IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Признак Дааамбера Однако для сходящегося ряда ,"1 , '1/п1 (это ряд Дирихле с о=1 показателем степени р = 2 > 1) соответствующий предел последовательности отношений а„+1/а„также равен единице: 1 1 а +1 . пя ао+1 = а„= — =~ 1пп — = 1пп = 1. и+ (П11)21 п 12 а+ 1 + (П11)2 Замечание 1.3. Анализируя доказательство теоремы 1.7, замечаем, что выводы о сходимости и расходимости ряда (1.10) были сделаны из условий (1.11) и (1.12). Это позволяет сформулировать более общий по сравнению с предельным признаком Даламбера достаточный признак сходимости знакоположительных рядов, который обычно называют признано,н Даламбера: 1) если существует такое число д е (О, 1), что для любого натурального числа и > пе верно неравенство а„.1.1/а„< д, то ряд (1.10) сходится; 2) если для любого натурального числа и > пе верно неравенство а„1.1/а„>1, то ряд (1.10) расходится.
Пример 1.24. Исследуем на сходимость ряд с положительными членами 2 5.8 ... (Зп — 1) х- 1611 ... (5п — 4) Используя предельный признак Даламбера, видим, что исходный ряд сходится: 2 . 5. 8.... (Зп — 1) 1 б 11 ... (5п — 4)' 2 5 8 ... (Зп — 1) (Зп+2) Зп+2 1 6 11 ... (5п — 4) (5п+1) 5п+1' а 11, Зп+2 3 1пп — = 1пп = — < 1. о-+оо ао а->оо бп+ 1 5 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Пример 1.26. Исследуем на сходимость ряд с положительными членами (Зп)1 С (и!) 3 4зп ' и=1 Напомним, что по определению п1 = 1 2 3 ...
п. Применим предельный признак Даламбера: (Зп)! (п1) 3 4зп ' (3(п+ Ц)1 (Зп+ 3)1 ((11-1-ц!) 43(и+1) (111(п.1 ц) 43и+3 (Зп)1(Зп+Ц(Зп+2)(Зп+3) ап(Зп+Ц(За+2)(Зп+3) (и')3(п+Цз4зи.б4 64(п+Цз ап 1.1 . (Зп+ Ц(Зп+ 2ИЗп+ 3) 27пз 27 и-+оо аи и-+оо 64(п+ цз п-+оо 64пЗ 64 В силу теоремы 1.7 заключаем, что исследуемый ряд сходится.
Пример 1.26. Исследуем на сходимость знакоположительный ряд п1 ап — а > О. и п=1 Очевидно, что при а = О ряд сходится. Пусть а ) О. Тогда получаем ряд с положительными членами, для анализа которого воспользуемся предельным признаком Даламбера. Имеем п1ап (п+ Ц)ап+ ап оп+1 = оп+1 (П+ ц!ап+1Пп аПп П 1 п а (П ! Цп(11 1 1)П! и (11 Цп 1 1 1! ( 1)и' 65 1.б.
Признак Даламбера Известно, что 1пп (1+ 1/и) = е (второй замечательный и-+оо предел [1-6.6)). Учитывая это, получаем аиа1 а а 1пп — = 1пп и->оо аи и-+оо (1+ 1)и е' Тогда из теоремы 1.7 следует, что если а < е, то исходный ряд сходится; если же а ) е, то ряд расходится. Если а = е, то 1пп а„+1/аи = 1 и предельным признаком Даламбера нельзя воспользоваться.
Исследуем этот случай отдельно. Известно, что последовательность [(1+1/и)") монотонно возрастает [1-6.6]. Следовательно, и (1+ — ) < е, и е 1Ч. Поэтому при а = е имеем пи+1 Е аи (1+ 1) Согласно признаку Даламбера (см. замечание 1.3), исходный ряд при а = е расходится. Итак, приходим к следующему утверждению. Из примеров 1.24-1.26 ясно, что предельный признак Даламбера особенно эффективно можно применять для исследования на сходимость рядов с общим членом, представимым в виде дроби, числитель и знаменатель которой являются произведениями и первых членов некоторых последовательностей. 66 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 1.7. Радикальный признак Коши Важным признаком сходимоспьи знакопояожитеяьных рядов является предельный радикальный признак Коши.
Теорема 1.8 (предельный радикальный признак Ко1ии). Пусть для знакоположительного ряда 2 а„, а„> О, и Е 1Ч, о=1 существует (конечный или бесконечный) предел 11ш фа„= о. Тогда справедливы следующие утверждения: а) если о < 1, то ряд 2 а„сходящийся; о=1 оо б) если о > 1 или о =+оо, то ряд 2 а„расходящийся.
о=1 м а. Пусть 1пп г/а„=о < 1. Число т = (о+1)/2 удовлетворяет о->со неравенству о < т < 1. Поэтому 1пп (фао о— т) = о — т < О. Из свойств сходящихся последовательностей ]1-6.4] следует, что ~п0~1Ч ~~п) ~по.,"/ао о(~т<1. (1.13) Отсюда а„< т" для любого и > пв. Геометрический ряд ~; т" о=1 сходится, так как О < т < 1. Поэтому, согласно признаку сравнения, ряд 2 а„также сходится. о=1 б. Пусть 1пп фао = о, причем о > 1 или о=+ос. Если о ф +со, то положим т = (о+ 1)/2, а если о = +со, то в качестве т возьмем любое число, большее единицы. Тогда 1 < т < о и 1пп (фа — т) = в, где в = о — т > О прн о ф+оо, или в =+со о-+оо при о =+со.
В силу свойств последовательностей, имеющих положительный предел (конечный или бесконечный) [1-6], заключаем, что Зпо Е 1Ч 'оп > по. ~/а„) т > 1. (1.14) 67 1.7. Рпдикплъкый признак Коши Поэтому а„>1, и)по =о 1пп а„>1 л — ~ос при условии, что этот предел существует. '1 аким образом, в любом случае (существует предел последовательности а„ или нет) не выполнен иеобходимыб признак сходимосши ряда. Следовательно, ряд 2 а„расходится. ь л=1 Замечание 1.4. Так же как и в случае предельного признака Даламбера, если 1пп ф~ =1, ~ 1/пз.
Первый ряд — гармонический, он расходится; атал=1 рой — ряд Дирихле с параметром р = 2, он сходится. Однако для этих рядов -Г- л-~ о 'у и 1пп /й л-+ос -Г 11ш 1' — = „=1. -+ о Ч пз 1пп 1Й' При решении задач с использованием предельного радикального признака Коши полезно помнить, что 11ш Яаасо1, скат К. л-+оо Действительно, 1пп чп~а = 1пп па' = 1пп е — 1ппа/л л-+со л — ьоо л-+оо а1пл а1пп 1пп— л О = 1пп е и спел-+' =е =1. л-+оо то предельный радикальный признак Коши использовать нельзя, т.е. ряд ~, а„, а„> О, может оказаться как сходящимся, л=1 так и расходящимся.
Рассмотрим, например, ряды 2 1/и и л=1 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Замечание 1.5. Аналшируя доказательство теоремы 1.8, замечаем, что выводы о сходимости и расходимости знакоположительного ряда ~ а„были сделаны из (1.13) и (1.14), что ть=1 позволяет сформулировать более общий по сравнению с предельным радикальным признаком Коши достаточный признак сходимости знакоположительных рядов, который обычно называют радикальным признаком Коши.
1) если найдется число д < 1, такое, что для всех и, начиная с некоторого номера пе, выполняется неравенство ф~ < д, то ряд ~ а„сходится; а=1 2) если же для любого и ) пе выполняется неравенство ~/о„) 1, то ряд ~ а„расходится. и=1 Пример 1.27. Исследуем на сходимость с помощью предельного радикального признака Коши знакоположительный ряд е(8п+ 1)ь ь=1 Вычислим ~8п+1~ 8 11ш фо„= 1пп 'Б~ ~~ — ) = — < 1.
-+оо " и-+ш 19п+ 5 9 Следовательно, исследуемый ряд сходится. Пример 1.28. Исследуем на сходимость с помощью предельного радикального признака Коши знакоположительный ряд 69 1.7. Радикала вый признак Коши Найдем +2 1пп фа„= Бш и ( — ) = 1пп( ) „миллз 11щ ~а(~-„+з) = 1пп еи "и+з еи-+о и-+со = [' 0- '-- ]="-" =.— <, п+3 и+3~ Таким образом, исследуемый ряд сходится. Из примеров 1.27-1.28 ясно, что радикальный прюнак Коши удобно использовать для исследования на сходимость рядов, общие члены которых в качестве сомножителей содержат и-е степени выражений, зависящих от п.
При анализе сходимости рядов часто бывает полезна также следующая асимптотическая формула Спзирлинеа*: п! ° 1 — ~1 ~/2яп, п ~ оо. (е) В частности, ю формулы Стирлинга следует, что и/ уп1 —, и -+ со. е В приведенных выше формулах функции в левых и правых частях являются зквивалентными бесконечно большими функциями натурального аргумента (последовательностями). Пример 1.29. Исследуем на сходимость знакоположительный ряд оо Е„~ 'См:.
Никоаьокие С.М., т. 1. 70 Е ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Используя эквивалентность 1Я п/е, и -+ со, вычисляем „ГаГ . ~Я . и/е и/~, — )тш ~» — 11ш ~~~ Ч тт4 оо ттт/~/й ~ ттт/~тй поскольку т,!„ти . 1 '/тй 1'ш и о Итп — +со Вш п,ии )тш сии = еи — +оо ти и-тоо е и-тоо и-+оо Согласно предельному радикальному признаку Коши, исследуемый ряд расходится. 1.8.
Абсолютная и условная сходимости Определение 1,6. Действительный (комплексный) ряд ~~т аи, а„с К (а„й С), (1.15) ион называют абсояютпно сходяи4м ноя, если сходится действи- тельный ряд (а„! (1.16) »=1 из абсолютных значений (модулей) членов ряда (1.15). В отличие от знакопостоянных (знакоположитпельных и знакоотприцатпельных) рядов произвольные дейстпвитпельные ряды, членами которьсс являются числа разных знаков, называют знакопеременными р.ядами. В этом параграфе рассмотрим произвольные (знакопеременные) действительные ряды и ряды с комплексными членами.
Отметим, что все утверждения, приведенные в 1.2 и 1.3 (необходимый признак сходимостпи ряда, свойства 1.1-1.8, критперий Коши сходимостпи числовоэо ряда), справедливы как для действительных, так и для комплексных рядов. 71 1.8. Абсолютнан н условнал сходнмостн Если числовой ряд является абсолютно сходящимся, то говорят также, что имеет место абсолюупнал сходплаостпь этого числоеоео рлдн. Заметим, если ~ а„— комплексный ряд, т.е.
ао = сс„+ Ц„, о=1 ,Ю...Реа, еа, 1.~=,/у~2Л1 Теорема 1,9. Комплексный ряд ',1 а„= ~; (сс„+ Щ,) ява=1 о=1 ляется абсолютно сходящимся тогда и только тогда, когда абсолютно сходящимися являются действительные ряды ~ ссо ~: Ро ~ Пусть ряд ~ аа сходится абсолютно. Поскольку для любого о=1 натурального числа п верны неравенства 1 .~ с чЯ +л1 = ! .! А) с нЯ +Ж = !"! ,'1 )а„~ то в силу признана сравнения из сходимости ряда следует сходимость рядов ~ )сс„! и ~ ф„~.
о=1 о=1 со Пусть теперь сходятся абсолютно ряды ~', а„и Поскольку о=1 2 Р ( (2+ (Д )2 ( ),~ )2+ Я~(2 )фо)+ фо~ = Цап~+!Дь!) > то +;л,~=„Я2л1<! 1~-А1. Поэтому из сходимости рядов 2 (сс„) и ,'> )~З„( в соответствии о=1 о=1 со свойством 1.6 и признаком сравнения следует сходимость ряда ~ )сс„ + сф„). ~ 72 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Теорема 1.10. Всякий (действительный или комплексный) абсолютно сходящийся ряд сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
