IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 12
Текст из файла (страница 12)
является условно сходящимся рядом. Но знакопостоянный ряд не может быть условно сходящимся, если он сходится, то только абсолютно. Значит, последовательность неотрицательных членов условно сходящегося ряда ,'1 а„не может быть конеч0=1 ной. Аналогично можно доказать, что и последовательность 00 отрицательных членов условно сходящегося ряда ~, а„не может быть конечной. (1.25) 1пп и; = О 1 — 1 00 и 1пп и; = О. 1-100 Докажем, что оба этих ряда расходятся, т.е.
2 и; =+со и 00 1=1 и, =+со. Обозначим частичные суммы и-го порядка пер1=1 ваго ряда через У„, второго ряда через 1'„. Тогда, если Яо 00 2 а; — н-я частичная сумма исходного ряда 2 а;, то, 1=1 1=1 очевидно, Я„= Уь — 'т', где Й вЂ” число неотрицательных членов в сумме Я„, а т — число отрицательных членов в сумме Я„, т+ и = и. Числа lс и т зависят от и и, увеличиваясь вместе с и, стремятся к бесконечности в силу доказанной выше бесконечности последовательностей 1и1);~1 и (о1)~м1. СОСтаВИМ ТЕПЕРЬ Иэ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЕй (и1)1м1 И (О1),та1 два знакоположительных ряда: 2 и, и 2 им Поскольку исход- 00 1=1 ный ряд 2;а; сходится, то, согласно необходимому признаку 1=1 сходимости числового ряда, выполняется равенство 1пп а; = = 1пп )а1) = О. Так как (и1);~1 и (о1Я"'1 являются подпоследовательностями Ца, и 1, то 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 96 Если оба ряда ~ кч и ~; ея сходятся, то сходится и ряд 00 в=1 в=1 ~а;~, поскольку его гв-я частичная сумма равна о„' = Уь + Ъ' в=1 (см.
обозначения выше) и, следовательно, ~а;~ = 1пп о,*, = 1пп Уь+ 1пп К = в> кч+ в гя (+ос, в=1 в=1 что противоречит условной сходимости ряда ',> а;. в=1 Если сходится один из рядов, например ряд 1 , 'ио а другой 00 в=1 ряд расходится, т.е. ~ гл = +со, то имеет место равенство в=1 а;= 1пп Я„= 1пп Ц,— 1пп Ъ' = Tи;-,'1 о;=-со, Π— ВОО Ь-ВОО О — ВОО в=1 в=1 в=1 что противоречит условию сходимости ряда ~ а;. Если сходит- 00 00 в=1 ся ряд ~ е;, а ряд ~ и; расходится, то аналогично имеет место в=1 00 в=1 равенство ~, а; =+со, которое также противоречит условию в=1 оо сходимости ряда ~О а;.
С01 Итак, оба ряда расходятся: ',> и; = +оо и ~ гя = +ос. в=1 в=1 Отсюда, в частности, следует, что и все остатки этих рядов также расходятся (их суммы равны +ос). Пусть задано произвольное число о'е К. Для доказательства теоремы Римана необходимо провести такую перестановку членов ряда ~ а;, при которой получится ряд с суммой о'. в=1 Покажем, как это сделать. Поскольку неубывающая последовательность Уь стремится к +со при Й -+ оо, то найдется такой Д. Ь в. Докагагелъетао теоремы Римана 97 номер Йм что йв-в и; < о, в=1 (если /сд — — 1, то первое неравенство отсутствует).
Аналогич- но для возрастающей последовательности в'т, которая также стремится к +оо при пг -+ оо, найдется такой номер гам что тв — 1 йв тв йв ~ е;(~~> гв; — Я, ~г о;>~> и; — Я в=1 в=1 (если ввгв = 1, то первое неравенство отсутствует), что эквива- лентно неравенствам йв овв -1 йв тв о; — ~~) гв; > о', ~~г гг; — ~~г гв; < ~. вин в=1 Далее аналогично выбираем номер й2 > йм такой, что йв ввв в йг — г и; — ~~г гг;+,'в и; < о, йв тв йг ~~г гв; — ~ ив+ ~~в и > Я в=1 в=йв+1 в=й в+1 йв тв йг тг-1 ,~,пв — ~~~ ев+ ~ гвв — ~~', ев >~ ов в=1 в=йв+в в=тв+в йв тв йг тг си+ ~~> и; — ~~г о; < Я в=йв+1 вввтв+1 (если ти2 = вггв + 1, то первое неравенство отсутствует).
(если йг = Iсг + 1, то первое неравенство отсутствует). Выбор й воэможен, поскольку ~', гв; -+ +ос при и -+ со. Аналогично, т в=йв+1 так как ~; и;-++ос при гвг-+ оо, можно выбрать такой в=тв+1 номер гвгг,что 98 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ й( в(в( в(в( й ия ~~» ив+ ° . ° ~~ е + ~ и <о', »=1 в=1 в=(вы- (+1 в=й(.(-1 й( в(в( в(в( й(+( ив ~~» юв + ° ° ° ~~» Ев + ~~» и > о' (1.26) в=в(в( (+1 в=(((+1 (если й(+1 = й( + 1, то первое неравенство отсутствует), а для всех 1 е М и всех и», таких, что п»1 + 1 < т < п»1+1, выполняются неравенства й(в.в й( т(в( ~~» и; — ~ е(+...+ ~ и( — ~ и > о', »=1 в=1 в=й(+1 в=в(в(+1 (в( в(в( й!+( в(Ы.» ( и( — ~» е;+...+ ~ и; — ~~» гч <о (1.27) в=1 в=в(в(+1 (если п»ц.1 = ти(+ 1, то первое неравенство отсутствует).
Учитывая, что каждый член исходного ряда ~; а„совпадав(=1 ет либо с некоторым членом и;, либо с некоторым членом — е1, рассмотрим следующую перестановку членов исходного ряда: (»в = И1+ " + Ий, - И1 — " — И Ы + Ий, +1 + " Е'= (=1 ° ° ° + Ийв Ив(в(+1 ° ° ° Ев(вв + ой»+1 + + Ийв Продолжая далее таким же образом, последовательно выбираем номерай1 <йг «...
й( < ... ит1 <т2«...т(<... При этом, поскольку ряды 2 и( и 2; и; расходятся, процесс выбора в=1 »=1 не может прерваться, и мы получаем бесконечные последовательности (й() и (п»1). Согласно выбору последовательностей (й() и (п»1), для всех 1 Е И и всех й, таких, что й( + 1 < й < й(ы.1, выполняются неравенства Д.1.1. Доказательство теоремы Римава 99 Докажем, что сумма полученного ряда равна Я. Разобьем множество натуральных чисел Я на следующие отрезки: [1, й! — Ц, [й1, й1+т! — Ц, [тп1+й1! тп1+й2 Ц! [й2+тп1! й2+тп2 Ц! [т1+й1, тп1+й1+! — Ц, [й1+1+тп1, й1+1+т1+1-1], В зависимости от того, в какой из этих отрезков попадает натуральное число !"!' (а для вычисления предела достаточно рассматривать только большие значения М), частичная сумма !т 2; Ь; полученного ряда с номером 1т' принимает различный вид, и=1 и, следовательно, по-разному оценивается расстояние от нее до числа Я.
!т ГРафик зависимости частичных сУмм Уа! = ~, Ь! этого РЯДа от номера !"1 представлен на рис. 1.4. а;! Х !=! и +и Рис. 1.4 Номер Ж может принадлежать для некоторого 1 е М отрезку вида [тп1+й1, тп1+й1+1-Ц. если при этом окажется, что Ф = =то!+ й, где й1+1 < й < й!+! — 1, то (см. (1.26) ) !т а! е!! !и! а ст+ ~~! и; < Я. (1.28) в=1 змо!! !+1 !т Л!+1 100 1. ЧИСЛОВЫК РЯДЫ Тогда в соответствии с (1.27) ! Ф М ь; — ы =я-~~> ь; = а=1 айп ,, йа та та-1 й ='-(1:"-Е" " Е ° — ° Е )= а=1 айн а=та а+1 а=йа+1 , йа та та-1 =г-~~ а-~ а+... а=1 М1 атта а+1 Н/ Я й оа ~» э' — э'+ ета — 0 = ота. а=йа+1 ~/ 0 Если Ф = аааа+ Ц, 1 Е Я, то последняя сумма в (1.28) отсутствует, и, следуя приведенным выше рассуждениям, получаем, что и в этом случае верна та же оценка.
Таким образом, йа б; — Я(»ета, М=т~+Й, Й~(»Й(»йа+1 — 1, 1ЕМ. (1.29) Номер И, кроме того, может принадлежать также отрезку вида [Й~+а+аааа /а[+~+аац+а — 1] для некоторого 1 Е И. Аналогично, если при этом Ф=Й~+а+т, где та+1(т(ааа~+а — 1, то частичная сумма ряда имеет следующий вид (см. (1.29)): ааа йа та йа.а.а т ~а Ь;=~о; — ~а'е;+...+ '~' о; — 1а с;>Я. (1.30) а=йа+а а=та+1 101 Д.1.1. Докваатекъетво теоремы Римава С учетом (1.26) имеем М 1ы ° аь оьь Ь,„.ь-1 ть,-8~=1 ь-8=(т';-т'„.ь....ь т „)+ ь=1 ь=1 ь=1 ь=1 ь=аь+1 Ль Я о, — Я < Я+ иььеь — 0 — Я = пьь+ь.
ь=ьоь+1 ь/ 0 +иаь ь— ~~ Ь1 — ~~ ~КПЬь,.ь. ь=1 (1.31) Наконец, поскольку й1+1 -+ оо и пь1 -+ оо при 1 — ь оо, то из (1.25) получаем 11ш щ,е, = 1шь е, =О, 1-+во а 1-+со Это означает, что ьУа > О Б1 =11(е) Е Ы И >11. (иь+ь(= иьь+ь < е, Че>0 Бг=1г(е) Е1Ч т1>1г: (еоьь(=юоь, <е. Тогда из (1.29) и (1.31) следует, что ЯЬь — ~! ~ (еоь, < е, М Е (т1+й1, т1+й1ь.д-Ць 1 >11, ь=1 Ь; — Я~ < иаЬ+Ь < Е, М Е [й1+1+ЬтЬ1ь й1+1+ПЫ+1 — 1], 1 > 1г. ь=1 Если У = й1 ь.1~. „1 Е М, то последняя сумма в (1.30) отсутству- ет, и полученное неравенство снова выполняется. Следователь- НО, ПРи Ф = й1.1.1+та, ьп1 < пь < т1~1 — 1, 1Е Ы, справедливо соотношение 102 1.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Положим Ме = шах1т1,+1+й1,+1, й1,+з+т1,+1). Тогда 61 ~~ ~ е~ д1 Э~ 1ЧО~ 1=1 М и поэтому 11ш 2; Ь„= о. М-+оа; требовалось доказать. > Таким образом, ,'>" 6„= о, что и Дополнение 1.2. Признаки сходимости Дирихле и Абели я 1-1 кьеь ~1' Яь(еь ее+1) + Яяея Бр — 1ер м Поскольку иь = Яь — оь ~ при всех й Е М, то а а р р иьеь = ~~ (Яь — Яь 1)еь = ~~) Яяеь — ~~~ Яь 1еь.
В последней сумме заменим индекс й суммирования на 1 = й — 1: й =1+1 1=р — 1 1=д-1 я Я„ 1Е ь=р 1=й — 1 1с =р й=д 1=р-1 Приведем несколько достаточных признаков сходияости зкакопереяенных рядов вида 2 и„е„. Предварительно докап=1 жем важное тождество, широко используемое в теории рядов и называемое преоброзоеаккем Абеля. Лемма 1.1. Пусть (иь)1~ и ~ея)1~ 1 — произвольные числовые последовательности, и Яь =п1+из+... +им йЕ М, ое =О. Тогда для любых натуральных р и д, таких, что д ) р, имеем 1оз Д.1.2.
Признаки сходииооти рядов Таким образом, ч О-1 Я Бйой — ~й 8йой+1 — Бр 1ор— й=р ййр д-1 $~(ий Ой+1) + Коси Яр — 1ир ° йгр Теорема 1.16 (иризиато Абеля — Дирихле). Пусть для ряда '„т ийой с действительными членами выполняются й=1 условия: 1) ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ (Ой)ойо 1 яВЛяЕтСя НЕВОЗраетаЮщЕй, т.е. ой ~> ой+1, Й 6 1~1; 2) 1пп ой =О; й-тоо со 3) последовательность (Я„) часитичимх сумм ряда ~', ий ограничена, т.е. существует такое число М, что )Я~~ = ( ~~1,ий~ < М, п е 1Ч. й=1 Тогда рлд ~„ийттй сходитисл. й=1 < Доказательство сходимости ряда ~;ийой проведем с помой=1 щью критерия Коши сходи.
мости числовоео рлда. Для этого выберем произвольное число е > О. Поскольку 11ш ой = О, то й — тоо для выбранного е > О найдется такой номер Ф(е) Е 111, что Е Чй > Ф(е): (ой! < —, ЗМ' где М вЂ” константа из условия 3 теоремы. Выберем произвольные и > И(с) и та Е 1Ч и применим преобразование Абеля к и+от сумме ~ ийей (в лемме 1.1 в этом случае р= и+1, 11 = и+ттт, й=в-~-1 1.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 104 ь ОО и Яь — — 2 ц1 — частичные суммы ряда 2 и1): 1=1 1=1 п-1-т и+т-1 ЦЬЕ/с = ~~1 Ой (Ей ЕЬ+1) + Ои+т6п+т 8пвп+1. /с=и+1 й=иа1 Отсюда, учитывая, что еь > еь+1 и иь > 0 для всех к Е 1Ч (второе неравенство следует нз условия, что еь монотонно стремится к нулю при к -~ со), а также что частичные суммы Яь ограничены по модулю константой М (условие 3 теоремы), для всех и > Ф(е) и т Е М получаем п+т п+т-1 айса ~ ~ ~~~ $~с(вп о/с+1) + Бп+тцп+т Бпцп+1 ) < и=и+1 Ь=п+1 и+п1-1 ~~Ь~(ЕЬ ЕЙ+1) + ~~п+т1пп+т + ~~п!оп+1 < й=и+1 и+т-1 < 7 М(е„-и„+1)+М вЂ” '+М вЂ” ' ЗМ ЗМ 2е = М (си+1 оп+2+ оп+2 ни+3+ ° ° ° + пи+т-1 пп+т) + 3 2е 2е е 2е М(пи+1 еп+т) + и Мпи+1 + < М + 3 3 ЗМ 3 Таким образом, для ряда ~ иьиь выполнено условие критерия Ь=1 Коши сходимости рядов.
Следовательно, он сходится. ~ Отметим здесь, что признак Лейбница (см. теорему 1.13) является следствием только что доказанной теоремы. Действительно, знакочередующийся ряд 2,' (-1)~ел, удовлетворяющий й=1 условиям признака Лейбница (еь монотонно стремится к нулю при к -+ оо), удовлетворяет также и условиям признака Абеля — Дирихле, если положить иь = ( — 1)~. Д.с.2. Прививии оходимооти рядов 105 Теорема 1.17 (признан Абеля).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
