IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теорема 1.14 (гпеорема Хоши). Если ряды ~; а„и ~; Ь„ о=1 о=1 сходятся абсолютно и имеют суммы А и В соответственно, то любое произведение этих рядов сходится абсолютно и имеет сумму АВ. ~ Пусть ~" е„— произведение рядов 2 а„и ~; 6„. Для о=1 о=1 о=1 любого натурального числа И рассмотрим первые М членов этого ряда: 01 = а,„, Ьв„еэ = а,н,Ьв„..., 0,„= ао, Ьь .
Полагая (1.22) Согласно условию теоремы, ряды ,'> )а,в( и 2 ~6|~ сходятся, 1, ю=1 в=1 значит, последовательности их часп1ичных сумм ограничены. Учитывая неравенство (1.22), видим, что последовательность 88 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ частичных сумм знакоположишельного ряда ~', ~о„~ ограниче- п=1 на, и, следовательно, ряд сходится (см. 1.4). Таким образом, пРоизведение '„> оп РЯдов ~, ап и 2' Ьп ЯвлЯетсЯ абсолютно п=1 п=1 сходящимся рядом. Обозначим его сумму о. В силу теоремы 1.11 любое другое произведение рядов ~ оп 00 п=1 и 2 Ь„также будет абсолютно сходящимся к числу о' рядом.
п=1 00 00 Рассмотрим произведение рядов ~, ап и ~; Ьп, составлен- п=1 п=1 ное следующим образом. Располагая всевозможные произведения а,пЬь в бесконечной таблице, занумеруем их, начиная с произведения а161, в соответствии с указанными в таблице направлениями стрелок (рис. 1.3). В результате такой нумерации элементов таблицы получаем следующее произведение рядов апи 2 Ьп: п=1 п=1 оп =а161+а162+азЬг+аз61+а16з+озЬз+...
(1.23) п=1 Рис. 1,3 89 1.10. Умноиенне рядов Составим из этого ряда новый ряд, расставив скобки в ряде (1.23) следующим образом: а161 + (а16г + азЬз + аз Ь1) + +(а1Ьз+азЬз+азЬз+азЬз+азЬ1)+ " (124) 11 (Ь,+Ь,+...+6„) =В. 1пп (а1 + аз +... + а„) = А, Следовательно, 8= 11ш 8„= 1пп (а1+аз+... +а„)(61+ Ьз+...
+6„) = = 1пп (а1+ аз +... + а„) 11ш (61 + Ьз +... + Ь„) = АВ. Если ряды 2 а„и 2 Ь„не являются абсолютно сходящие=1 о=1 мися, то сходимость и сумма произведения этих рядов зависят от способа нумерации членов а,вЬь, составляющих это произведение. На практике часто используют правило умножения рядов, которое заключается в том, что составляют ряд, членами которого являются суммы элементов таблицы на рис.
1.2, расположенных по ее диагоналям: с„= а161 + (а16з + азЬ1 ) + (а16з + азЬз + а16з) + " в=1 (порядок членов исходного ряда при этом не изменяется). Очевидно, что общий член 8„последовательности частичных сумм ряда (1.24) равен произведению (а1+аз+...+а„) (61+Ьз+...+6„). Кроме того, последовательность (8„) является подпоследовательностью частичных сумм сходящегося к числу 8 ряда ~ е„ о=1 и, следовательно, также сходится к 8: 1пп 8„ = 8.
Однако, оо ео о-~оо поскольку ряды 2 а„и 2 Ь„имеют суммы, равные А и В о=1 о=1 соответственно, имеем 90 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Построенный таким образом ряд ~; сн с общим членом с„= и=1 = а1Ь„+ агЬ„1 + + а„61 называют произведением рядов 2 а„и 2 Ь„е Й1орлее Коши. Для произведения рядов в и=1 н=1 форме Коши справедлива следующая теорема. Теорема 1.15 (епеорема Мерпьенса)'. Если из двух сходящихся рядов ~; а„и ',1 Ь„хотя бы один сходится абсолютно, и=1 н=1 то их произведение в форме Коши сходится и имеет сумму, равную произведению сумм этих рядов. со Пример 1.33. Рассмотрим произведение рядов ~; — и сс ( 1)н-1 н=1 в форме Коши.
Первый ряд знакоположительный н=1 и имеет сумму, равную 2 (см. пример 1.3). Второй ряд условно сходипьсл, и его сумма равна 1п2 (см. пример 1.30). Согласно теореме Мертенса, произведение этих рядов в форме Коши сходится и имеет сумму 2)п2: = 21п2. сс н ( 1)ь и=1 в=1 1.11. Оценки сумм рядов Часто, когда вычислить точную сумму ряда не представляется возможным, ограничиваются приближенным значением этой суммы. Для приближенного вычисления суммы о' произвольного ряда ~; Ьь с заданной точностью Ь > 0 находят его 1=1 часшинную сулему Я„с таким номером и, для которого модуль 'Смс Ильин В.А., Садовничий В.А,, Сендов Бл.Х.
1.11. Олеюсв сумм рядов суммы и-го оситаитка ряда не превьппает заданной точности: я=~ ~ь„=я„, ГДЕ И Е 1Ч таКОВО, Чта ф — Я„) = )Втт~ < б. ДЛЯ ЭКОНОМИИ вычислений номер и при этом стараются выбрать минимально возможным. Наиболее просто оцениваются суммы знакочередутотаихся рядов. В самом деле, если знакочередующийся ряд ~ (-1) "+1а„, в=1 а„) О, удовлетворяет условиям признака Лейбнитта, то, согласно следствию 1.4, абсолютная погрешность суммы ряда, вычисленной приближенно с помощью некоторой и-й частичной суммы этого ряда, не превьппает модуля первого отброшенного члена ряда: ф — Я„1 = Ц < а„+1.
Поэтому для обеспечения заданной точности Ю оценки Я- Я„ ДОСтатОЧНО НайтИ таКОй НОМЕР И, Чта ав+1 < б. Пример 1.34. Докажем, что ряд т цв Еиз+1 о=1 сходится, и вычислим приближенное значение его суммы с точностью до 0,01. Данный рлд сходвится абсолтотино, поскольку сходиится ряд ~; ~а„~ = ~ 1/(тР+1) из модулей его членов. Это следует из в=1 о=1 предельного признака сравненвл, в котором в качестве ряда сравнения нужно взять сходящийся ряд Дироле ~', 1/из. в=1 Вычислим теперь сумму исходного ряда с заданной точностью. Для этого необходимо найти такой наименьший номер 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ п е 1Ч, при котором для исследуемого ряда ) (-Ц" /(пз+Ц буи=1 дет выполняться неравенство !Я вЂ” Я„~ < 0,01, 00 в где о' = ~ (-ц"/(йз+ц, Я„= 2 (-ц~/(яз+ц.
Поскольку ь=1 й=1 исследуемый ряд является знакочередующимсяи удовлетворяет условиям признака Лейбница (1/(пз+ц стремится к нулю при и -~ оо, монотонно убывая), то 1 ~Я вЂ” Я„~ = Щ < а„+1 = („+ Цз+1' Следовательно, достаточно найти минимальное число п Е М, для которого выполняется неравенство 1 („» Цз+1 < 0,01. Преобразуем зто неравенство: (и + цз + 1 > 100, п + 1 > ~Ф999, и > Г99 9— 1 = 3,62... В результате находим, что и =4. Таким образом, ( ца — я4 = — — + — — — + — - -0,41 пз+1 2 9 28 б5 и=1 с точностью до 0,01. уР Ксли сходящийся ряд не удовлетворяет условиям признака Лейбница, то модуль суммы В его и-го остатка, вообще говоря, уже нельзя оценивать по формуле (1.2Ц. Для оценки ~В„~ при этом используют другие приемы.
Например, если ряд энакоположитиелькый, то его остаток оценивают сверху рядом, сумму которого можно вычислить. 1.11. Оценки сумм рядов Пример 1.35. Оценим погрешность, возникающую при замене суммы ряда оэ Е,.„,(,„,ц суммой его первых и членов. Вычислим сумму рида с точностью до 0,001. Рассмотрим сумму В„остатка с номером и: 1 1 5в!с!(2!с+1) 5"+1(п+1)!(2п+3) тт=о+1 1 1 5"+г(п+ 2) т (2п+ 5) 5"+з(п+ 3) ! (2п+ 7) 1 ( 2п+3 5"+1(п+ 1)! (2п+ 3) ~ 5(п+ 2)(2п+ 5) 2п+ 3 + 51(п-1-2ип+ ЗЦ2п+ 7) / + 1 ( ~ 2п+3 5е+1(п+1)! (2п+3) 1, ~' 5тт(п+ 2) . (и-Нс+1) (2(п+й)+3) Поскольку 2п+ 3 1 2(п+И) + 3 ' (и+ 2) (и+ 3)...
(и+ Й+ 1) (п + 2)" ' то имеем оценку В < 1 1 5"+1(п+ 1)! (2п+ 3) в~о (5(п+ 2))" 1 1 1 5п+10 5о+1(п+1) ! (2п+3) 1 1 5" +1(п+1) ! (2п+3) 5п+9 ба+10 (см. пример 1.4, значение суммы геометлричесттого рядо при д = 1/(5п+10) ). 94 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Используя полученную оценку, определяем, сколько членов ряда необходимо просуммировать, чтобы обеспечить заданную точность: 1 10 2 и=0, Во < — — = — -0,074 (> 0,001); 53 9 27 1 15 3 о=1, Л1 < . — = — =0,004 (>0,001); и = 2, Вз <, — = — - 0)0002 (< 0,001).
1 20 2 Следовательно, для достижения заданной точности достаточно просуммировать три члена ряда (и = 2), что дает ~ 5"и!(2и+1) 5 3 5з ° 2! ° 5 Дополнение 1.1. Доказательство теоремы Римана об условно сходящихся рядах Докажем теорему 1.12 (теорему Римана). Пусть ~; о„— н=1 условно сходящийся ряд. Рассмотрим последовательность неотрицательных чяенов ряда (перенумеруем эти члены, не нарушая их естественного порядка следования, и обозначим полученную последовательность (и;); ') и последовательность модулей отрицательных его членов (их также перенумеруем, не нарушая их естественного порядка следования, и обозначим полученную последовательность (и;);~ ).
Покажем, что обе эти последовательности бесконечны. Действительно, обе последовательности одновременно конечными, очевидно, быть не могут. Если только одна последовательность, например последовательность неотрицательных членов ряда ~, а„, оказалась о=1 95 Д.1.1. Докыатаеьотво теоремы Римава конечной, то, отбрасывая все первые члены этого ряда вплоть до последнего неотрицательного, получаем знакопостоянный (знакоотрииательныб) ряд, который сходится и расходится одновременно с исходным рядом (см. свойства рядов в 1.3), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
