IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямбда" мю" и ню". ' и \) 1. "ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Эта глава посвящена классической теории бесконечных сумм чисел, или числовых рядов. Понятие бесконечных сумм фактически было известно ученым Древней Греции (Ездоке, Евклид, Архимед). Нахождение бесконечных сумм являлось составной частью так называемого метода исчерпывания, широко используемого древнегреческими учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т.д.
Так, например, Архимед для вычисления площади параболического сегмента (т.е. фигуры, ограниченной прямой и параболой) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4. Ряд, как самостоятельное понятие, математики стали использовать в ХЧП в. И. Ньютон и Г. Лейбниц применяли ряды для решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Теория рядов в ХЧП?-Х?Х вв. развивалась в работах Я.и И. Бернулли, Б.
Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа и др. Строгая теория рядов была создана в Х?Х в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Б. Римана и др 1.1. Основные определения Определение 1.1. Всякое выражение аг+аг+аз+ ..+а„+... (1.1) представляющее собой последовательность действительньп~ или комплексных чисел ап аг, а„, соединенных знаками плюс, называют числовым рядом (или рядом). При этом члены последовательности (а„)„~ называют членами ряда 20 Е ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ (1.1), а общий член а„последовательности (а„)„~ — общим членом ряда (1.1). Отметим, что для ряда важен порядок суммирования его членов: изменив порядок суммирования членов ряда (т.е.
изменив числовую последовательность, по которой строится ряд), мы получим другой ряд. Для обозначения ряда а~ + аг + аз +... + а„+... применяют следующую краткую форму записи: ~; а„. я=1 Обычно члены ряда нумеруют начиная с единицы (как в определении ряда (1.1)). Однако иногда бывает удобно начинать нумерацию членов ряда с нуля. В зтом случае ряд имеет вид а„= аз + а~ + аз+... + а„+ .. Е-- в=о (1.2) Более того, члены ряда можно нумеровать начиная с любого номера. Так, при всех Й Е 1Ч выражения вида а„= аь + аь+~ + аь+з+... + а„+ ..
Е в=л наряду с выражениями (1.1) и (1.2), также называют рядами. Числовой ряд, членами которого являются действительные (комплексные) числа, называют дейстпвюпельным (комплексным) числовым рядом. 5п+1~ 5 1+1 6 пз+2~„1з+2 3 Пример 1.1. Выпишем первые четыре члена ряда 2 а„по я=1 известному общему члену ряда а„= (5п+1)/(пз+2). Первый член ряда а~ найдем, подставив в формулу общего члена ряда число и = 1, т.е. 21 1.1.
Основные онределеннв Второй член ряда аз находим, подставляя в формулу определя- ющую а„, число и = 2, т.е. 5п+1 5 2+1 11 п~+2„з 2+2 б Аналогично получаем 5п+1 5 3+1 16 пв+2 „з Зв+2 11' 5п+1 5 4+1 21 7 а4 =— п~+2 „4 4~+2 18 6 Таким образом, имеем 5п+1 11 16 7 а„= ~~ — = 2+ — + — + — +.. пз+2 б 11 б в=1 в=1 Пример 1.2. Подберем один из возможных вариантов формулы общего члена ряда 2 4 6 8 ав = — + — + — + — + ° ° 5 8 11 14 по указанным первым его членам. Итак, имеем 4 6 8 а2 = —, аз = —, а4 = —.
8' 11' 14 2 а1 = — , 5 Нетрудно заметить, что числители написанных выше дроГей, являются первыми четными числами: 2, 4, 6, 8. Кс-ественно предположить, что числителем дроби, равной и- .у члену рассматриваемого ряда, будет и-е по счету четное число, т.е. число 2п. Знаменатели же дробей 2/5, 4/8, 6/11, 8/14 таковы, что каждый последующий больше предыдущего на три единиНы, т.е. являются первыми четырьмя членами арифметической 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 22 прогрессии с разностью, равной 3, и первым членом, равным 5. Тогда и-й член данной прогрессии можно вычислить по формуле 5+3(и — 1) (Ь„= 51 +Н(и — 1), 0= 3, Ь1 = 5).
Таким образом, общий член рассматриваемого ряда можно вычислять, например, по формуле 2и 5+ 3(и — 1) ' поскольку все указанные ыачальные члены ряда вычисляются по этой формуле. Отметим, что по начальным членам ряда общий член ряда нельзя определить однозначно. Поэтому, вообще говоря, можно привести и другие формулы общего члеыа ряда, при которых начальыыми членами ряда будут те же числа 2/5, 4/8, 6/11 и 8/14. Ряд в целом при этом будет уже другим.
Числовой ряд определен нами как чисто формальыое выражение вида (1.1) или (1.2), содержащее бесконечное число эыаков сложения. Одыако сложение бесконечного набора чисел не является элемеытарной арифметической операцией. Этой операции необходимо придать строгий математический смысл. Понятие суммы ряда можно определять мыогими способами, однако наиболее естественным является способ определения суммы ряда как предела последовательности сумм первых и его членов. Перейдем к точным определениям.
Определение 1.2. Для всякого и Е )ч сумму о„= 2' ,аь пер- ОО я=1 вых и членов ряда ~, а„ыаэывают и-й часгиичиоб суммоб п=1 этого чысловозо ряда. Таким образом, с любым числовым рядом 2 а„связана и=1 числовая последовательность (Я„)'„" его частичных сумм.
Определение 1.3. ~Хисловоб (действительный или комплексный) рлд ~„а„называют сходлн4имсл, если существует и=1 2З 1.1. Основные определения конечный предел Я последовательности (Я„)'~ 1 его частичных сумм. При этом число Я называют суммой числового ряда );оп ипишУт 2 оп=Я. п=1 п=1 Таким образом, по определению а„=Я с=> 1пп Я„=Я, Яфоо. п=1 Если числовой ряд является сходящимся и его сумма равна Я, то говорят также,что имеет место сгоднмостпь числового ряда к числу Я. Замечание 1.1. Введенная выше запись 2 ап = Я для сп обозначения того факта, что суммой ряда ); ап является число п=1 00 Я, соответствУет томУ, что оДним и тем же выРажением 2 , 'ап п=1 обозначается как сам ряд, так и его сумма (если этот ряд сходится).
Чтб обозначает выражение ~„а„(ряд или сумму п=1 ряда), обычно ясно из контекста. Пример 1.3. Для числового ряда 1 1 1 1 ~" 1 1+-+-+-+...+ — +...=~ 2 4 8 ''' 2п ''' ~~2п — 1 п=1 частичные суммы имеют вид 1 1 2 2п' 1 1 — ~ 2 ДЛЯ ВСЯКОГО П 6 11 ЗНаЧЕНИЕ Яп РаВНО СУММЕ ПЕРВЫХ П ЧЛЕНОВ геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 1/2. Учитывая, что сумма п первых членов 24 к ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ геометрической прогрессии с первым членом Ь1 и знаменателем о вычисляется по формуле Ь'„= Ь1(д" — 1)/(о — 1), имеем: (1/2Я) (1/2) — 1 ~, 2" ) 2" При п -+ оо существует предел последовательности частичных сумм Ь„, а именно: 1 11ш Я„= 11ш 2 — — ) =2.
д+ц..-п,~, 2а 1)- В силу определения 1.3 рассматриваемый ряд является сходящимся, и его сумма равна числу 2 — пределу последовательыости частичных сумм этого ряда при п — + оо. Таким образом, можем записать Й 1 1 1 1 1 — =1+ — + — + — +...+ — +... =2. 2" 1 2 4 8 2" а=1 Определение 1.4. Числовой (действительный или комплексный) ряд ~', а„ыазывают расиодяи1имся, если последои=1 вательыость его частичных сумм (Я„)~ не имеет конечного предела при и — ~ оо, т.е.
либо этот предел не существует, либо он равен бесконечности. Для расходящихся рядов понятие суммы ряда не определено (эти ряды не имеют суммы). Если числовой ряд является расходящимся, то говорят также, что имеет место расиодимосгаь этого числового ряда. Отметим, что определения 1.3 и 1.4 указывают ыа тесную связь между теорией числовых рядов и теорией числовых последовательностей.
Действительно, в соответствии с определениями сходимость (расходимость) числовых рядов зквивалеытна сходимости (расходимости) числовых последовательностей их 25 1.1. Основные определения частичных сумм. С другой стороны, сходимость (расходимость) всякой числовой последовательности эквивалентна сходимости (расходимости) некоторого числового ряда. Действительно, каждой последовательности (е„) можно однозначно поставить в соответствие некоторый ряд 2 аы последователья=1 постыл частичных сумм которого является последовательность (ен). Таким рядом является, очевидно, ряд в1+ ~; (еь — нь 1) с и=в членами а1=в1, аг =вг — нм ..., аь =вь — вь 1, ..., для которого имеем Я„= ~ ая = е1+ (вэ — е1) + +(ен ен 1)=е„, нЕМ.
Таким образом, любой результат, полученный в теории рядов, можно сформулировать на языке теории последовательностей, и наоборот. Уточним понятия сходимости и суммы для комплексных числовых рядов. Теорема 1.1. Комплексный числовой ряд 2 ан сходится к в=1 комплексному числу Я = А +1В, А, В Е К, тогда и только тогда, когда сходятся действительные ряды 2,' Вяан и 2 , '1п1а„, а их о=1 н=1 суммы равны числам А и В соответственно.
~ Рассмотрим комплексный ряд ~„а„. Для всякого п Е М обозначим а„= асеан Е ее, Д, = 1п1ав Е К. ПУсть комплексный РЯД ~, а„= 2 (он+1Д,) схоДитсЯ, причем в=1 н=1 ,'> ан = Я = А+ 1В, А, В Е К. 26 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Частичные суммы данного ряда имеют вид и и и и Ви = ~ аь = ~ (аь+Щь) = ~~) аь+1~ 11ь = Аи+1Ви, й=1 и=1 я=1 й=1 где А„— и-я частичная сумма действительного ряда ~; Не аи = и=1 а„, а Ви — пя частичная сумма действительного ряда и=1 1шаи = ); 13„. и=1 и=1 Напомним, что, согласно определению предела последовательности комплексных чисел [Х~, комплексное число о' = = А + 1В является пределом комплексной последовательности (В )и 1 — — (Аи+1В„)иии 1, ЕСЛИ дЛя ЛЮбОГО ПОЛОжктЕЛЬНОГО ЧИС- ла е найдется номер Ф, зависящий от е и такой, что для любого номера и > Ж верно неравенство [„— В[ = [Аи + 1Ви — А — 1В[ = Отсюда следует, что для любого номера п > Ф выполняются неравенства [Аи — А[ < е, [Ви — В[ < е.
Значит, действительные последовательности (Аи1„1 и (В,Д~ 1 сходятся к действительным числам А = НеВ и В = 1шЯ соответственно. Позтомуряды ~; Веаи= ~; аи и ~ 1ша1 = ~ 11и и=1 и=1 и=1 и=1 сходятся, причем ~~) о„= А = КеЯ, ~3„= В = 1ш В, или 27 1.1. Основные определение Докажем обратное утверждение. Пусть ряды ~ Веа„= 00 00 со п=1 ап и ~ 1шап = ~; Д„с действительными членами схо- п=1 п=1 п=1 дятся к числам А и В соответственно. В этом случае последо- и и вательности (А„— А) и („— В), где А„= ~ се„, В„= ~ ~3„, в=1 В=1 являются бесконечно малыми последовательыостями. Отсюда в силу неравенства фп — (А+ 1В) ~ = ! (А„— А) + 1'(„— В) ~ = < (А„— А(+ )„— В! последовательность (фп — (А+1В)/), где Я = ~ (сев+ Щ ) = в=1 = А„+1В„, также является бесконечыо малой последовательностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
