IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Проиллюстрируем сказанное следующими примерами. Пример 2.7. Рассмотрим функциональный ряд ~~) — ( ) хЕК, яф-1. Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость, используя предельный признак Даламбера: )/„+~(х)), и ~ х — 1 ~ х — 1 1пп = 1пп !У (*Н и+1~я+1~ ~я+1~ Решим неравенство 1(х — 1)/(я+ 1)( < 1, выполняя следующие эквивалентные его преобразования: )х — Ц < )х+ Ц; (х — 1) < (х+1)~; я > О. Таким образом, неравенство )(я — 1)/(х+ 1)~ > 1 равносильно неравенству х < О. Значит, исследуемый функциональный ряд сходится абсолютно при х > О и расходится при х < О.

Если х =О, то получаем знакенередуищийся рлд 2 ( — 1)"/и, сходян=1 щийся условно в соответствии с признаком Лейбница. Итак, рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно при х > О и условно при т = О, а при х < О ряд расходится. 2.к Сходимость функционлльиых ноеледоввтелъностей и рядов 125 Пример 2.8. Найдем область сходимости функционального ряда ~~) пе"*, х Е К. и=1 При любом значении х Е Й данный ряд является знаноположительным числоеым рядом, поскольку Ях) = пени > 0 для всех х ЕЖ.

Воспользуемся предельным признаком Коши. Поскольку 1пп ~/пе"* = е*, рассматриваемый функциональный ряд схои-+сю дится при е* < 1, т.е. при х < О, и расходится при е* > 1, т.е. при х > О. В точке х = О функциональный ряд принимает вид ~; п и, очевидно, расходится. и=1 Таким образом, исследуемый функциональный ряд сходится при х < О и расходится при х > О. Пример 2.9. Исследуем на абсолютную сходимость функциональный комплексный ряд Используя предельный признак Коши, получаем Следовательно, функциональный ряд сходится абсолютно при всех г е С.

Пример 2.10. Исследуем на абсолютную сходимость функциональный комплексный ряд 00 ге С. Л-» п(л+ 1)и 126 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Для этого воспользуемся предельным признаком Даламбера. Пусть /п(л) = 1/(п(я+1)"), п 611. Тогда имеем /„+,(л) ~, п(л+ 1)" 1пп = 1пп -- /-() 1 - -( +1П +1)""~ 1 . и 1 1пп — = 1г+ Ц и-+поп+1 1г+ Ц Решая неравенство 1/~л+ Ц < 1, заключаем, что функциональный ряд сходится абсолютно при 1г+ Ц > 1, т.е. вне замкнутого круга радиуса 1 с центром в точке -1.

При ~г+ Ц < < 1, т.е. в открытом круге радиуса 1 с центром в точке — 1, функциональный ряд расходится. Рассмотрим точки, принадлежащие окружности ~г+ Ц = 1. В любой такой точке ряд 1/(п(я+ 1)п) не является абсолютно сходящимся, поскольп=1 ку ряд, составленный из модулей его членов, имеет вид 1 1 1 (п(з+ 1)п( ~ п~г+ Цп ~ п' т,е. является гармоническим (расходящимся) рядом. Следовательно, областью абсолютной сходимости функционального ряда ~, 1/(п(я+ 1)п) является множество комплексных чисел г, пем удовлетворяющих неравенству 1л + Ц > 1.

Отметим, что среди точек границы этой области (окружности 1г+ Ц = 1 в комплексной плоскости С) есть такие, в которых данный функциональный ряд расходится, например г = 6: (ряд расходится, так как является гармоническим рядом), и есть точки, в которых данный ряд сходится (условно), напри- 2.2. Равиомериав сходиыость фуикяиоиалъиых рядов 127 мер г=-2: (П(в + 1)и ~х=-2) ~~-~ ~П( — 1)п ~Х-~ П (ряд сходится в соответствии с признаком Лейбница). 2.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов Используя понятие поточечной сходимости $уннииональных последовательностей и рядов на множестве, нельзя развить в полной мере теорию функциональных последовательностей и рядов, поскольку при поточечном предельном переходе не сохраняется даже непрерывность функций, не говоря уже о дифференцируемости.

Примером может служить функциональная последовательность (и„(х)) с общим членом и„(х) = х", х Е [О, Ц. Ее предельная функция 1пп и„(х) = и(х) = ~ Г О, х б [О, 1); 11, х= 1, является разрывной на [О, Ц, хотя все функции и„(х) непрерывны на [О, Ц. Пусть функциональная последовательность (и„(х)) сходится на множестве Х к функции и(х), т.е. в каждой точке х е Х числовая последовательность (и„(х)) сходится к пределу и(х).

Согласно (2.1), зто означает, что для каждого х Е Х и произвольного числа е > 0 найдется такой номер Д7(х,е), что для любого и > Ф(х, е) верно неравенство [и„(х) — и(х) [ < е. Можно показать, что достаточным условием непрерывности предела последовательности непрерывных функций является существование номера Л(е), общего для всех х Е Х, т.е. такого, что при п > Ф(е) неравенство ~и„(х) — и(х)~ < е выполняется для всех х Е Х. Очевидно, что для обеспечения выполнения указанного условия в качестве Л(е) необходимо выбирать наибольший 128 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ из номеров Ф(х,а), где х Е Х. Если множество Х состоит из бесконечного числа точек, то такой наибольший номер может существовать, а может и не существовать. Приведем соответствующие примеры.

Рассмотрим функциональную последовательность (и„(х)), определенную на множестве Х = [О, 1] следующим образом: х пп(х) = — ~ и Е М~ (см. пример 2.1). Предельной функцией втой последовательности на множестве Х является функция и(х) = О. Для каждой точки х Е [О, 1] и любого числа е > 0 выберем номер Д1(х,е), используя формулу Д1(х,е) = [х/е] ([х/е] — целая часть числа х/е).

Тогда для любого натурального числа п, такого, что п > г1(х,е) + 1 = [х/е] + 1 > х/е, справедливо неравенство х/и < е, или [и„(х) — и(х)] < е. Отметим, что выбранный номер Ж(х,е) + 1 является наименьшим среди всех номеров, начиная с которых выполняется неравенство [и„(х) — п(х)[ < е. Если положить Ж(с) = шах [х/е] = [1/е], то для любого и > г1(е) + 1 > хе[0, Ц > Ф(х,е)+1 > х/е неравенство х/и < с, или [и„(х) — и(х)[ < с, будет выполняться одновременно для всех х Е [О, 1].

Итак, для данной последовательности удалось подобрать номер М = [1/с], зависящий только от е и общий для всех точек множества Х. Рассмотрим теперь ту же функциональную последовательность (и„(х)), и„(х) = х/и, п Е М, но определенную на множестве Х = [О, +оо). Для каждого фиксированного х Е [О, +со) имеем !пп (х/и) = х 1пп (1/и) = О, т.е.

предельная функция сноп-~со 7В-+СО ва является нулевой: и(х) = О, х е [О, +со). Как и в предыдущем случае, для любых е > 0 и х Е [О, +со) положим г1(х,е) = [х/е]. Тогда для любого п > г1(х, е) верно неравенство ]и„(х) — и(х)] < < с. Однако для всякого е > 0 подобрать номер г1(е), общий для всех точек х Е [О, +со), уже нельзя. Действительно, если бы для некоторого числа 0 < с < 1 нашелся такой номер г1(е), что при всех и > г1(е) неравенство [и„(х) — и(х)] < е, или х/и < с, 2.2. Рввномернвя сходнмоеть функннонахьных рядов 129 выполнялось бы для всех х Е (О, +со) одновременно, то это неравенство выполнялось бы и для х = и > М(е): (х/и) ~ = 1 < е. Однако полученное неравенство е > 1 противоречит первоначальному неравенству 0 < е < 1.

Таким образом, для данной последовательности нельзя подобрать номер Ж(е), зависящий только от е и общий для всех точек множества Х. Определение 2.7. Фуннциональнуи последовательность (и„(х)) называют равномерно сход*и4ейсл к функции и(х) на множестве Х, если для любого е > 0 найдется такой номер М(е) е 1ч, что для всех и > Ф(е) и х е Х выполняется не- равенство ~ия(х) — и(х)~ < е. В этом случае функцию и(х) называют равномерным пределом 4уннциональной последовательности (и„(х)) на множестве Х, а также говорят, что сходимость Фуннциональной последовательности (и„(х)) является равномерной на множестве Х. Равномерную на множестве Х сходимость последовательности (и„(х)) к функции и(х) обозначают следующим образом: и„(х) = Х и(х), и -+ со, Х или и„(х) ==й и(х). Х (и„(х) =х и(х)) =; (и„(х) + и(х), х Е Х).

Соответственно, запись и„(х) -ха и(х) означает, что последо- Х вательность (и„(х)) не является равномерно сходящейся на множестве Х к функции и(х). Поточечная сходимость функциональной последовательности — более широкое понятие по сравнению с понятием равномерной сходимости. А именно, непосредственно из определения равномерной сходимости следует, что если функциональная последовательность (и„(х) ) сходится к функции и(х) равномерно на множестве Х, то эта последовательность сходится к и(х) и поточечно на Х: 1ЗО 2.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: наличие по- точечной сходимости функциональной последовательности на множестве Х не гарантирует ее равномерную сходимость на этом множестве. Если функциональная последовательность (и„(х)) сходится к функции и(х) поточечно на множестве Х, но не является равномерно сходящейся на этом множестве, то говорят, что (руннциональнал последовательность (и„(х)) сходи|пел к и(х) неравномерно на множестве Х или что имеет место неравномернал сходимость (руннциона ььной последовательности (и„(х)) к функции и(х) на множестве Х.

Характеристики

Список файлов книги