает, что 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 106 Кроме того, 1пп о„оп+1 = ос, что эквивалентно утверждению п-+со '11Е > 0 НИЗ(Е) Е (Ч 1~и > МЗ(Е): ~Яппи+1 — Яи( < —. (1.35) Взяв Же = шах(Ф1, Лг газ)> получим, что для всех и > Ме и для всех пз Е М выполняются все неравенства (1.33)-(1.35). Кроме того, в силу монотонности последовательности (еь) все ненулевые разности еь — ил+1, Й б 1Ч, имеют один и тот же знак, следовательно, п+т-1 и+т-1 ~ей Ей+1~ ~ ~ (Ей Ой+1) ~ )оп+1 Еп+т~ ° 1=и+1 Тогда, используя преобразование Абеля и учитывая данное равенство и неравенства (1.32) — (1.35), для всех и > Же и для всех т Е 1Ч получаем п+т п+т-1 ! ~ ПЬЕМ ~ = ( ~~~ о~с(ой ей+1)+Оп+тои+т Ос+О™ Оопп+1( < й=и+1 й=и+1 п+т-1 <М ,'1 )оь — еь+1)+ф., оп, -Яе)+~а — Я„е„,1)< 'и=и+1 Е Е Е Е Е < М '(оп+1 — ии+т~ + — + — < М вЂ” + — + — = Е.
Условие критерия Коши сходимости ряда 2; иьеь выполнено, 1=1 поэтому ряд сходится. а. Пример 1.36. Докажем, что если невозрастающая после- ДОВатЕЛЬНОСтЬ (ап)п 1 СтРЕМИтСЯ К НУЛЮ, тО РЯД апв1ППа п=1 сходится при любом о Е Й. Д.1.2. Прививки оходимооти рядов 1О7 Если а = 2ят, гп Е Ж, то вш2ятп = О при всех и Е 1Ч, и ряд сходится. Пусть а ф 2ят, гп Е Ж. Докажем, что частичные суммы ряда Яика огРаничены в совокУпности. ПУсть Яо = 2 81пйа. /с=1 Гг=1 Тогда а а .. а а яп — Я„= яп — япа+ вш — яп2а+...
+ вш — 81ппа = 2 " 2 2 2 1г а За~ 1г За ба~ = - ~сов -- сов — ) + - ~сов — - сов — ) + .. 2~ 2 2) 2~ 2 2) 1 1 (2п — 1)а (2п+1)а~ ... + -11сов — сов 2~ 2 2 1 г сг (2п+1)а~ . (и+1)а . па = — ~СО8 — — СОВ 2~ 2 2 ) 2 2 ) =вш 81П вЂ”. Итак, а . (п+1)а . па 81П-. ~о — — 81П в!и —. 2 " 2 2 Отсюда, учитывая, что а ф 21гт, т Е М, и, следовательно, 81п(а/2) ф О, получаем (и+ 1)а, па яп вш 2 2 о а вш 2 1-"И Иногда для исследования знакопеременных рядов на сходимость применяют признаки Абеля — Дирихле и Абеля не Раздельно, а в комбинации.
Таким образом, для любой невозрастающей последовательности (ао), являющейся бесконечно малой при и — > оо, и любом а Е 2 ряд ,'>" а„яппа удовлетворяет условиям признака Абео=1 ля — Дирихле и потому сходится. 108 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Пример 1.37. Исследуем на сходимость ряд етппа агс$6 и. /й п=1 Из примера 1.36 следует, что ряд ~; — сходится при люаятта п=т бом а Е Ж, поскольку последовательность Ц,/и не возрастает и является бесконечно малой.
Возрастающая последовательность т',агс16 и)'„~ т стРемитсЯ к и/2 пРи и -+ оо. СлеДовательно, в силУ признака Абеля исследуемый ряд сходится при любом ст Е К. Вопросы и задачи 1.1. Напишите одну из возможных формул и-го члена ряда по указанным первым его членам: 3 4 5 6 1 1 1 1 1 а) -+-+ — + — +...; 6) -+-+ — + — + — +...; 4 9 16 25 ' 2 6 12 20 30 в)3-3+3-3+3-3+... 1.2.
Напишите 4 — 5 первых членов ряда по известной формуле для общего члена а„: Зп — 2 2+ ( — 1)" а) а„=; б) а„= тР+ 1' п 1.3. Докажите следующие равенства: 2 2 2 1 а) — + — +."+ — +... = —; 5 25 5" 2' 1 1 1 ( — 1)" 3 б) 1 — — + — — — +...+ + 3 9 27 3" т 4' 1 5 1 5 (-1)" ' 169 в) (5+ -) + (- — -) +... + ( — „+ „т ) + .. 3 4 4 5 (и+2)(п+3) 3' Вопросы и задача 109 1 1 1 1 ) 1 4 4.7 (Зп-2)(Зп+1) 3' 1 1 1 1 3.5 7 5 7 9 (2п+1)(2п+3)(2п+5) 60' 1 1 ~ 1 2 4пз+4п — 3 6' ~ Збпз+12п — 35 21' з) ~ — 1, л) ~~~ 1п(1 — — ) — — 1п2, 2п+ 1 1 а=2 1 1 3 1 и) п!(и+ 2) =1; м) т втп — соя — = - в1п2.
2" 2" 2 а=о о=1 1.4. Докажите расходимость следующих рядов: а) ~т, з; б) ~ (-1)" ~/0,01; в) ~~1 о=1 а=1 о=1 Ф"" ) 1.5. Пользуясь критерием Коши, докажите расходимость следующих рядов: и+1 1 1 1 1 1 1 1 1 т12 + 1.6. Докажите, что если сходятся действительные ряды ~, а2, и 2 Ььп, то схоДЯтсЯ РЯДЫ 2 ~а„Ь„~ и ',~, '(а„+Ь„)2. а=1 о=1 о=1 1.7. Пользуясь признаками сравнения, исследуйте на сходимость ряды: а) ~ /й-1 в) ~ 51 (7 +1)~- /Г(8 ~~е 61/й+ 8~Й22+ 1 б) Е. ° 3"+2+ 1пте(п2) ~ь|п2+8п+ атс18 п г) 22"+2+ пз+созтеп+1' ~ а (ЗтР+совп)(2п+З)4 По 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 1.8.
Используя интегральный признак Коши, исследуйте на сходимость знакоположительные ряды: 00 00 ! 00 тО 00 0=1 0=1 0=1 0=1 00 д) '.з и1пп(1п1пп)О О=З 1.9. Исследуйте на сходимость данные знакоположительные ряды, используя признаки сравнения: 5+2(-1)™1 ~~ зтп45и ~ агсзбп+ з~й 1 из+4 Г) ~~~ (1 — соз — ); д) ~~1 !и 0=1 0=1 00 з ~ 3" +,/и+1пи 0=1 0=1 0=1 0=1 1 5 /1+и з ~, 2п+1 к) ~~> — агсЗц —; л) С~( — ) — 1~; м) ~з!и Д Д' ~ и ~ 4пз+бп+3' 4гО(п1)з ~ (2тт+ 3)1 ~ 7 13 19 (бтт+1) (Зп)! ' ~.'(Зп+4)30' х 1.8.27..из и" (2тт)! 2.5 ... ° (Зтт+2), 1 х- п((2,7)"+1' х- (и!)з' ~ (и+2)! 6"' п((2и)! 4 1.3 ...
(2тт — 1) (Зп+2)!' 5"тт! 1.10. Исследуйте ряды на сходимость с помощью признака Даламбера: Вопросы и эадачи 1.11. Исследуйте на сходимость ряды с помощью радикального признака Коши: п 2п 1 п' г)~~( ),,17>0; д)~ ( — — ) п=1 п=2 1.12. Исследуйте ряды на абсолютную сходимость. Установите, какие из указанных рядов расходятся в связи с невыполнением необходимого признака сходимости: 00 п'еп яп 00 а) ~~~ ~ ) б) ~г — в1п —; в) ~~» ( — Ц"~~п7 "; п=1 п=1 п=1 г) ~~; д) ~~ Ц, г; е) ~п( — Цп ~(зп — 2) фп+ г х (3 — 21)п ЪП п=1 ( цп (2п+ ц( цп ( цп,г 1пп ' 1 п(о+2) ' (п+Цг/и+2 1/й' оо 1 г е) ~~1 (-цп(сов-) п=1 ( цп-1 2 22п (2+1/п)п' ~ За+1' п=1 п=1 ( цп оо 101е гя) г ~; З) ~ (-Цпягн —; (-Ц -1(бг'+Ц .У 7пг „+З п=1 оо г Зпг/й+ 1пп 1.13.
Исследуйте на абсолютную и 'условную сходимость следующие ряды: 112 ь ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ б) ~~-(-'); ', и=1 а) ( 1)в-1 в=1 ) ~ (-1)"+' 1.15. Докажите, что если последовательность (а„)„1 монотонно стремится к нулю при и — ~ оо, то при любом а ф 2ят, т Е Ж, ряд 2, а„совпа сходится. в=1 1.16. Исследуйте на сходимость ряд Е вшпа 1 сов —, або.
1п1п(п+ 2) и 1.17. Исследуйте на сходимость ряды: а) ~ з , б) ~ ~-~ сов(п+ я/4) т-, ( — 1)" агсс8 е" !пз(п-~-1) ' ~-' /п-~-1 1.18. Докажите, что ряд ~', иьеь сходится, если ряд ~', иь 00 в=1 в=1 сходится, а ряд 2 (еь — еь+1) сходится абсолютно. в=1 1.19. Вычислите с точностью до 0,001 суммы рядов: х 13... (2п — 1) т бп+1 ч 2" а) и!3" ' ~ пв 2" ' '~ и! 1пп' в=1 и=1 в=1 1.20. Оцените погрешность, возникающую при замене суммы ряда ~, а„суммой первых пяти его членов, если: и=1 1 ( 1)в+1 а) а„= —; б) а„= пап(' п3" 1.14. Установите сходимость рядов и вычислите их суммы с точностью до 0,01: Пз Воиросы и задачи 1.21. Определите, при каких значениях параметра о Е Й сходятся следующие ряды: 1 1 1 1 1 1 2" 3 4'* 5 6'" 7 1 1 1 1 1 б) 1+ — — — + — + — — — +...
Зо 2о 5о 7о 4о 1.22. Определите, при каких значениях параметра а Е К не выполняется необходимый признак сходимости ряда 1~5 /пзз+4Ж+3/ 1.23. Определите, при каких положительных значениях действительного параметра 6 сходится ряд Е оо 6 +п1о+пз+е п4п 4" + 1п~(п+ 1) + п12 1.24. Определите, при каких положительных значениях параметра а Е Ж сходится ряд ~ а„, если задан общий член а=1 ряда: а) 1п(1+ я1п(1/па)) п4+ 3 б)пфб; в)1п 1 + Фе(1/и ) и+ 1пзп ' пе — 7' 1+ агония(1/по+1) ' (ч/-+ Цз х г) агсв1п д) 1-сое —.
по + 3п+ 2' по 1.25. Определите, при каких значениях параметров а Е К и Д Е К сходится ряд Оо а=2 п1п'" и 1пд 1пп 1.26. Исследуйте на сходимость в зависимости от значений параметров або и 6 ей ряд ( — 1)" (Зп+ 1)! (7п+ 4)'"6" Е ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 114 1.27. Определите, при каких значениях параметра р е й сходится ряд 5 .... (Зп+б) Я;(., )1 1.28. Определите, при каких значениях параметра а Е И, а > О, сходится ряд з( З +4 .~~ 1( з+2)„+б 1.29. Определите, при каких значениях параметра а Е К сходится ряд Е Зп+ 51п1зп бтр+ 81п" 1пп 1.30. Определите, при каких значениях параметра д Е й ( «а+1 ряд ,'> 18 сходится: а) абсолютно; б) условно.
4тФ я=1 2. сЬУ'НКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В этой главе рассмотрены ряды и последовательности, членами которых являются дейсотвиотельные или комплексные функции, определенные на множестве Х действительных или комплексных чисел. Изучены некоторые функциональные свойства (непрерывность, дифференцируемость,интегрируемость) сумм таких рядов, возможность и методы разложения функций в ряды из степенных функций. 2.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов Пусть У = (и(х)), х Е Х, — некоторое множество действительных или комплексных функций и(х), определенных на множестве Х С К (Х С С). Тогда посяедоввтаеяьностпь элементпов множесптва У, т.е. всякое оптображение множества натуральных чисел тч в множество У, при котором каждому номеру п Е 1ч ставится в соответствие некоторая функция и„(х) Е У, называют функциональной последоватпельностпью (или последоватпельностпью функций) и обозначают (и„(х))~ ы х Е Х, или ит(х), иг(х), и„(х), х Е Х.
Множество Х при этом называют областпью определения функциональной последоватпельностпи (и„(х))'„» а функции и„(х) е У вЂ” членами (злементпами) функциональной последовательностпи (и„(х))„ При фиксированном хв е Х всякой функциональной последовательности (и„(х))„'ь ы х Е Х, соответствУет числоваЯ (действительная или комплексная) последовательность (и„(хв))'„ы элементами которой являются значения и„(хв) функций и„(х) в точке хв 116 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Определение 2.1. Заданную на множестве Х С К (Х с С) функциональную последоватпельностпь (и„(х))„1 называют сходлщеисл в тпочке хе Е Х, если сходится числовая последовательность (и„(хз))„г В противном случае, функциональную последоватпельностпь (и„(хЦ„1 называют расходлщейсл в тпочке хе. Если последовательность (и„(хЦ„', х е Х, сходится в каждой точке некоторого множества М С Х, то эту функциональную последовательностпь называют сходящейся на множестве М.
Множество Хз С Х всех точек х Е Х, в которых последовательность (и„(хЦ„» определенная на Х, сходится, называют областпью сходимостпи функциональной последоватпельностпи (и„(хЦ'~ Р Если функциональная последовательность (и (хЦ„'ь 1 сходится на множестве М С Х, то всякой точке х е М можно поставить в соответствие предел числовой последовательности значений функций и„(х) в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
