IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 7
Текст из файла (страница 7)
не выполнен и-Фее и-Ф сп 00 необходимый признак сходимости ряда, и ряд ~" 1/тР расходится. При р > О можно испольэовать интегральный признак Коши, поскольку функция /(х) = 1/хл в промежутке 11, +ос) удовлетворяет условиям теоремы 1.6, и а„= 1/тР = /(и). Исследуем на сходимость несобственный интеграл ) 1/хМх. 1 Если рф1, то Если р= 1, то | Их .
рох — 1пп / — = 11ш 1п В = +ос. х н-е+,1 х л-++а / ь , ( -~+' — е1х = 11ш — = 1пп хо я~+,/ хР н~+ ~-р+1 1 1 (В'-и 1 — 1пп н +..~,1-р 1-р/ ),= со, 1 — р>0; — — 1-р< О. 54 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Таким образом, несобственный интеграл | ох ) сходится при р > 1; хя ( расходится при р < 1. 1 Согласно теореме 1.6, получаем следующее утверждение. Пример 1.19.
Исследуем на сходимость ряд я=2 Отметим, что при р = 1 и р = 2 сходимость данного ряда была проверена в примере 1.17. Выясним в общем случае, при каких значениях параметра р данный ряд сходится, а при каких— расходится. Так как последовательность (1п "и) при р < О не убывает, то имеем 1 1п "и 1п "2 >— п1пгп п п и = 2, 3, (при р = О неравенство обращается в равенство). Поскольку гармонический рлд ~; 1/и расходится (см. пример 1.10), в силу я=1 00 свойства 1.5 расходится и ряд 2 (1п Я2)/и. Следовательно, я=я согласно признаку сравнения, при р < О расходится и ряд 1/(п1пгп).
п=з При р > О функция 1/(х1пях) в промежутке 12, +со) непрерывна, положительна и убывает (функции х и 1п" х, р > О, непрерывны, положительны и возрастают в [2, +со)). Таким 55 1.о. Иитегрпеьимй ирипипк еходимости Коти образом, исследовать на сходимость ряд ~ 1/(и 1п" и) при р > О п=г можно с помощью интегрального признака Коши. Выясним, сходится ли несобственный интеграл | 1/(х1ппх) Их. Согласно г определению несобственного интеграла от ограниченной непрерывной функции по бесконечному промежутку [ЧЦ, имеем оо Я л | ей .
|" 11х . /'е11пх — = И = 11 х1пих я~+по/ х1пих я~+о.1 1ппх г г г Используя замену переменных в определенном интеграле [Ч1], получаем Я 1пп Г Н1пх Г '1, /' йю 11ш / — = ~и =1пх] = 1пп н+ /1прх [ 1 н+,/Р г 1п2 Й~ )[ сходится при р > 1; иР [ расходится при р < 1 1п2 (см. аналогичный интеграл в примере 1.18). Следовательно, Ых ) сходится при р > 1; х1ппх [ расходится при р < 1, и в силу интегрального признака Коши для положительных значений р имеем расходимость ряда ~; 1/(и 1и" и) при О < р < 1 п=г и сходимость при р > 1. Итак, учитывая доказанную расходимость ряда при р < О, получаем следующее утверждение. 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ При исследовании рядов на сходимость часто используют признаки сравнения с рядами Дирихле 2 1/пв и геомегприн=1 песками рядами 2 д".
Рассмотрим далее несколько таких а=1 примеров. Предварительно отметим, что при решении задач на исследование сходимости рядов с использованием предельного признака сравнения необходимо иметь в виду следующие основные соотношения эквивалентности бесконечно малых функций (последовательностей) [1-10.2]. А именно, если и„— бесконечно малая функция (последовательность), т.е. 11ш и„= О, то при и — 1 оо верны соотношения: а"" — 1 (1па)и„, а > О, а ф 1; е"" — 1 и„; в1пи„и„; агсвши„и„; 1оя (1+ и„) —, а > О, а ф 1; 1па' Фбин ин; 1п(1+ ин) ип,' егери„и„; из 1-сови„— "; (1+и„)а — 1 аи„. Кроме того, для бесконечно малых функций (последовательно- стей) имеет место следующее утверждение [1-10.2]: а„4„п — 1 ос Е=Ь а„=4,+о(4,), Пример 1.20.
Исследуем на сходимость знакоположительный ряд 00 1п(1 + вш — ) + е ' — савв 1~ гза 1 и+ 1п~п+ агсгяп~ где о(Р„) — функция (последовательность), являющаяся при и -~ оо бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с функцией (последовательностью) Д,. 57 Ьв. Иитаграньньгй признак окодимости зьоши Рассмотрим общий член данного ряда.
Числитель 1п(1+вш — ) +е '" — сов— есть бесконечно малая последовательность. Сравним числитель с бесконечно малой 1/п при и — ~ оо. Имеем следующие соотношения: 1п(1+ в1п — ) = вш-+ о(вш — ) = — + о( — ), и + оо; п~ и п и п е1~о — сов — = (е~7" — 1) + (1 — сов — ) = 1 1 1 1 1 1 = — +о( — )+ — +о( — ) = — +о(-), и- 1п(1+ в1п — ) + ео~" — сов — = — + о( — ) + и п и 1 1 2 1 2 + — +о( — ) = — +о( — ) —, и — а со. Следовательно, 1 и+1п2П+ агсГКП2 Окончательно получаем 1п(1+ в1п — ) + ег~" — сов— и+ 1п2П+ агсгвпг и -т оо. и 2 1 2 Знаменатель и+ 1пг и+ агсгбиг общего члена исследуемого ряда есть сумма бесконечно больших функций и, 1пгп и ограниченной функции агсгбпг 10 ( агсгбпг < и~2, и Е 1Ч), причем из 11.7) следует, что функция п является бесконечно большой более высокого порядка, чем функция 1пгп.
Таким образом, согласно теоремам об эквивалентных бесконечно больших функциях (последовательностях) [1-10.4), имеем и+1и и+агсГбп ° и, и-+со. 2 г 58 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Так как ряд ,'1 1/пз сходится (зто ряд Дирихле с параметром в=1 р = 2 > 1), то в силу предельного признака сравнения сходится и исходный ряд. Пример 1.21. Исследуем на сходимость знакоположительный ряд 1пе и +, дай, р>0. п=2 Если д < О, то для всех п > 3 верно неравенство 1п2 и/п1+" < <1/п1+", так как 1пп >1 при и > 3.
Поскольку ряд Дирихле 2 1/п1+г при р > 0 сходится, то в силу признака сравнения в=1 0О сходится и ряд 2 1пеп/п1+г при всех д < О и р > О. в=2 Если е > О, то, согласно равенству (1.7), имеем 1пе и 1пп — =О, р>0. в ~+О© ПГ/2 Сходящаяся последовательность 11п2п/тР/2) ограничена, т.е. можно найти такое положительное число М, что 1п2п 1п2п 1 <М, п=2,3,... ~Р/2 ~1+Р п1+Р/2 Следовательно, 1пе и 1 и +1Р— <М, о=2,3, Поскольку ряд Дирихле 2 1/п1+г/2, р > О, сходится, то, согласе=1 но признаку сравнения, будет сходиться и ряд 1п2 и д>О, р>О. =2 59 1.о. Иитегрельиый призван еходииоети Коши Итак, верно следующее утверждение. Пример 1.22. Докажем расходимость энакоположительного ряда 00 пд1ппп' и=2 Из (1.7) следует равенство р Е И.
П1 о 11ш =+оо, 13(1, рЕК, -++ о 1пгн которое по определению предела эквивалентно утверждению: п1 Д М>0 ЗМ(е) Е1Ч Чп>М(е): р >е. 1пР и Пусть е = 1. Тогда для всех номеров и, больших некоторого натурального числа М, зависящего от 13 и р, будет справедливо неравенство 1 1 — > 1. од1пРн и 1ппп Следовательно, 1 1 >-, н>М. пд1поп и' Отсюда в силу расходимости гармонического ряда ~; 1/и (см. и=1 пример 1.10) и признака сравнения следует расходимость ряда 00 Е1(( Р1пР ). =г Итак, приходим к следующему утверждению.
60 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Пример 1.23. Докажем сходимость знакоположительного ряда — рЕЖ, д>1. тт=1 ~ Из равенства (1.8) следует, что при любых р Е К и тт > 1 верно соотношение 1пп ~Р/( /д) = О. Сходящаяся последовательность в-+со 1тР/( /о) ) ограничена, т.е. можно найти такое положительное число М, что Следовательно, тР 1 — „<М „, пей. Геометрический ряд ~ 1/( /Ч) = ~ (1/ Я)" при о > 1 схо- в=1 тт=1 дится (см. пример 1.4), поскольку при этом 0 < 1/ /о < 1. Таким образом, согласно признаку сравнения, приходим к следуютцему утверждению. 1.6.
Признак Даламбера Важным признаком сходимостпи знакоположитпельных числовых рядов является следующий признак. Теорема 1.7 (преде ььный признак Даламбера). Пусть для числового ряда с положительными членами ~а„, а„>0, пе1Ч, а=1 61 Ьб, Признак Даоамбера существует предел (конечный или бесконечный) последователь- ности отношений оп+1/ап об«цего члена ряда оп+1 к предыду- щему члену ап: 1пп =о, о>0.
п-+оп оп Тогда справедливы следующие утверждения: а) если о < 1, то ряд (1.10) сходящийся; б) если о > 1 или д = +ос, то ряд (1.10) расходящийся. М а. Пусть 1пп а„+1/а„= о < 1. Для числа т = (о+ 1)/2 верно неравенство о < т < 1. Поэтому 1пп (апе1/ап — т) = о — т < О. Из свойств сходящихся последовательностей [1-6.4) вытекает, что зов к 1'« '««и ~ ~пв: ~ ~т < 1. (1.11) ап Учитывая (1.11), для любого натурального числа и имеем ап +1 т, апо апо+г < т1 апО+1 оно+а т. апе+Ь-1 Следовательно, (оно+1)(оп+г) ( а +ь ) <„а а о+а < ь ап ап,+1 а„о+««1 апо ««по и ап< — т. «.по Это неравенство позволяет применить признак сравнения для доказательства сходимости ряда (1.10).
Действительно, в силу условия 0 < т < 1 геометрический ряд апо п апо Х Е' =' Е тпо, по-1 Л.г п=1 п=1 Отсюда получаем, что а„о+я < ап,ть, и Е М. Если п — произвольное натуральное число, для которого п > пв, то, полагая и = п — нв, получаем неравенство 62 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Зно Е )Ч ~н ) но. > т > 1. аи+1 ои (1.12) Тогда < аи,+Ь < О < аио ( аио+1 < аио+г ( Следовательно, предел последовательности (а„) не может быть меньше числа аи, > О.
Таким образом, не выполняется необхо- димый признан сходимости ряда, и ряд (1.10) расходится. ~ Замечание 1.2. Теорема 1.7 не охватывает случай, когда 1пп — = 1. пи+1 и-+оо аи Здесь ничего определенного о сходимости ряда ~ аи, аи > О, и=1 заранее сказать нельзя (невозможно воспользоваться предельным признаком Даламбера). Для выяснения вопроса о сходимости такого ряда требуется дополнительное исследование.
Например, для расходящегося гармонического ряда 2 1/н преи=1 ДЕЛ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ ОтНОШЕНИй аи+1/О РаВЕН ЕДИНИЦЕ: 1 пи+1 = 1 а+1 . и аи оо — =ь 1пп — = 1пп = 1. н -+оо а и-+оо н+ 1 сходится. Таким образом, согласно признаку сравнения, ряд (1.10) также сходится. б. Пусть 1пп аи+1/аи оо о, причем д > 1 или д =+со. Если и — +оо д ~+сс, то положим т = (д+1)/2, а если о=+со, то в качестве т возьмем любое число, большее единицы. Тогда 1 < т < о и 1пп (аие1/аи — т) = в, где в =д — т > 0 при дую+со или в =+оо при д = +со. Из свойств последовательностей, имеющих положительный предел (конечный или бесконечный) (1-6] получаем 63 1.б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
