IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 6
Текст из файла (страница 6)
С другой стороны, из равенства 1пп Яя = +со автоматически следует расходимость ряда. Таким образом, для знакоположительного ряда (аь > О, к Е 1Ч) имеем аь РасхоДитсЯ 4=» 1пп Яя = +со. Е я-+оо я=1 Поэтому часто для обозначения расходимости знакоположи- тельного ряда используют запись (такая запись одновременно указывает непосредственно на расходимость ряда и на причину расходимости — бесконечность суммы). 44 Е ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Теорема 1.4 (признак сравнения). Пусть для знакоположительных рядов ай, ай>0, Вел; й=1 (1.4) ~Ьй, Ьй>О, Ь~1Ч, ййп (1.5) и некоторого натурального числа Ф при всех Й > М выполняется неравенство ай < Ьй.
Тогда: а) если сходится ряд (1.5), то сходится и ряд (1.4); б) если расходится ряд (1.4), то расходится и ряд (1.5). ~ Поскольку изменение конечного числа членов не влияет на сходимость и расходимость рядов (см. свойство 1.3), то можно считать,что 0 < ай < Ьй, Ь Е 1ч (для этого достаточно заменить первые М членов ряда (1.4) нулями). Отсюда следует, что (1.6) А„<В„, пЕ1Ч, 1пп А„< 1пп В„, или ~ ай < ~ Ьй. й=й ййп где А„= ~; ай, В„= ~; Ьй.
ййп ййп Пусть ряд (1.5) сходится. Тогда существует конечный предел последовательности (В„), и, следовательно, последовательность (В„) ограничена. В силу соотношения (1.6) числовая последовательность (А„) также ограничена. Согласно признаку Вейерштрасса [1-6.5], существует конечный предел последовательности (А„) (т.е.
сходится ряд (1.4)), причем 1.4. Знаконоложитевавые рады. Признаки сравнение 45 Пусть теперь ряд (1.4) расходится. Тогда 1пп А„=+ос, и последовательность 1А„) не ограничена сверху. Отсюда в силу соотношения (1.6) следует неограниченность последовательности (В„), что для знакоположительных рядов эквивалентно равенству 1пп В„=+ос.
Значит, ряд ~, бь расходится. ~ь в-+оо в=1 Пример 1.11. Исследуем на сходимость знакоположительный ряд 1 в=2 Поскольку для любого натурального числа п > 2 верно неравенство 1 1 — > —, 1пп и то в силу признака сравнения из расходимости гарееокического ряда 2 1/п (см. пример 1.10) следует, что ряд ~; 1/1пп также а=1 в=2 расходится. Пример 1.12. Выясним, сходится ли знакоположительный Ряд 00 ~ 2" 1п(п + 1) Воспользуемся признаком сравнения.
Для любого натурального числа а справедливо неравенство 1 1 2в1п(о+1) 2в1п2' поскольку значение логарифма 1п(п+ 1) растет с увеличением номера и. Так как ееометрически11 рлд 2 (1/2) сходится (см. пример 1.4), то в силу свойства 1.5 ряд 2; 1/(2" 1п2) также 46 Е ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ сходится. Отсюда, согласно признаку сравнения (см.
теорему 1.4), сходится и ряд 00 ~ 2" 1~(~+1) Пример 1.13, Применим признак сравнения для исследования на сходимость ряда 1п~ и — а<1, )3>0. в=2 Из неравенств 1пдп > 1пд2 и но < п, верных при п = 2, 3, вытекает, что справедливо и следующее неравенство: 1пдн 1пд2 — > —, и=2,3, по и Так как гармонический ряд 2, 'Цп расходится (см. пример а=1 1.10), то расходится и ряд 2 (1пД2)/и (см.
свойство 1.5). в=1 В силу признака сравнения приходим к следующему заключению. Теорема 1.5 (предельныб признан сравнения). Ксли Дла знакоположительных РЯДов 2,'аь и 2,'Ьь с ненУлевыми й=1 й=1 членами (ая > О, Ь| > О, й е 14) справедливо соотношение 1пп — =С, 0<С<ос, ал ь-нх Ь| то зти ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся. Ь4. Знаковоложнтелъные ряды. Прнанакв оравненвя 47 ° е В соответствии с условиями теоремы имеем ай . 6й 1 1пп — = С, 1пп — = —, 0 < С < оо. й-+оо Ьй ' й-+ ай С ' Поскольку последовательности (ай/Ьй)йв',„, (Ьй/ай)ойо сходятся, то они ограничены. Поэтому найдутся такие положительные числа М и Ь, что 0« — М, 0« — Ь, ЬЕ1Ч. Ьй ' ай Следовательно, для любых натуральных чисел й верны неравен- ства ай < МЬй, Ьй < Лай. Используя свойство 1.5 рядов и признак сравнения, заключаем, что ряды ~ ай и ~; Ьй либо одновременно оба сходятся, либо й=й й=1 одновременно оба расходятся.
~ Отметим, что предельный признак сравнения применим не только для рядов с ненулевыми членами, но и для произвольных знакоположительных рядов. Для этого необходимо лишь предварительно отбросить все члены, равные нулю (при этом, согласно свойству 1.4, сходимость или расходимость рядов не нарушится). Следствие 1.2.
Если энакоположительные последовательности (ай) и (Ьй1 с ненулевыми членами (ай > О, 6й > О, й Е 1Ч) являются эквивалентными бесконечно малыми, т.е. ай 1пп — = 1, Ь„ то ряды ~ ай и ) Ьй сходятся и расходятся одновременно. й=й й=! 48 1.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Пример 1.14. Исследуем на сходимость знакоположительный ряд 1 ~п За+и — 1пи п=1 1 ап = 3" +и — 1пи Сравним этот ряд с геометрическим рядом ~ 1/3", Ьп = 1/3". п=1 Найдем предел отношения общих членов этих двух рядов. Для этого воспользуемся следующими соотношениями сравнения скоростей роста основных элементарных функций: 1и и 1пп =О, и-++со ид ид 1пп — = О, п-++ о оп (1.7) 17>О, ойИ; (1.8) а>1, )ЗЕК. Учитывая (1.7) и (1.8), а также арифметические свойства сходящихся последовательностей, получаем ап . Зп 1 1пп — = 1пп = 1пп = 1.
и-+со Ьп п-+со Зи+и — 1пи п-+оо 1+ п 3" и 3" Пример 1.15. Выясним, сходится ли знакоположительный ряд Е 7и~ + и1/и + 1 9 -~5<- 2 Поскольку имеют место следующие эквивалентности бесконеч- но больших последовательностей: « ~«- « «-1 « , « 9 ~~5 «-2 '9 «=3 Отсюда, согласно предельному признаку сравнения, исследуемый ряд ~ ап сходится, поскольку сходится геометрический п=1 ряд ~; Ьп (см. пример 1.4, «7= 1/3 < 1), п=1 1.4. Знаконояоиитеяъные ряды.
Пряэнаки сравнения 49 то 7пз+ п~/з+ 1 7пз 7 а„— — п -е оо. '9 <-5 +~2 3 3 В соответствии с предельным признаком сравнения исследуемый ряд ~ ан расходится, так как расходится гармонический о=1 ряд ~ 1/и. о=1 Пример 1.16. Исследуем на сходимость знакоположительный ряд ~; а„с общим членом в=1 ее+ пз+ 1 4" + 1п~(п+ 1) + япп 1, 1п (и+1) 1пп — = О, 1пп = О.
о-+оо е" ' ->со 4" 3 1пп — = О, о-+ е" Кроме того, 1пп (ьйпп/4") = О, так как последовательность (31пп/4") представляет собой произведение бесконечно малой последовательности (1/4" ) и ограниченной последовательности (яшп) (1-6.7]. Отсюда в силу свойств эквивалентных бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей 11-6) получаем ен+пз+1 ев е и а„— 4" +1п (и+1)+айва 4" ~4/ со н Так как геометрический ряд ~; (е/4) (см. пример 1.4, о=1 д = е/4 ( 1) сходится, то, согласно предельному признаку сравнения, ряд ~, а„также сходится.
о=1 Найдем такую бесконечно малую последовательность, эквива- лентную последовательности (а„), для которой исследование на сходимость соответствующего ряда является элементарным. Согласно (1.7) и (1.8), имеем 50 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 1.5. Интегральный признак сходимости Коши 0 < а„е1 — — у (и + 1) < Дх) < у (и) = а„, х е [и, и + 1]. а, а1 аз аа„ Рис. 1.1 Согласно теореме о среднем значении для определенного интеграла [ЧЦ,имеем равенства и+1 аа+1 < 1(х) дх < а„, п е Я.
(1.9) п Пусть ряд ~ аа сходнтся. Тогда нз правой части двойного а=1 неравенства (1.9) в силу признака сравнения получаем, что схо- Теорема 1.6 (интеераяьный признак Коши). Пусть действительная неотрицательная и непрерывная в промежутке [1, +со) функция У(х) не возрастает в зтом промежутке. Тогда для сходимости ряда ~ У(п) необходимо н достаточно, чтобы а=1 Ос сходился несобственный интеграл [ у(х) дх.
1 < Введем обозначение: а„= у(п), и Е 1Ч. Поскольку неотрнцательная функция у(х) не возрастает в промежутке [1, +со), то для любого и Е М верны неравенства (рнс. 1.1) 1.5. Иптегральпмй признак саодямосея Коши оо и+1 дится и знакополохсительнмй ряд ~', [ 1(х) Нх. Это означает, и=1 и что последовательность сходится и, следовательно, ограничена, т.е. найдется положил тельное число М, для которого ) 1(х) Ых < М, я Е 1Ч.
Функция 1 Р(1) = ) Дх)дх не убывает в промежутке [1, +со), поскольку 1 подынтегральная функция является неотрицательной в этом промежутке. Докажем, что функция Р($) ограничена в [1, +со). Действительно, для любого действительного числа $ > 1 найдется натуральное число Й ) 1, и, значит, с и Дх) Их < Дх) ей < М. Таким образом, функция Р(1) не убывает и ограничена в промежутке [1, +со). Следовательно, согласно признаку Вейерштрасса для монотонной функции [1-7.4], существует конечный предел функции Р(с) при $ — 1 +со. Это и означает, что несобственный интеграл сходится: Обратно, пусть теперь сходится интеграл ) Дх) Нх.
Тогда 1 сходится и ряд и+1 и+1 а+1 со ~/пп =е /п)н =1л)е*' и=1 1 1 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 52 Используя левую часть двойного неравенства (1.9), в соответствии с признаком сравнения получаем сходимость ряда 00 ОО 00 а„.1.1 = ~„а„. Отсюда следует, что и ряд ~; а„также схо0=1 0=2 0=1 дится. ~ Отметим, что если функция /(х) удовлетворяет условиям теоремы 1.6 в промежутке [т, +со), то для сходимости ряда ',[ /(и) необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственО =-.тЛ 00 ный интеграл 1 /(х) ох. в~ Пример 1.1Т. Исследуем на сходнмость ряды: Так как функции х, 1пх, 1пзх в промежутке [2, +со) положительны, непрерывны и возрастают, то функции 1/(х1пх) и 1/(х1п2 х) в этом промежутке положительны, непрерывны и убывают. Следовательно, функции 1/(х1пх) и 1/(х1п х) в про- 2 межутке [2, +со) удовлетворяют условиям теоремы 1.6.
Согласно определению несобственного интеграла от ограниченнои непрерывной функции по бесконечному промежутку [ЧЦ, имеем: 00 Н и /' 11х . /' Их . /' И1пх а) = 1пп — = 11ш ,/ х1пх н-++00,1 х1пх н-++ооу 1пх 2 2 11ш (1п1п — 1п1п2) =+ос; Я-+-1-00 00 я я Их . /' 11х, / И1пх ) х1пзх я-и- 3 х1пзх н-++00.1 1пзх 2 2 2 1 1 1 1пп ( — — + — ) = —. я-++со 1пВ 1п2 1п2' Кб. Иитегракьный признак скпдимости Коши 53 Поскольку в случае (а) несобственный интеграл 1 ох/(х1пх) расходится, то в силу интегрального признака Коши расходится и ряд ~; 1/(п 1пп).
В случае (б) несобственный интеграл СО п=2 |ох/(х1п х) сходится, следовательно, в силу интегрального признака Коши ряд ~; 1/(п1п2 и) также сходится. п=2 Пример 1.18. Исследуем на сходимость ряд Дирихяе 00 ) —, рЕК. п=1 Если р < О, то 1пп 1/тР = 1пп п " у~ О, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
