IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

[Ц 15. Запишите выражение для первого замечательного предела. [Ц 16. Используя второй замечательный предел, вычислите ??ш( ) [Ц 17. Сформулируйте и запишите определения [по Коши) двустороннего и односторонних (левого и правого) пределов действительной функции действительного переменного в точке а Е К. [Ц 18. Сформулируйте теоремы об эквивалентных бесконечно больших и бесконечно малых функциях [последовательностях). [Ц 19. Докажите, что функция хД, Д > О, является бесконечно большой более высокого порядка роста по сравнению с функцией 1п'" х, о > О, при х -+ +ос. [?] 20. Докажите, что функция хд, 13 > О, является бесконечно большой более низкого порядка роста по сравнению с функцией а*, а > 1, при х — ~ +со. [Ц 21.

Каковы свойства непрерывных функций в точке, на отрезке? [Ц 22. Является ли точка х = 0 точкой разрыва первого рода функции у = [х]/х? [Ц 23. Найдите производную и-го порядка функции у = =!п(1+ х). [П] 24. Что понимают под левой и правой производными функции в точке? [П] 25. Является ли функция у = х2 непрерывно дифференцируемой на отрезке [О, Ц? [1Ц 25. Докажите, что производная нечетной дифференцируемой функции является четной функцией. [Ц, [П] 27. Запишите формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме: а) Пенно; б) Лагранжа.

[П] 28. Сформулируйте достаточные условия убывания (возрастания) дифференцируемой функции. [1Ц 29. Приведите необходимые и достаточные условия существования экстремума дифференцируемой функции. [П] 30. Является ли функция у = 1пх строго выпуклой вверх в области определения? Псстройте ее график. [П] 31. Найдите первообразную функции в!п5х. [ЧЦ 32. Сформулируйте свойства определенного интеграла. Запишите формулу Ньютона — Лейбница вычисления определенного интеграла.

Является ли функция совх интегрируемой на отрезке [О,;т]? [ЧЦ 33. Используя правило интегрирования по частям, т/5 вычислите интеграл ] (х~+ 2х+ 3) сов5х<1х. [ЧЦ о 10 ПРЕДИСЛОВИЕ 34. Вычислите производную интеграла с переменным верхним пределом [ соя~ И~. [ЧЦ о 35. Укажите, при каких значениях параметра р Е ?? несоб+оо ственный интеграл ]' — сходится. [ЧЦ 1 яя 36. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость несобственные интегралы от функций х ~я?пх и х зсоях по промежутку [1, +со).

[ЧЦ 37. Каковы свойства собственных и несобственных интегралов, зависящих от параметра? При каких условиях такие интегралы можно дифференцировать и интегрировать по параметру? [ЧЦ 38. Выясните, является ли несобственный интеграл +со [ х ~сояЛхдя сходящимся равномерно по параметру Л 1 ва множестве Ж. [ЧЦ 39. Напишите общее решение дифференциального уравнения ту' = 2у.

Найдите особые точки этого уравнения. Найдите решение задачи Коши: ху' = 2у, у(1) = 1. [Ч1П] 40. Назовите методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, разрешенных относительно старшей производной. [Ч?1Ц 41. Укажите какой-нибудь базис в линейном пространстве многочленов степени не выше и с обычными операциями сложения и умножения ва числа. Какова размерность этого линейного пространства? Является ли система мвогочленов р~ 1+ 24з 34з рг = 31 — 74з, рз = 2+ ~з линейно независимой? Какова размерность линейной оболочки этой системы? Докажите, что многочлен 34 — ЗР— 7~э является линейной комбинацией мвогочленов рь рз, рз. [1Ч] 42. Приведите примеры конечномерных и бесконечно- мерных евклидовьпс пространств. [1Ч] 43. Запишите неравенство Коши — Буняковского. [1Ч] ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ~ и > — начало и окончание доказательства — окончание примера или замечания а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1.1 о ф А — элемент а не принадлежит множеству А 1-1.1 А = (х: ...) — множество А состоит из элементов х, обладающих свойством, указанным после двоеточия 1-1.1 А = И вЂ” множество А пусто 1-1.1 А С В, В э А — множество А включено в множество В (В включает А) 1-1.2 А С В, В З А — множество А включено в множество В или совпадает с ним 1-1.2 1Ч вЂ” множество натуральных чисел 1-1.3 У вЂ” множество целых чисел 1-1.3 Я вЂ” множество рациональных чисел 1-1.3 К вЂ” множество действительных чисел 1-1.3 С вЂ” множество комплексных чисел 1-4.3 Р— множество К или С в утверждениях, где рассматриваются параллельно действитеньный и комплексный случаи 5.3 [а, 6] (а, Ь) [а, Ь), (а, Ь! [х[ отрезок с концами в точках а и 6 1-1.3 интервал с концами в точках а и 6 1-1.3 — полуинтервалы с концами в точках а и Ь 1-1.3 абсолютное значение числа х 1-1.3 12 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ +со, -со — бесконечные точки расширенной (пополненной) числовой прямой 1-1.3 со — объединение бесконечных точек +ос и — оо 1-1.3 ( — со, +со), ( — оо, а), (Ь, +со) — бесконечные интервалы 1-1,3 Ц Е„вЂ” счетное или конечное объединение множеств Е„ (а) т1 А =~  — из высказывания А следует В 1-1.5 А «=»  — высказывания А и В равносильны 1-1.5 Эх: — существует такое х, что 1-1.5 Л! х: — существует единственное х, такое, что 1-1.5 Чх — для любого х 1-1.5 у = ~(х) — переменное у — функция переменного х 1-2.1 1(о) = У(х) ~ — значение функции у(х) в точке а 1-2.1 1 а=а ~ь У(х) ! — разность значений функции Дх) в точках Ь и а 1/1 а х-1 до~ М(х; д)— функция, обратная к функции ~ 1-2.3 композиция функций у и д 1-2.4 точка М плоскости с координатами х (абсцисса) и у (ордината) 1-2.5 произведение (декартово) множеств Х и У 1-2.5 произведение (декартово) и множеств действитель- ных чисел 1-2.5 ХхУ К" (-оо, а], [Ь, +со) — бесконечные полуинтервалы 1-1.3 А Π — объединение множеств А и В 1-1.4 А й  — пересечение множеств А и В 1-1.4 А ~  — разность множеств А и В 1-1.4 () Е„, П Е„вЂ” счетное объединение и счетное пересечение "=1 множеств Е,„7.1 13 аь ь=1 — сумма и слагаемых а1, ..., оы ..., а„1-2.6 — произведение и сомножителей а1, 1-2.6 аы а„ и! — произведение всех натуральных чисел от 1 до и включительно 1-2.6 Й = 1, и — число Й принимает последовательно целые значения от 1 до и включительно 1-2.6 Ат — матрица, транспонированная к А П1 еорХ, вар х — точная верхняя грань множества Х 1-2.7 хЕХ ш1Х, ш1х — точная нижняя грань множества Х 1-2.7 хеХ в5пх — функция знака числа х 1-3.2 [х] — целая часть числа х 1-3.2 г — мнимая единица (Р = -1) 1-4.3 Ке» вЂ” действительная часть комплексного числа» 1-4.3 11п» вЂ” мнимая часть комплексного числа» 1-4.3 1п1 Дх) — точная нижняя грань функции Дх) на множестве Х 1-5.7 шахУ(х), ш1п,1 (х) — наибольшее и наименьшее значения функ- хЕХ хЕХ ции 1(х) на множестве Х 5.1, 6.1 » — число, комплексно сопряженное числу» 1-4.3 р(х,у) — расстояние между точками х и у метрического пространства 1-5.1 р(х,М) — расстояние от элемента х гильбертова пространства до подмножества М 6.2 евреях) — точная верхняя грань функции ~(х) на множестве хех Х 14 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ (х„), (ха) ~ 1 — бесконечная последовательность элементов х„ 1-6.2, 1.1 1пп(ха), 1пп х„ — пределпоследовательности (х„) элементов и-+ха нормированного пространства 5.1 х -+ а — переменное х стремится к точке а 1-7.1 1пп Дх) — предел функции ~(х) в точке а (при х — ь а) 1-7.1 х-+а ~(а+О), Да — О) — пределы функции Дх) в точке а справа (х -Ь а + О) и слева (х -+ а — О) 1-7.2 ~(х) = о(д(х)), х -+ а — функция ~(х) более высокого порядка малости по сравнению с функцией д(х) при х -+ а 1-10.1 Дх) ° д(х), х-+ а — функции у(х) и д(х) являются эквивалентными при х -+ о 1-10.2 д'(х), у', Ну/Их — производная функции у = ~(х) 11 У+(а+О), ~' (а — О) — обобщенные правая и левая производные функции Дх) в точке о 3.3 уа(а) и ~яа(а) — значения производных второго и третьего порядков функции Дх) в точке а 11 ~00(а) — значение проюводной и-го порядка (п-й проюводной) функции Дх) в точке а 11 ~Р У (х), — ~(х) — производная и-го порядка (и-я проювод<~~п ная) функции у(х) П Ух(х у) ~— (х,д) — частная производная функции у(х,у) по переменному х Ъ ( я(х) Их — неопределенный интеграл от функции Дх) ~1 Ь Ь (11)( Пх) <Ь,,('~(х) дх — определенный интеграл (Римана) от а а ФУнкции Дх) по отрезку [о, 6] 'Ч'1, 7.1 +ОО Ч.р.

) ~(х) Их — главное значение несобственного интеграла от функции Дх) по числовой прямой 4.4 ь (Ь)) У(х)Нх — интеграл Лебега от функции Дх) по отрезку [а, 6] 7.1 (Ь)) Дх) Их, ) Дх) Их — интеграл Лебега от функции у(х) по Е Е множеству Е 7.1 ~ а„, а„Е И (а„Е С), — действительный (комплексный) числовой ряд 1.1 ) у„(х) — функциональный ряд 2.1 а=1 ~, х„, х„Е Ь вЂ” ряд из элементов нормированного пространства Ь 5.5 и„(х) -+ и(х), х е Х вЂ” функциональнал последовательность (и„(х)) сходится к функции и(х) поточечно на множестве Х 2.1 п„(х) =хи(х) — функциональная последовательность (п„(х)) х сходится равномерно на множестве Х к функцви и(х) 2.2 и„(х) =сВ и(х) — функциональная последовательность (п„(х) ) х не является равномерно сходящейся на множестве Х к функции п(х) 2.2 (х, у) — скалярное произведение элементов х и у евклидова или гильбертова пространства 3.1, 6.1 ~~х((, ~~х()с — норма элемента х нормированного пространства Ь 3.1, 5.1 1 ~ Д,Фь — ряд справа является рядом Фурье элемента ~ по ортонормированной системе (фя) в евклидовом пространстве 3.1 16 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ Щ](Л), Р 1[у](Л) — прямое и обратное преобразования Фу- рье функции Дх) 4.5 Р,[у](Л), Р,[Д(Л) — косинус- и синус-преобразования Фурье функции у (х) 4.6 С[а,Ь] — нормированное пространство непрерывных на отрезке [а, Ь] функций 5.1 Се[а, Ь] — нормированное пространство многочленов, определенных на отрезке [а, Ь] 5.2 — нормированное пространство ограниченных числовых последовательностей 5.1 8р, р > 1, — нормированное пространство числовых последовательностей (х„), таких, что ~ ]х„[Р < +со 5.1 и=1 А — замыкание множества А 5.4 линейная оболочка системы Я 5.6 <Я> сг гильбертово пространство числовых последовательностей (х„),таких,что ~„ [х„[г < +ос 6.1 я=1 ортогонэльные элементы гильбертова пространства 6.3 хЗ у элемент э ортогонален подмножеству Ь гильбертова пространства 6.3 ортогональное дополнение к надпространству Ь гильбертова пространства 6.3 ортогональная сумма надпространств 1 и 1 гиль- бертова пространства 6.3 а„ (в) конечная сумма или ряд элементов а„7.1 Ее[а,Ь] — евклидова пространство кусочно непрерывных на отрезке [а,Ь] функций 3.1, 6.1 17 тЕ, т[Е) — мера Лебега множества Е 7.1 т" Е, т,Š— внешняя и внутренняя меры множества Е 7.1 А|[а,6] — банахово пространство функций, суммируемых на отрезке [а, 6] Т.1 Аз [а, 6] — гильбертово пространство суммируемых с квадратом на отрезке [а, 6] функций 7.2 Ьг ([а, 6], у) — гильбертово пространство суммируемых с квадратом и весом у на отрезке [а, 6] функций 7.5 18 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").

Характеристики

Список файлов книги