IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Это означает, что последовательность (Яп) сходится к комплексному числу А+ 1В, и, следовательно, (а„+гоп) = А+1В = ,'1 сеп+1~~1 Д,. п=1 п=1 п=1 Таким образом, сходимость ряда с комплексными членами эквивалентна одновременной сходимости двух рядов с действительными членами, т.е. ряда, составленыого иэ действительных частей членов исходыого ряда, и ряда, составлеыного из мнимых частей этого ряда. Поэтому теория числовых комплексных рядов естественным образом сводится к изучению числовых действительных рядов. В теории числовых рядов решают две основные задачи: исследуют ряд на сходимость, т.е.
выясняют, сходится ряд или Расходится, и вычисляют сумму сходящегося ряда. Для решения первой задачи используют различные признаки сходимости н расходимости рядов (см. 1.2 — 1.9). Вторая задача, вообще говоря, является более сложной, поскольку общие приемы вычисления сумм рядов существуют лишь для некоторых видов 28 Е ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ рядов. Позтому в тех случаях, когда точное значение суммы ряда найти не удается, ограничиваются приближенными вычи- слениями. Пример 1.4. Исследуем на сходимость и (в случае сходи- мости) найдем сумму геометричесиоео ряда ~Ч~ ~ ЧЕК. я=1 Используя формулу для вычисления суммы и первых членов геометрической прогрессии, получаем Вычислим 1пп Я„при различных значениях Ч.
При ~Ч( ф 1 имеем 1 я 1 н, ф~1. 1пп — = 1пп ~~ — — ~ = 1 — Ч' и — ~са 1 — Ч н-~со 1 — Ч 1 — Ч оо, ~Ч~ > 1, поскольку При Ч = 1, очевидно, получим 1пп о„= 1пп и = оо. я-+со я-+ао Наконец, при Ч = -1 рассматриваемый ряд принимает вид я ~в = ~,Ч = 1+Ч+Ч +" ° +Ч я=1 ~ 0, !ЧУ<1; 1пп Ч" = я->со ~ оо, )Ч) > 1. Ч" -1 Ч-1' ЧФ1; Ч =1. 29 1.1. Оеиовиые оиредевеиия Последовательность частичных сумм данного ряда следующая: Яз = 1 — 1 = О, Яз = 1 — 1+ 1 = 1, Я1 =1, т.е. Ягл-1=1, Язь=О, 1еЕМ. Поскольку две подпоследовательности (Я2в 1)~~ и (Язь)~~1 последовательности (Я„)„'о „имеют различные пределы: 11ш Ягв 1=1, Ь->оо 11ш Яое = О, и-+оо Пример 1.5. Найдем сумму ряда Последовательность (Я„)'„"' 1 частичных сумм этого ряда имеет вид 1 1 1 Я = — + — +...+ 1 2 2 3 п(о+1) Учитывая, что 1 1 1 пЕИ, п(о+1) и и+1 то предел последовательности Я„частичных сумм рассматриваемого ряда при и-+ оо не существует и ряд ~; (-1)" ' расо=1 ходится.
Таким образом, исходный ряд сходится при ~д~ ( 1 и расходится при ~д~ > 1, причем верно следующее равенство. 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 36 получаем 1 1 1 1 1 1 1 В„= 1 — — + — — — + — +... + — — — = 1 — —. 2 2 3 3 и и+1 и+1 Отсюда имеем 1 11ш В„= 11ш (1 — — 1 = 1. п+1г Следовательно, 1 =1. ~ п(п+ 1) Пример 1.6. Найдем сумму ряда 1 ~ п(и+ 1)(и+ 2) Рассмотрим и-ю частичную сумму данного ряда 1 1 1 1 2 3 2.3 4 п(и+1)(п+2) Разложим общий член ряда на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов (Ч1]: 1 А В С вЂ” — + — + п(п+ 1)(и+ 2) и п+ 1 и+ 2 А(п+ 1)(п+ 2) + Вп(п+ 2) + Сп(п+ 1) п(п+ 1)(и+ 2) Приравнивая числители дробей, имеем 1 = А(п + 1) (и + 2) + Ви(и + 2) + Сп(и + 1).
1.2. Необходимый прюивяв сходвмоств рядов Подставляя в левую и правую части данного тождества значе- ния и = О, и = — 1, и = — 2, получаем: Следовательно, 1 1 1 1 п(п+1)(п+2) 2п и+1 2(п+2) 1 1 1 1 1 1 2(п и+1) 2(п+1 и+2) Отсюда (см. пример 1.5) я=1 Л=1 2( и+1) 2(2 и+2) Позтому имеем ~1 1 1 1 1 1пп Я„= 1пп + п+ао и-+со(2 2(п+ 1) 4 2(п+2)) 4 Таким образом, 1 1 ~ п(п+ 1)(п+ 2) 4 1 2. Необходимый признак сходимости рядов Сформулируем простейшее необходимое условие сходимосп1и чис.аового ряда, которое называют необходимым признаком сходимости ряда. п=О: и= — 1: и= — 2: 1=2А 1= — В 1 = — 2С( — 1) = А=1/2; = В=-1; = С=1/2.
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 32 Теорема 1.2 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд ~ ай сходится, то 1пп ай = О. й=1 й-+оо < Поскольку ряд ) ай сходится, то существует предел послей=1 довательности часшичных сумм этого ряда, т.е. 1пп Яй = о, где й-соо й зй = ~, а„.
Тогда, используя арифметические свойства сходясс=1 щихся последовательностей [1-6.4), получаем 1пп ай = 1пп [ой — ой 1) = 1пп ой — 1пп ой 1 = о' — о' = О. 1ь й-+со й — соо й-+сю й — +оо Покажем теперь, что условие 1пп ай = О не является достай-соо точным для сходимости ряда ~ ай. Рассмотрим, например, оо й=1 ряд ~; 1/1/й. Для этого ряда необходимый признак сходимо1с=1 сти выполнен: 1пп ай = 1пп 1/1/й = О.
Покажем, однако, что й-+сю й-+оо ряд ~', 1/1/й расходится. Для последовательности частичных й=1 о сумм о„= ,'1 1/1/Й этого ряда справедлива следующая оценка: йю1 Я„= 1+ — +... + — > и — = 1/п, и Е М, 1 1 1 поскольку 1/1/й > 1/1/и для любого я < и. Следовательно, согласно теореме о предельном переходе в неравенстве [1-6.4], имеем 1пп Я„> 1пп 1/и =+со, т.е. 11ш о„=+со, и ряд ~ 1/Л расходитсл. о-+оо й=1 Итак, стремление к нулю общего члена ряда является необходимым, но не достаточным условием сходимости рядов. Это 1.2.Необходимый призвав сходимости рядов означает, что если необходимый признак сходимости ряда не выполнен, т.е.
предел 1пп аь не существует или 1пп а1с ф О, то я-+со и-+ос ряд 2, аь расходится. Если же необходимый признак выполЬ=1 нен, т.е. 1пп асс = О, то по одному только этому условию ничего lс-+оо определенного о сходимости ряда сказать нельзя — ряд 2,' ас /с=1 может как сходиться, так и расходиться. Пример 1.7. Исследуем на сходимость ряд 2сс — 1 1 3 5 р — = — + — + — +... Зсс+2 5 8 11 Проверим, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда: 2сс — 1 2 1пп а„= 1пп = — фО. -с " -+с Зсс+2 3 Необходимый признак сходимости ряда не выполняется, и, следовательно, этот ряд расходится.
Пример 1.8. Выясним, сходится ли ряд Дирияле оо — р Е К. Р' Для этого ряда необходимый признак не выполняется при р < О, и, следовательно, ряд расходится. Если же р > О, то 1пп 1/ссР = и-соо = О, и необходимый прюнак выполнен. Но о сходимости ряда пока нельзя сделать никаких выводов — он может сходиться, а может и расходиться.
Окончательный ответ мы дадим далее, после юучения достаточных признаков сходимости рядов. Пример 1.9. Докажем, что ряд 34 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ расходится. Для этого проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: 2п~ — 3'1 и' 1 неопределенность 1 1пп аи = 1пп и-+си и-+их 2йз+ 1) ~ типа 1~и ( )=~ -4и1 (При вычислении предела мы воспользовались вторым замечательным пределом 1пп 11+ 11 = е (1-7.7) и тем, что верно х-+оо ~ х/ 1ии у„ Равенство !пп (хи)и" = 1 1пп хи)" в слУчае, когда его пРаи-+00 ',и — ню СО' вая часть имеет смысл.) Таким образом, ряд ~„а„расходится. 1.3.
Свойства сходящихся рядов Рассмотрим произвольный (действии1ельиый или комплексный) числовой ряд ,'С, 'аь. я=1 Определение 1.5. Числовой ряд ~ аы полученный из 00 и=и+1 ряда ~ аь путем отбрасывания первых и его членов, называют я=1 ОО и-м осгаагпиом ряда ~ ах и его сумму (при условии, что этот я=1 остаток сходится) обозначают В : Ви= ~ аЬ=аит1+а„+э+...+аи+1+".
и=и+1 Приведем несколько простейших утверждений, относящихся к сходящимся рядам. 35 1.3. Свойства сходящихся рядов Свойство 1.1. Если ряд ~; ай сходится, то сходится и й=1 любой из его остатков. Обратно, если сходится хотя бы один из остатков ряда, то сходится и сам ряд. При этом для всех о Е 1Ч справедливо равенство ОО и 00 ай = ~~~ ай+ ~~1 ай, или Я=Яи+В .
й=и+1 ~ Пусть и Е 1Ч произвольное число. Очевидно, что п1-ю чесночную сумму п-го остатка ',! ай (обозначим ее В ) можно й=и+1 представить в виде Вари пи+1 +пи+2+ ° ° ° +Ои+т = ои+т ои> где Я„, Я„+ — частичные суммы ряда ~ ай. Следовательно, й=1 (1.3) Ви+т=З +Ви,т п161Ч. Пусть ряд ~; ай сходится, т.е. при любых и Е 1Ч существует й=1 предел при п1 †> оо в левой части равенства (1.3). Тогда для всех п Е 1Ч существует предел при т — 1 оо и в правой части этого равенства, т.е. все остатки ряда сходятся, причем 1!ш Я„+ — — Я„+ 11П1 В„,, и Я=Во+В„.
ю-+оо т->со Пусть, наоборот, хотя бы один из остатков ряда ~ ай й=1 сходится, т.е. хотя бы при одном и Е 1Ч существует предел "Ри т -+ оо в правой части равенства (1.3). Тогда существует предел при т-Ф оо в левой части этого равенства, и, значит, Рлд ~, ай сходится, причем й=1 !1т К~+щ= К,+ 11т В„яи, или Я=Во+В . ТИ-+ОО ТИ-ФОО 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯЛЫ Зб Следствие 1.1. Все остатки 2; аь, и = О, 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
