IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 5
Текст из файла (страница 5)
ряда оо сс=о+1 ~, а1с СХОДЯТСЯ И РаСХОДЯтСЯ ОДНОВРЕМЕННО, т.Е. ЕСЛИ СХОДИТСЯ /с=1 хотя бы один остаток, то сходятся и все остальные остатки (в том числе и сам ряд), а если хотя бы один из остатков расходится, то расходятся и все остальные остатки (в том числе и сам ряд). Свойство 1.2. Если ряд ); аь сходится, то последовательЬ=1 ность (В„)„1 сумм его и-х остатков стремится к нулю при и — Ф со: 1пп В =О. ~ Если ряд ~„аь сходится, то в силу свойства 1.1 для всех и Е Ы Ио1 00 верно равенство В„= Я вЂ” Я„, где Я вЂ” сумма ряда 2 аь т.е. /с=1 11ш Я„= Я. Отсюда о-соо 1пп В„= 1пп (Я вЂ” Я„) =Я вЂ” 1пп Я„=Я вЂ” В=О. о-+оо о-соо о-Фоо Свойство 1.3. Если в ряде ~; а1с отбросить конечное число 1с=1 членов или заменить конечное число членов другими, то зто не отразится на его сходимости или расходимости.
< Остатки первоначального и измененного рядов с номерами, превышающими номера отброшенных или замененных членов, совпадают, следовательно, сходятся или расходятся одновременно. Тогда из свойства 1.1 и следствия 1.1 вытекает, что одновременно сходятся или расходятся первоначальный и измененный ряды. 1» Свойство 1.4. Отбрасывание членов, равных нулю (с сохранением порядка оставшихся членов), не влияет на сходимость или расходимость ряда, а в случае сходимости не изменяет сумму ряда.
1.3. Свойства сходящихся рядов Если Л Е К (Л Е С) — некоторое число, то ряд ~ (Лай) оо й=1 называют произведением р*да ,'1 ай на число Л. й=1 Свойство 1.5. Если ряд ~; ай сходится и имеет сумму Я, оо й=1 то ряд ',> Лай, Л Е К (Л Е С), также сходится и имеет сумму ЛЯ: й=1 (Лай) =Л ~1 ай. й=1 й=1 < Пусть Я„= Я ай, тогда Я„= ~, Лай =Л ~ а1, =Лая. Поэтой=1 й=1 й=1 му в силу арифметических свойств сходящихся последовательностей 11-6.4] имеем ~ Лай = 1пп У„= 1пп ЛЯо = Л 1пп Яо = ЛЯ = Л~ ай.
и в-+оо и — >со о-+со й=1 й=1 Ряд вида '~ (ай + Ьй) = (а1+ 61) + (а2 + 62) + .;. + (ай + Ьй) + .. й=1 членами которого являются суммы сй = ай+ Ьй членов рядов ~ ай и ~ Ьй с одинаковыми номерами, называют суммой й=1 й=1 рядов ~ ай и ~ Ьй. Говорят также, что ряд ~ (ай + Ьй) й=1 й=1 й=1 получен почленным суммированием рядов ~; ай и ~ Ьй. й=1 й=1 Свойство 1.6. Если ряды ',> ай и ~ Ьй сходятся и имеют й=1 й=1 суммы А и В соответственно, то ряд ~ (ай+ 6й) также сходитй=1 38 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ся и его сумма равна А+ В: сс (ай + Ьй) = ~ай + ~ Ьй. й=1 й=1 й=1 < Пусть Аи = ~ ай и Ви = ~ Ьй, и е М. Тогда й=1 й=1 съ и и В„= ~(ай + Ьй) = ~ ай + ~ Ьй = А„+ В„ й=1 й=1 й=1 и в силу арифметических свойств сходящихся последовательно- стей 11-6.4) получаем Я(ай+Ьй) = 1пп В„= 1пп (А„+Ви) = й=1 = 1пп Аи+ 1пп В„= А+В = ~ай+~Ьй.
и-+со и — сссс й=1 й=1 Часто возникает необходимость „снять скобки" в почленной сумме ~ (ай+ Ьй) рядов ',с ай и ~ Ьй. Однако просто убрать й=1 й=1 й=1 скобки в ряде ~; (ай + Ьй), не задумываясь о сходимости рядов й=1 ~ ай, ~, Ьй и ~ (ай+ Ьй), нельзя, поскольку ряд й=1 й=1 й=1 (ай + Ьй) = (а1+ 61) + (аз + Ьз) +... + (ай + Ьй) +... й=1 и соответствующий ряд без скобок а1+ 61+аз+Ьг+ .. +ай+Ьй+... являются, вообще говоря, различными рядами.
Общим членом первого ряда является величина сй = ай + Ьй, а общим членом 1.3. Свойства сходявояхоя рядов 39 араго ряда — величина ссй, равная а(й+цсг если й нечетно, и равная Ьйсг, если й четно. Поэтому в общем случае сходимость первого ряда не гарантирует даже сходимости второго ряда, не говоря уже о равенстве их сумм.
Например, ~~~,(1 — 1) = (1 — 1) + (1 — 1) + " . + (1 — 1) + " . = О, й=1 в то время как ряд беэ скобок 1 — 1+ 1 — 1+... + 1 — 1+... расходится (см. пример 1.4). Тем не менее, если ряды ~; ай и оо 1с=1 ~ Ьй сходятся, скобки в их сумме снимать можно. й=1 Свойство 1.Т. Если ряды ~ ай и ~ Ьй сходятся, то в их й=1 й=1 почленной сумме можно снять скобки: (ай+ Ьй) = (а1+Ь1) +(аг+Ьг)+... +(ай+Ьй)+... = й=1 = а1 + Ь1 + аг + Ьг + ...
+ ай + Ьй +... < Рассмотрим ряды а1+О+аг+О+аз+О+ +ай+О+ и О+Ь1+О+Ьг+О+Ьг+ +О+Ьй+ Ряды ~ ай и ~', Ьй й=1 сс=1 получены иэ этих рядов путем отбрасывания нулей. Поэтому в соответствии со свойством 1.4 ряды с нулями сходятся и имеют место равенства а1+О+аг+О+аг+О+... +ай+О+... = ~~1 ай, й=1 О+ Ь, + О+ Ьг+ О+ Ьг+... + О+ Ьй+... = ~ Ьй. й=1 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 40 Сложив почленно ряды в левых и правых частях этих равенств, в силу свойства 1.6 получим (а1 + 0) + (О+ Ь1 ) +...
+ (ай + 0) + (О+ Ьй) +... = ~~1 (ай + Ьй), или а1+Ь1+а2+Ьг+...+ай+Ьй+... =~~1 (ай+Ьй). Свойство 1.8. Если каждый член ай сходящегося ряда ~, ай не превьппает соответствующий член Ьй сходящегося й=1 со 00 ряда ~ Ьй, то сумма ряда ~ ай не превышает сумму ряда й=1 й=1 ~, Ьй, т.е. ~ ай < ~ Ьй. й=1 й=1 й=1 и и ~ Действительно, если ай < Ьй, я Е 1Ч, то Ап = ~', ай < ~ Ьй = й=1 й=1 = Вп, и Е М. ПЕРЕХОДЯ В ЗтОМ НЕРаВЕНСтВЕ К ПРЕДЕЛУ ПРИ П вЂ” 1 ОО, получаем требуемое утверждение. ~ В частности, отсюда следует, что если ап > О, и б М, то ап >О. п=1 Теорема 1.3 (ирипьерий Коши сходимостпи числовоео ряда). Числовой ряд ~', ай сходится тогда и только тогда, й=1 когда для любого с > 0 найдется такой номер Ф, зависящий от е, что для всех п > И и для любого натурального 1п выполняется неравенство ! Ой = ~Оп+1+Оп+2+" +Оп+т~ < С й=пй1 41 1.3.
Свойства сходящихся рядов т.е. Че > 0 ЭЛ(е) Чп > Ф(е) Чтой: ~ао+ ~ + ав+г +... + ао~- в ~ < Е. ~ Утверждение этой теоремы следует непосредственно иэ критерия Коши сходимости числовых последовательностей [1-6.5]. В данном случае этот критерий необходимо применить к последовательности ф„) частичных сумм рассматриваемого ряда: ~~> аь сходится с=~ (о'„)'„~ г сходится в=1 ФФ ~Й>0 ЭЛ(е)е1Ч Чп)Ф(е) Чтпб1Ч: фв~-та оо1<е.
Остается эаметить, что ~в+т Яв = ав.~.г + ав~ г +... + ав+т. Построив отрицание критерия Коши сходимости рядов, получим критерий расходимости рядов: числовой ряд ~, ав я=1 расходится тогда и только тогда, когда найдется такое е > О, что для всякого номера Ф найдутся номер и > М и натуральное число тп такие, что выполняется неравенство ! аь = ~а„+~+а„+г+ .. +ав~.
~ > е, й=в+1 Ъе>0 ЧЛЕНА Зп>Ф Зтпе1Ч: ~ав~.~+а„.„г+...+по+в~ >Е. Пример 1.10. С помощью критерия Коши докажем, что еармоничесний рлд ~; 1/и расходится. в=1 42 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Покажем, что для данного ряда выполняется утверждение: 1 1 1 Ле)0 1уФЕМ Зп)М ЛтЕМ: ~ — + — +...+ ~)е. п+1 и+2 п+т Пусть е = 1/2, и для любого натурального М положим и = М, т= и. Тогда 1 1 1 ! 1 1 1 — + — + "+ — ~= — + — +...+ — ~) п+1 и+2 п+т ~ п+1 и+2 2п 1 1 1 1 1 ~ )— + — +... + — = п — = — = е.
2п 2п 2п 2п 2 Следовательно, гармонический ряд расходится. 1.4. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения В этом и следующих трех параграфах рассмотрим ряды ',> аю все члены которых неотрицательны: аь ) О, й Е 1Ч. Та/с=1 кие ряды называют знаноиоложптельными (или рядамп с неотпринательными членамн). Для знакоположитеяьных рядов приведем достаточные условия (признаки), обеспечивающие их сходимосшь или расходимость.
Заметим, что можно отдельно рассматривать знаноотрпцательные ряды (или ряды с неположительными членами), однако равенство ~( — аь) = — ~с аь 1=1 /с=1 позволяет свести анализ знакоотрицательных рядов к анализу знакоположительных. Поэтому далее будем изучать только знакоположительные ряды. Последовательность (о'„1„- 1 часшичньсх сумм знакоположительного ряда 2' ,аь не убывает, так как я=1 Я„+1 — Я„= а„+1 ) О, и Е )с1. 1.4. Зяаконояоясятеяъные ряды.
Признака ераанення 43 Поэтому, согласно признаку Вейерштрасса [1-6.5], последовательность [Я„) имеет конечный предел (и, следовательно, ряд ае сходится) тогда и только тогда, когда последователья=1 ность (Я„) ограничена сверху, т.е. когда найдется такое число М > О, что Яя < М, и Е 1Ч. При этом для обозначения сходимости знакоположительного ряда используют запись ~аь < +со. я=1 Заметим, что если знакоположительный ряд ~; аь расхоя=1 дится, то 1пп Я„=+со. Действительно, в силу сказанного выше расходимость знакоположительного ряда эквивалентна тому, что неубывающая последовательность (Я„) частичных сумм этого ряда не ограничена сверху. Отсюда вытекает сходимость последовательности (Яя) к +со [1-6.7].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
